Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 5
Текст из файла (страница 5)
рассмотрим теперь уравнение энергии. Как и в случае одной материальной точки, вычислим работу, совершаемую всеми силами, действуюшими на рассматриваемую систему. Обозначив начальное положение этой системы индексом 1, а конечное — индексом 2, получим пазов злвмвнтлвных пгинципов [гл. 1 Рассмотрим теперь правую часть равенства (1.27). В случае, когда внешние силы имеют потенциал, первый член правой части (1.27) можно записать в виде 2 г У. ~Г,".
7в,=- — ~ ~РУ, а,= — У! з~'„ г 1 ! 3 где индекс 1 у оператора т означает производную по г,. Если внутренние силы также консервативны, то силы Р;. и змеин являющиеся силами взаимодействия между 1-й и учй частицами, могут быть получены с помощью некоторой потенциальной функции Ун, Чтобы удовлетворить закону действия н противодействия, потенциал ~';г должен быть функцией расстояния между этими частицами, т. е. должно иметь место равенство Ъ'гу = Ъ', ( ~ г; — г~ ~ ).
Тогда силы Р,~ и Рзч будут равны и противоположно направлены, так как (1.31) Кроме того, они будут направлены вдоль прямой, соединяющей рассматриваемые частицы, и можно будет написать Г,~(гз — и.) =(гз — г))7, (1.32) где 7 в некоторая скалярная функция. Если бы 1~2 была функцией разности других векторов, связанных с материальными точками, например разности их скоростей или (беря пример из современной физики) внутренних кинетических моментов — чспинов», — то силы были бы равными и противоположными, но не лежали бы на прямой, соединяющей две данные частицы.
В случае, когда все силы, Р'Ф и Р;1, являются консервативными, второе слагаемое в правой части равенства (1.27) может быть запи. сано в виде суммы членов вида г — ~(Р,!л„1л,+УУ2 (з,). 1 Если разность векторов лз — гу обозначить через гз~, а для гра. диента по лгу ввести оператор 7,1, то будем иметь: ЧУ =Р 17;~= — Р1)7 и ГЬà — йл = ИГ,— аГГ7 — — Г(Л;;, и член с индексом 1/ примет вид — 17„!',, 1гь. связи Тогда полная работа внутренних сил будет равна (1.33) (Коэффициент '/е появляется здесь вследствие того, что при суммировании по 1 и по ) каждый индекс данной пары встречается дважды: при суммировании по ! и прн суммировании по 7.) Из изложенного ясно, что если внутренние и внешние силы имеют потенциал, то можно говорить о полкой потенциальной энергии системы, понимая под ней сумму Х ~+21 ей! При этом полная энергия 7'+Ъ' будет оставаться неизменной.
Эта теорема является аналогом теоремы (1.17) для одной материальной точки. Второй член правой части (1,34) называют внутренней потенциальной энергией системы. Она, вообще говоря, отлична от нуля и, что весьма важно, может изменяться вместе с изменением самой системы с течением времени. Только для частного класса систем— для твдрдых тел в внутренний потенциал есть величина постоянная. Формально, твердое тело можно определить как систему материальных точек, расстояния между которыми постоянны и не могут изменяться со временем.
В этом случае величины ггу постоянны, и поэтому векторы Нг;~ перпендикулярны к соответствующим векторам г;р а следовательно, и к силам Р;р По этой причине в твйрдом теле внутренние силы не совершают работы, и внутренний потенциал должен оставаться постоянным. Так как полный потенциал во всех случаях есть величина, определенная лишь с точностью до аддитивной постоянной, то постоянный внутренний потенциал можно при исследовании движения системы совершенно не рассматривать. ф !.3. Связи.
На основании сказанного до сих пор может сложиться впечатление, что все задачи механики сводятся к решению дифференциальных уравнений т;г, =.'У', Р'ч+ гч,", т. е. к подстановке в зти уравнения известных сил, действуюших на материальные частицы системы, и выполнению определенных математических операций, даюших решение задачи. Однако даже с чисто теоретической точки зрения такое цредставиецие лвляехея [гл. 1 24 ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ чрезмерно упрощенным.
Дело в том, что может оказаться необходимым учесть связи, ограничивающие движение системы. Один внд такой системы нам уже встретился — это было твердое тело. Связи, накладываемые на его движение, состоят в том, что расстояния ггг между его точками должны оставаться неизменными. Легко привести и другие примеры систем со связями: так, например, «косточка» на конторских счЕтах ограничена в своам движении проволокой, на которую она надета, и поэтому имеет одну степень свободы (еслн рассматривать только поступательное двнженгг). Связи можно классифицировать по различным признакам. Мы будем придерживаться следующей классификации. Если ограничения, накладываемые связями, могут быть выражены в виде равенств, связывающих координаты частиц (и время), т, е.
выражены в виде равенств (1.35) г (гы гг, гг, ..., 1) = О, то мы будем называть эти связи голономными. Простейшим примером голономных связей могут служить связи в твердом теле, которые выражаются уравнениями вида г г (гг — г~) — с;у = О. Другим очевидным примером голономной связи может служить точка, имеющая возможность перемещаться лишь вдоль заданной кривой.
Связи, не выражаемые указанным образом, мы будем называть неголономными. Примером неголономной связи могут служить стенки сосуда с газом. Связь в примере с частицей, лежащей на поверхности шара, также является неголономной, так как она может быть выражена посредством неравенства г' — аг~ О (а — радиус сферы), которое отлично от соотношений вила (1.Зб).
Если зта частица находится в поле силы тяжести, то, будучи положенной на вершину шара, она станет скользить по его поверхности лишь на части своего пути, а затем покинет ей. Кроме того, мы будем различать связи по тому, зависят они явным образом от времени или нет. В первом случае мы будем называть их реономными, а во втором — снлерономными. Примером реономной связи может служить бусинка, скользящая по движущейся проволоке. Связи вносят в решение механических задач две трудности.
Первая из них состоит в том, что не все координаты гг являются независимыми, так как они связаны определенными соотношениями; следовательно, не все уравнения (1.18) будут независимыми. Вторая трудность ваключается в том, что силы, развиваемые связями, например сила, с которой проволока действует на бусинку или связи Рис. б. Лвойной маятник, стенки сосуда действуют на молекулу газа, априори не заданы. Они являются неизвестными величинами данной задачи и подлежат определению.
В сущности, наложить на систему связи — это означает просто указать, что имеются силы, которые непосредственно не известны, но которые определенным образом влияют на движение системы. В случае голономных связей трудность первого рода разрешается введением обобщйннык коордикалг. Ло сих пор мы встречались только с декартовыми координатами, и система, состоящая из М материальных точек, будучи свободной от связей, имела ЗМ независимых координат, или, другими словами, ЗМ гогеиекей свободы. Если на эту систему наложены голономные связи, выражаемые к уравнениями вида (1.35), то мы можем с их помощью исключить к координат из общего числа ЗМ и получить, таким образом, лишь ЗМ вЂ” к независимых координат.
В этом случае про систему говорят, что она имеет ЗМ вЂ” 1з степеней свободы. Исключение зависимых координат может быть произведено и другим путем. Он состоит в том, что вводат ЗГтг — к независимых пеРеменных оы оа, ..., о, которые позволяют выразить координаты гы г,, ..., гч через эти переменные. В этом случае мы будем иметь соотношения вида: г, =г,(рон о„..., д,м „, ~), (1.36) г =г (грыо,, ...,о, ~), выражающие г, через оп Уравнения связей в них явно не содержатся. Уравнения (1.36) являются уравнекия.яп лреобразовпния переменных гг к переменным др Их можно также рассматривать как параметрическое представление переменных (г,).
В отличие от декартовых координат обобщенные координаты не разделяются на трн группы, позволяющие образовать соответствующие 1 векторы. В случае, когда движение точки ограничено поверхностью сферы, обобщенными координатами будут два угла, определяющих полом(ение точки на ф~ сфере, например широта и долгота. В примере с плоским двойным маятником, изображенным на рис. б, обобщенными координатами будут углы в, и Оз. Обобщенные координаты (отличные от декартовых) часто оказываются полезными и в системах без связей. Так, например, в задаче о точке, движущейся в поле «ентральной силы [)г = )г(г)), связи отсутствуют, но ясно, что здесь удобнее воспользоваться сферическими полярными координатами, нежели декартовыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
