Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Следовательно, можно написать: алга;~ — — 6л . з (4.30) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (4.31) Поэтому (4.30) можно записать в виде: АА '=1 ° (4.32) тз которого становится ясным обозначение Д-', принятое нами для збратной матрицы. Преобразование, соответствующее матрице 1, гзвестно под названием тождественного преобразования. Оно не ~вменяет первоначальной координатной системы, т. е. для него :праведливо равенство х=1х.
чналогичное равенство имеет место и для умножения матрицы 1 на зроизвольную матрицу А, притом независимо от порядка этого умно- кения. Таким образом, 1А=А1 =А. Слегка изменяя порядок доказательства равенства (4.32), покажем, по А и Д ~ коммутативны. Вместо того, чтобы подставлять х; гз (4.28) в (4.29), можно с тем же основанием исключить из этих гравнений не х, а х', что приведет к равенству Ъ1 и а~ ауа йц гналогичному (4.30). Записав полученное равенство в матричных обозначениях, получим: А 'А=1 (4.33) что и доказывает коммутативность умножения матриц А и Д Рассмотрим теперь двойную сумму ,Х / аыагнпй.
Легко видеть, что левая часть этого равенства представляет элемент матрицы АД ', а правая в элемент так называемой единичной матрицы, равной [гл. 4 кинематика движения твквдого твлх Если вычислять ее, суммируя сначала по и, а потом по Е то она примет внд 1 с ~~', ~.~~ аыал;~ айь Если же производить суммирование в обратном порядке, то ей можно будет записать в виде ~~~ (~~~ алгатт) алп Пользуясь условиями ортогональности (равенствами (4.15)), мы при первом способе суммирования получим: Хз г / 6паг =а~..
4 С другой стороны, при втором способе суммирования мы на основании (4.30) получим: ~~ 6„уаы = пан Следовательно, элементы прямой матрицы Д и обратной Д связаны соотношениями ах~ = а)о (4.34) Матрица, получаемая из Д посредством замены строк столбцами, называется транспонированной и обозначается через Д.
Таким образом, равенства (4.34) показывают, что если матрица Д является ортогональной, то обратная ей матрица Д ' совпадает с транспонированной матрицей Д. Если равенство Д '=А (4.35) подставить в равенство (4.33), то будем иметь: АД =1 (4. 36) Полученное соотношение совпадает с условием ортогональности, записанным в форме (4.15), в чам можно убедиться с помощью непосредственного вычисления проиаведения (4.36) э). *) Нужно заметить, что равенство (4.35) можно получить неиосредствеино нз условий ортогональйости в форме (4.36), причЕм краткость этого способа указывает нз преимущество символических методов. Умножая (4.36) справа па А ', получаем: ддд-г = д-'.
Отсюда с помощью (4,32) будем иметь: д=д-'. $ 4.3) еоамельные свойстве млтеицы пееовелзовлння 121 другая форма условий ортогональности может быть получена подстановкой соотношения (4.34) в равекство (4.30): ~ч~ ~ае;а1; = 3„, (4.37) что в символической форме можно записать в виде АА=1 Полученное равенство может быть также выведено непосредственно из (4,36) посредством умножения его слева на А н справа на А В связи с понятием о транспонированной матрице вводится также понятие матрицы, комплексно с ней сопряженной.
Эта матрица известна под названием сопряженной, или эрмитоески сопряженной с данной матрицей; мы будем ее обозначать символом А . Таким образом, А т (АЭ» (4.38) Подобно тому как ортогональной матрицей называется такая, которая удовлетворяет условию (4.36), унитарной матрикей называется матрица А, удовлетворяющая условию А А=1 (4. 39) (я=АР Пусть теперь рассматриваемая координатная система преобразуется матрицей В. Тогда в новой системе координат составляющие вектора О будут определяться равенством ВО = ВАР Матрица, определяющая ориентацию твердого тела, должна быть вещественной, так как и х н х' являются вещественными.
В этом случае нет разницы между свойством ортогональиости и свойством унитарности, т. е. между транспонированной матрицей и эрмитовски сопряжвнной. Короче говоря, вещественная ортогональная матрица является в то же время унитарной. Но вскоре в этой главе, а также позже в теории относительности, мы встретимся с комплексными матрицами, и тогда обнаружится существенное различие между ортогональностью и упитарностью. Мы знаем, что матрицу можно интерпретировать, во-первых, как оператор, преобрааующий вектор, и, во-вторых, как оператор, преобразующий координатную систему.
Мы сейчас рассмотрим задачу, в которой имеют место обе эти интерпретации. Это †зада о преобразовании оператора при изменении системы координат. Пусть А означает оператор, действующий на вектор Р (или матрицу Г состоящую из одного столбца) и преобразующий его в вектор О. Тогда можно написать: [гл. 4 122 кинвматнкл движения тввгдого тела что можно записать также в виде Ва=ВАВ ВР (4.
40) Уравнение (4.40) показывает, что если на вектор Р, выраженный в новой системе координат, подействовать оператором ВДВ ~, то получится вектор О, также выраженный в новой системе. Поэтому произведение ВДВ ~ можно рассматривать как оператор А, преобразованный к новым осям. В связи с этим можно написать: А'=ВАВ '.
(4.41) Любое преобразование, имеющее вид (4.41), называется аодобным преобразованием, Рассмотрим в связи с этим преобразованием некоторые свойства детерминанта, образованного из элементов квадратной матрицы. Как обычно, мы будем детерминант матрицы Д обозначать через ! Д !. Процедура умножения матриц совпадает, как известно, с процедурой умножения детерминантов [см.
В б с и е г, 3п[гос!пс1!оп 1о Н[ййег А!кеЬга е), стр. 26[. Поэтому справедливо равенство !АВ[=[А! [В! Приняв теперь во внимание, что детерминант единичной матрицы равен единице, мы из условия ортогональности (4.36) получим: [А! [А[= !. Далее, так как величина детерминанта не изменяется при замене его строк столбцами, то можно написать: [А!а (4.42) Отсюда следует, что детерминант ортогональной матрицы может быть равен только + 1 илн — 1.
В дальнейшем мы будем иметь возможность подробно остановиться на геометрическом смысле каждого иа этих значений. В случае, когда матрица не является ортогональной, ее детерминант, конечно, не обязательно имеет одно из этих простых значений. Можно показать, однако, что значение любого детерминанта инвариантно по отношению к подобным преобразованиям. Рассмотрим для этого формулу (4.4!) для преобразованной матрицы Д' и умножим ей справа на В.
Тогда будем ииетгк А'В=ВА, или, переходя к детерминантам: е) Имеется русский перевод: Бахе р М., Введение в высшую алгебру, М. — Л., Гостехиздат, 1933, $ 4.41 уГлы эйлвгл Но так как детерминант 9 есть число, отличное от нуля е), то мы можем разделить обе части этого равенства на ) В ~ и тогда получим ~А1=~А~, что н требовалось доказать. дс Позже, при рассмотрении движения твердого тела, все эти преобразования матриц, в особенности ортогональные, найдут свой приложение.
1(роме того, ф' нам потребуются некоторые другие соотношения, которые мы будем вы,г водить по мере необходимости. ау ф 4.4. Углы Эйлера. Мы уже го- .Е ворили, что так как элементы а;) не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела.
Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять ла- ат' гранжиан и составлять уравнения Лагранжа, Известен целый ряд таких пал раметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются угли Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через ннх выразить элементы матрицы ортогонального преобразования. Переход от одной декартовой системы координат к другой может быть выполнен посредством трех последовательных поворотов, совершаемых в опар ределйнном порядке. Тогда углы Эйлера определятся как три последовательных рнс. 42.
Углы Эйлера. угла соответствующих поворотов. Прежде всего начнем с поворота начальной системы хуг во Повернув еб на некоторый угол о против хода часово круг оси г. й стрелки, е) Если бы этот детерминант был равен нулю, то не существовало бы обратного оператора В с (зто следует нз правила Крамера) н равенство (4.41) не имело бы счыслз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
