Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Наконец,в связи с изучением параметров Кэйли— Клейна матричные методы позволяют ввести понятие «спинора». Кроме того, мы сознательно допустили и некоторые другие отступления от обычного построения курса. Например, специальная теория относительности часто излагается недостаточно последовательно, если не считать весьма специального курса, охватывающего также и общую теорию относительности. Однако важность этой теории в современной физике требует знакомства с ней уже в ранней стадии обучения. Поэтому мы посвятили специально этому предмету шестую главу. Другим нововведением является рассмотрение сил, зависящих от скорости.
В прошлом классическая механика строилась в основном на «статических» силах, т. е. силах, зависящих только от положения, таких, например, как гравитационные силы. Однако в современной физике нам постоянно приходится встречаться с силами, зависящими от скорости, например, с электромагнитными силами. Для того чтобы возможно раньше научить студента обращению с этими силами, мы с самого начала ввели потенциалы, зависящие от скорости, и затем постоянно пользовались ими. Следующим новшеством этой книги является включение в неЕ механики непрерывных систем и полей (гл. 11).
Вообще говоря, эти вопросы охватывают теорию упругости, гидродинамику и акустику, пглдисловиг Автогл однако в таком объвме они выходят за рамки настоящей книги и, кроме того, но ним имеется соответствующая литература. В про- тивоположность этому не существует хорошей литературы по при- менению классических вариационных принципов к непрерывным системам, хотя роль этих принципов в теории полей элементарных частиц вой время возрастает.
Вообще теорию поля можно развить достаточно глубоко и широко еще до рассмотрения квантования. Например, вполне возможно рассматривать теизор напряжение— энергия, микроскопические уравнения неразрывности, пространство обобщенных импульсов и т. д., целиком оставаясь при этом в рамках классической физики. Однако строгое рассмотрение этих вопросов предъявило бы чрезмерно высокие требования к студентам. Поэтому было решено (по крайней мере в этом издании) ограничиться лишь элементарным изложением методов Лагранжа и Гамильтона в при- менении к полям. Стремясь к тому, чтобы этой книгой могли пользоваться лица с различной подготовкой, автор включил в главы 1 и 3 многое из того, что обычно содержится в общих курсах механики.
Математическая подготовка, необходимая для чтения этой книги, как правило, не выходит за приделы обычных курсов высшей мате- матики и векторного анализа. Поэтому в книге отводится значи- тельное место изложению более сложных математических методов, необходимых при изучении некоторых вопросов. В тех случаях, когда речь шла об электромагнитных силах, мы предполагали элементарное знакомство читателя с уравнениями Максвелла и простейшими следствиями из них. Кроме того, мы предполагали некоторое знакомство с современной физикой, учитывая, что большинство студентов старших курсов или аспирантов изучали ей, по крайней мере, в течение одного семестра.
Поэтому автор часто коротко останавливался на связи между классическим разви- тием механики и его квантовым продолжением, В литературе по механике встречается много элементарных задач, и поэтому мы считали нецелесообразным помещать их в боль- шом количестве. По этой причине задачи, помещ6нпые нами в конце каждой главы, служат большей частью продолжением текста и относятся к некоторым частным вопросам или различным вариантам доказательств теорем Традиционных педантичных задач мы стдрд- тельно набегали. ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА Выбор подходящих обозначений всегда связан с известными трудностями, так как нелегко найти обозначения, имеющие единственный смысл и не являющиеся громоздкими.
В этой книге мы следовали установившейся практике, обозначая векторы пглужирным латинским шрифтом, а все матрицы и тензоры — полужирным рублевым шрифтом, Список наиболее важных обозначений, встречающихся в этой книге, приводится в ее конце. Второстепенные обозначения, встречающиеся лишь один раз, в этот список не включены.
Для более глубокого изучения изложенного материала и ознакомления читателей с незатронутыми вопросами в конце каждой главы приводится список рекомендуемой литературы. Этот список сопровождается краткими аннотациями, которые даются для ориентации студентов в существующей литературе по механике. Конечно, зти аннотации выражают только личное мнение автора.
В конце всей книги имеется также общий библиографический список, содер>кащий много книг, не указанных ранее; он, однако, не содержит устаревших книг. Литературой, указанной в этом списке, автор пользовался при написании данной книги и поэтому считает своим долгом выразить признательность авторам перечисленных работ. 11астоящая книга написана по материалам лекций по классической механике, прочитанных автором в Гарвардском университете. Автор выражает благодарность заведующему кафедрой физики профессору ван Флеку за его личную и официальную поддержку, а также профессору Швингеру и другим своим коллегам за ряд ценных советов. Кроме того, автор глубоко признателен слушавшим его лекции студентам, активный интерес и доброжелательное отношение которых служили постоянным стимулом в работе автора над этой книгой.
Герберт Голдстейн Кембрилж Мерт 1950 ГЛАВЛ ! ОВЗОР ЭЛВМВИТАРИЫХ ПРИИЦИПОВ Законы дани<ения материальных тел являлись предметом ранних исследований физиков, усилиями которых была создана обшзрная область, известная в свое время под названием аналитической механики нли динамики, или просто механики. В настоящее время для обозначения этой области физики пользуются термином «классическая механика», противопоставляя ей более новые физические теории, в особенности квантовую механику. Таким образом, под термином «классическая механика» мы будем понимать механику, сложившуюся до создания специальной теории относительности.
Целью настоящей книги является изложение методов классической механики и некоторых из ее приложений, представляющих в настоящее время интерес для физики. Механика строится на ряде основных физических представлений, таких, как время, пространство, одновременность, масса, сила. При изложении специальной теории относительности мы коротко остановимся на таких понятиях, как одновременность событий и масштаб времени и длины. Однако большей частью мы не будем подвергать эти понятия критическому анализу, а будем считать их первоначальными, смысл которых читателю ясен. 5 1.1. Механика материальной точки.
Физическое содержание механики материальной точки составляет ваорой закон Ньютона, который можно рассматривать или как основной постулат, или как определение силы и массы. Этот закон можно записать в виде гт= —, лр м' (1. 1) где Р— суммарная сила, действующая на материальную точку, а 1л — количество движения этой точки, под которым понимается ~ледующее. Пусть з обозначет длину пути, проходимого точкой в свози движении, а г — радиус-вектор, проведйнный в эту точку из начала координат. Вектор скорости можно тогда формально 14 1гл. 1 овзог элементьеных пеинципов опрелелить посредством равенства аг Ф= —, йт ' (1.2) где аг .
гэ — ю'~ . Ьв йв — 1пп — 1пп ас д,, о ат дь,о лт йг В большей части случаев масса мате- риальной точки является постоянной, н поэтому уравнение (1.1) принимает вид до )о= т — = та, аг Рис. 1. Траектория точки и производная радиуса-вектора. (1.5) где а †ускорен точки, равное по определению вчг а= —. йр ' (!.б) Много важных положений механики можно высказать в форме теорем о сохранении тех или иных величин.
Эти теоремы указывают, при каких условиях некоторые переменные механические величины остаются неизменными во времени. Из уравнения (1.1) непосредственно вытекает первая из этих теорем. Теорема о сохранении количества движения материальной точки. Если сила Е равна нулю, то р=О, т. е. количество движения материальной точвси р сохраняется неизменным. Под моментом количества движения (или кинетическим моментом) материальной точки относительно центра О мы будем понимать вектор ~ = и Х р (1.7) где г — радиус-вектор, направленный к материальной точке из центра О.
Заметим, что в этом произведении существенен порядок сомножителей. Моментом силы Е относительно точки О (илн вращающим моментом этой силы) мы будем называть вектор й(= Х Е. (1.8) (рис. 1). Р!з этого равенства видно, что вектор о направлен по касательной к траектории точки. Тогда количество движения р определяется посредством равенства р= тяп (1.3) Таким образом, уравнение (1.1) мовкпо переписать в виде р= „— (то). (1 4) механика млтвгилльной тОчки !5 (1. 10) Е йз =-т з! — язв= — л! — (оа)Ш, !дв т! й ие 2,) йг и следовательно, В',, = —, (ое — тч). (1.
12) Скалярная величина то'/2 называется кинетической энергией матеРиальной точки и обозначается через Т. Таким образом, работа В'1е Равна изменению кинетической энергии: )г',а = Та — Т,. (1.13) Если силовое поле таково, что работа, совершаемая силой на любом замкнутом контуре, равна нулю, то будем иметь (1. 14) Для Лг можно получить уравнение, аналогичное уравнению (1.1). Умножив уравнение (1.5) векторно на г, получим ХЕ=)У= Х,—,( ).
и Уравнение (!.9) можно представить в другой форме, если воспользоваться векторным тождеством и Ж -(гХ )=оХ .+ Х вЂ” ( ). иг в котором член и',ь(тю, очевидно, равен нулю. С помощью этого тождества уравнение (!.9) можно представить в виде и й, М= — (г'х, пью) = —. Ж лс Заметим, что как й(, так и Е зависят от выбора центра О, относительно которого берутся моменты.
Как и в случае уравнения (1,1), из уравнения (1.10) непосредственно вытекает теорема о сохранении. Теорема о сохранении кинетического момента м а т е р и а л ь н о й т о ч к и. Если результирующий вращающий момент )т равен нулю, то 1 =0 и, следовательно, кинетический момент сохраняется неизменным. Рассмотрим теперь работу, совершаемую силой Е, действующей иа материальную точку. Согласно определению работа силы при перемещении точки из положения 1 в положение 2 равна К,,= ) Е ° с!в.
(1.1!) 1 Для точки постоянной массы (во всех случаях, кроме особо оговоренных, мы будем считать массу постоянной) получаем (гл. 1 16 ОБЗОР элемвнтагных пгинципов Такая сила (система) называется консервативной. С физической точки зрения ясно, что при наличии трения или других диссипативных сил система не может быть консервативной, так как соответствующий этой силе член ет йв будет все время отрицательным, и поэтому интеграл (1.14) не может обратиться в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
