Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 30
Текст из файла (страница 30)
$4.8. Скорость изменения вектора. Понятие бесконечно малого поворота дает мощный инструмент для описания движения твЕрдого тела. Рассмотрим какой-нибудь вектор О, например радиус-вектор материальной точки или вектор кинетического момента. В процессе движения такой вектор обычно изменяется и изменение его часто зависит от координатной системы, в которой производится наблюдение этого вектора. Возьмем, например, систему координат, связанную с твердым телом, и рассмотрим вектор, идущий из начала координат этой системы в некоторую точку тела. Ясно, что в системе координат, связанной с этим телом, такой вектор будет постоянным.
Однако наблюдатель, связанный с неподвижной системой координат, будет считать, что составляющие этого вектора изменяются в процессе движения тела. 100 КИНЕМАТИКА ДВИНРЕНИЯ >'ВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. 4 Рассмотрим приращения, которые получают за время ив' составляющие произвольного вектора О. В системе координат, связанной с телом, эти приращения будут отличаться от соответствующих приращений в неподвижной системе координат, и это отличие вызывается только вращением системы, связанной с телом.
Символически это можно записать так: (йО)тено = (ФО)прост>анстно+ (г1О)арап>ение. Но приращения составляющих вектора вследствие бесконечно малого вращения координатных осей определяются равенством (4.94). Следовательно, ЫО)врвн>сине = О М ЙЯ откуда получаем следующее соотношение между дифференциалом с!О в неподвижной системе координат и дифференциалом йО, наблю- даемым в системе, связанной с телом; (г!О)пространство = (йО)тоно+ й() Х О. (4.99) () =() + й61 = ("1 иг)пространство (иг)тело (4.100) Здесь е> — угловая скорость тела (4.10!) т. е. мгновенная угловая скорость вращения тела.
Вектор е> направлен вдоль оси бесконечно малого поворота, совершающегося в момент 1, Эта ось называется мгновенной осью вращения. Равенство (4.100) следует рассматривать не как формулу, относящуюся к какому-нибудь конкретному вектору О, а скорее как уравнение преобразования производной по времени при переходе от одной системы координат к другой. На вектор О, который мы здесь дмфференцируем, не было надо>кено никаких условий. Произвольность этого вектора можно подчеркнуть, записав уравнение (4.100) в операторной форме (-)„„е„а,о„, =(-)„„+ "~ (й! (4.
102) Как и всякое векторное равенство, уравнение (4,100) можно спроектировать на оси любой системы координат. Рассмотрим, например, вектор =--(" —;,) >пространство Скорость изменения вектора О получается посредством деления (4.99) на дифференциал времени йг: э 4.8[ СКОРОСТЬ нЗМВНВНИЯ ВИКТОРА Он представляет скорость изменения вектора ег, наблюдаемую в неподвижной системе координат. Но если вектор Р уже получен, то его составляющие можно вычислить для любой системы осей, даже для движущейся, что часто оказывается удобным.
Однако здесь следует соблюдать осторожность: когда производится проектирование на движущиеся оси, проекция гс оказывается неравной производной М ~И„~ lпрсссГвнснвс Например, скорость изменения вращающегося вектора г, наблюдаемая в неподвижной системе координат, есть некоторый вектор ав, определяемый равенством (4.94). При этом составляющие вектора ю по осям системы, вращающейся вместе с г, будут, вообще говоря, отличными от пуля. С другой стороны, составляющие самого вектора г будут в этой системе постоянны и их производные по времени будут равны нулю (независимо от того, в какой системе находится наблюдатель). Таким образом, если производную вектора по времени мы берйм в одной системе координат, то вычислять еЕ составляющие в другой системе нужно лишь после того, как будет выполнено дифференцирование этого вектора.
Вектор кинетического момента часто удобно выражать через углы Эйлера и их производные по времени. Для этого бесконечно малый поворот, связанный с ы, следует рассматривать как совокупность трйх последовательных бесконечно малых поворотов с угловыми скоростями ы„=з, ыз — — 9, сс. =ф. Тогда в соответствии с известным свойством векторов бесконечно малых поворотов мы можем считать ю суммой трах отдельных векторов угловых скоростей. К сожалению, векторы ю, ым ь>Р расположены несимметрично: вектор вз направлен вдоль неподвижной оси л, вектор юс — вдоль линии узлов, а юэ — вдоль подвижной оси г', связанной с телом.
Однако составляющие этих векторов относительно любой системы координат можно получить с помощью ортогональных преобразований В С, 0 (см. $4.4). При рассмотрении уравнений движения особенно удобна система осей, связанных с движущимся телом. Поэтому мы получим составляющие вектора ьз именно в этой системе.
Так как вектор ы параллелен неподвижной оси я, то его составляющие по осям, связанным с телом, можно получить посредством применения полного ортогонального преобразования А = ВСЮ [формула (4 46)[: (ю ), = р51пб 51пф, (ю ) = р51пбсозу, (мт)„, =~Рсояй. Что касается вектора свм то он идЕт по линии узлов, являющейся осью 1'. Поэтому составляющие вектора юс по осям, связанным с телом, могут быть найдены посредством применения только одного ортогонального преобразования В [формула (4.4б)[: (ьэс), = ч соз ", (ю1), = — О 51п ф, (Ю1),, = б. 152 (гл. 4 кинвматика движяния твйгдого талл Наконец, составляющие вектора юй вообще не требуют преобразования, так как этот вектор направлен вдоль оси г'. Складывая соответствующие составляющие отдельных угловых скоростей, мы получаем составляющие полного вектора ы по осям, связанным с телом: ыл = о з1п б гйп ф+ б сов ф, а)ч — со 5!п б соя 6 — з з1п '.), ы, = гсозб+б.
/ (4. 10 3) Тот же призм позволяет выразить через углы Эйлера и составляюгние ю по неподвижным осям. где и, и ю„— скорости данной точки относительно неподвижной и вращающейся систем координат. Применим теперь уравнение (4.102) к вычислению скорости изменения вектора е,. Проделав это и подставив в полученный результат а, из (4.104), будем иметь: ( — ') = а, = ( — ') +ю Х и, = а„+2 (ю Х и,.)+ю Х (ю Х г), (4.! 0б) где через а, и а„обозначены ускорения точки в двух координатных системах.
Поэтому уравнение движения, которое в инерциальной системе координат имеет вид г. = гла„, ф 4.9. Сила Кориолиса. Равенство (4.102) является основным кинематическим уравнением, служащим для получения динамических уравнениИ движения твйрдого тела. Однако оно применимо не только к движению твердого тела, но и к движению материальной точки или системы материальных точек во вращающейся системе координат. Одной из наиболее важных задач этого рода является задача о движении материальной точки относительно системы, связанной с вращающейся Землйй.
В классической механике постулируется, что второй закон движения Ньютона [уравнение (1.1)1 справедлив в системе координат с началом в центре Солнца — в так называемой инерпиальной системе ггоардилат. Наземные же измерения обычно производятся в системе координат, связанной с Землей, которая вращается относительно инерцнальной системы с постоянной угловой скоростью ю. Уравнение (4.102) позволяет так модифицировать уравнения движения, чтобы онн были справедливыми в этой неинерцнальной системе отсчета. Прежде всего применим уравнение (4.102) к радиусу-вектору данной точки. Проведя этот вектор из начала координат системы, связанной с Землйй, получим: .=,-+юХ, (4.
104) э 4.91 153 силл коеиолисл будет во вращающейся системе записываться в виде à — 2 (ыХ,) — Х(юХ )= (4. 106) Следовательно, наблюдателю, находящемуся во вращающейся системе, будет казаться, что рассматриваемая точка движется под действием некоторой эффективной силы Р;4, равной Р,з = Р— 2т (ы Х и,) — тю Х (ю Х г). (4.
107) Исследуем члены, входящие в уравнение (4.107). Последний из них представляет собой вектор, перпендикулярный к ю и направленный от оси вращения. Величина его, как легко видеть, равна твегз1пб и, следовательно, он представляет собой обычную центробежную силу. Если рассматриваемая точка находится в покое относительно подвижной системы, то центробежная сила является единственной добавочной силой, входящей в выражение эффективной силы.
Однако если эта точка движется, то появляется третий, в нашем уравнении средний, член, известный как сила Кориолиса. Порядок величины каждой из этих сил легко оценить, если рассмотреть точку, находящуюся на поверхности Земли. Если смотреть с Северного полюса, то вращение Земли будет казаться происходящим против хода часовой стрелки, и угловая скорость этого вращения будет равна 24 зб о — — 7,29 10 сем 24 3600 При этом значении ш и при г, равном радиусу Земли, центростремительное ускорение будет иметь максимальную величину, равную ы'г = 3,38 см/сека, т.
е. приблизительно 0,3о/о от ускорения силы тяжести. Хотя это ускорение и мало, однако не всегда им можно пренебречь. Центробежная сила всегда направлена от оси Земли, и на экваторе она параллельна радиусу-вектору г. Однако на других широтах эта сила не параллельна г, и так как отвесное направление определяется силой тяжести и центробежной силой, то всюду, кроме экватора, отвес устанавливается не точно вдоль радиуса-вектора, хотя отклоняется от него весьма мало. При определении вертикали с помощью отвеса поправка на это явление не вводится, так как истинной вертикалью принято считать не направление радиуса-вектора, а направление отвеса *). Так как кажущаяся сила тяжести, действующая на маятник, есть сумма гравитационной и центробежной сил, то я будет изменяться с широтой, и на экваторе оно будет иметь наименьшее значение, я) Вертикаль гюжно также определить как нормаль к поверхности покоя.
щейся жидкости. кинематика движения твендого телА 1гл. 4 154 т. е. будет, как учитывать. Действующая ларка как к ю, мы видим, не настолько велико, чтобы его стоило на движущуюся точку сила Кориолиса перпендикутак и к п в). В Северном полушарии вектор ю направлен от поверхности Земли, и так как сила Кориолиса равна 2т (тт Х ю), то, действуя на снаряд, летящий вдоль земной поверхности, она отклоняет его вправо (рис.
49). В Южном полушарии это отклонение направлено в противоположную сторону, а на экваторе, где вектор ю горизонтален, оно равно нулю. Величина ускорения Кориолиса никогда не бывает больше, чем 2юо 1,5 10 о, что при скорости 10асм/сек(3600км/час) дает величину 15 см/сека или около 0,015д. Как правило, такое ускоРнс. 49. Отклонение точки, рение следует рассматривать как весьма " н в еве ном полушарии, вследствие силы Ко малое, однако в некоторых случаях рнолнса. оно становится существенным.
Для иллюстрации рассмотрим 'следующий, несколько искусственный пример. Предположим, что с корабля, нахо- дящегося на Северном полюсе, производится выстрел в горизонталь- ном направлении. Ускорение Кориолиса будет иметь величину 2юо и линейное отклонение снаряда от его первоначального направления *) Индекс г у скорости о мы в дальнейшем будем опускать, так как все скорости мы будем рассматривать только относительно вращающейся системы координат, а у полюсов — наибольшее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
