Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Так, например, диагональный элемент 7м примет тогда вид ! ==~ о(»)(»' — хг)а1». т ~!л. 6 !!Авиация дани ения !Вегас!о Гглг в качестве такой системы нам будет удобно взять систему, связанную с телом ь). Расстояния хн уп г, не будут тогда изменяться со временем, и поэтому элементы матрицы будут постоянными величинами, характеризующими данное тело н зависящими от положения осей х, у, г в теле. Уравнения (5.5), связывающие составляющие Е с составляющими ш, лщжно заменить одним операторным уравнением, имеющим вид Е =1ш, (5.8) где через 1 обозначен оператор, матрица которого имеет з качестве своих элементов моменты инерции (5.5).
Из двух интерпретаций, которые мы дзвали ранее оператору линейного преобразования (см. В 4.2), здесь под 1 следует, очевидно, понимать оператор, действующий на вектор ео, а не на координатную систему, так как векторы Е и оз суть два вектора различной физической природы и разной размерности, а не один и тот же вектор, выраженный в двух различных системах координат. В отличие от оператора вращения оператор 1 является размерным: его размерность равна !масса х',(длина)'-).
Кроме того, он не связан условиями ортогональности. Таким образом, уравнение (5.8) выражает тот факт, что оператор 1, действуя на вектор ш, дает в результате физически новый вектор Е. Хотя мы в полной мере нспользуем аппарат матричной алгебры, развитый нами прн изучении операторов вращения, однако основное внимание мы здесь будем уделять природе н физическому характеру рассматриваемых оперзторов. $ 6.2.
Тензоры и диады. Так как Е = 1ю, то ! можно рассматривать как частное от деления Е на вм Однако известно, что отношение двух величин часто не является величиной того класса, к которому принадлежат рассматриваемые величины, а может принадлежать к более сложному классу. Так, например, частное от деления двух целых чисел, вообще говоря, не является целым числом, а является числом рациональным.
Точно так же частное от деления двух векторов нельзя, как известно, определить таким образом, чтобы оно принадлежало к классу векторов. Не удивительно поэтому, что 1 является величиной нового типа, а именно тензором второго ранга. В трехмерном пространстве тензор Т гУ-го ранга мы будем определять как величину, имеющую 3" составляющих Тгув... (всего л) В главе 4 такая система обозначалась !штрихамн. Тзк как в дальней. шем составляющие по неподвижным осям будут встречаться у нас редко, то для простоты обозначений мы будем штрихи опускать. $ 5.21 165 ти!зогы н дилаы М индексов), которая при ортогональном преобразовании координат преобразуется матрицей Д согласно следующей схеме *): тйа = ~~ анар„а„„... т (5.9) 1,и~,н.
При таком определении тензор нулевого ранга будет иметь только одну составляющую, инвариантную относительно ортогонального преобразования. Следовательно, скаляр являепгся тензорол! нулевого ранга. Тензор первого ранга имеет три составляющих, преобразуемых согласно равенству л т; = — л, а!1т.. Сравнение этого равенства с уравнениями преобразования векторов [см.
(4.14)) показывает, что тензор первого ранга в!свивилектен вектору. Наконец, девять составляющих тензора второго ранга преобразуются по схеме т;, = ~' агаа,!7'„и l м! (5.10) Преобразование л!атрнць! оператора 1 является подобным преобра- зованием с помощью матрацы Д. Поэтому можно написать 1'=А1А ', или, так как матрица Д ортогоцальна: 1' = А1А. Тогда гу'-й элемент преобразованной матрицы определится с помощью равенства У! =-~ ат1лга! = — ~, агап,1а!, (5.11) ") Мы не будем делать различия между коварнаятиымв и контрваряант. нымк тензорамн, так как зто пе имеет значения в случае 'декартовой гн.
стемы координат. совпадающего по форме с (5.10). Отсюда следует, что оператор 1 есть тензор второго ранга. Строго говоря, следует различать тензор 1 и квадратную матрицу, образованную из его составляющих. Определяющим признаком тензора является выполнение определанных правил его преобразования при ортогональном преобразовании координат. С другой стороны, матрица никак не ограничивается видом преобразований, которым она может быть подвергнута, и может рассматриваться совершенно независимо от еЬ свойств при данных преобразованиях.
166 [гл. б УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Тем не менее, неправильно было бы всегда подчеркивать это различие, так как, оставаясь в пределах ортогональных преобразований, мы будем иметь здесь полную идентичность. Составляющие тензора и элементы матрицы преобразуются в этом случае одинаковым образом, и каждому тензорноиу равенству при этом будет соответствовать некоторое матричное равенство и наоборот. Эквивалентность между тензорами и матрицами не ограничивается тензорами второго ранга, Так, например, мы знаем, что составляющие вектора, который в сущности является тензором первого ранга, образуют матрицу, состоящую из одного столбца, н поэтому действия над векторами можно трактовать как действия над соответствующими матрицами.
Другое полезное представление оператора г можно получить с помощью диадного исчисления. Диадным произведением мы будем называть совокупность двух векторов, заданных в определйнном порядке. Мы будем обозначать его символом АВ и вектор А называть левым множителем, а вектор  — правым. Скалярное произведение АВ на вектор С можно получить двумя путями: АВ С=--А(В С) или С ° АВ =- В(А С). В общем случае эти произведения не равны друг другу, следовательно, скалярное умножение диад некоммутативно. Следует заметить, что в обоих случаях скалярного умножения мы получаем вектор, отличающийся как направлением, так и величиной от вектора С. Кроме того, можно ввести произведение АВ: СР =-- (А .
С) (В,Р). Более удобно, однако, записать его в виде АВ: СР = — С АВ °,Р. Под диадой мы будем понимать сумму*) АВ+ СР+... В сущности любое диадное произведение АВ можно предсгавить в виде диады, выразив для этого векторы А и В через их соста- э) Если точно придерживаться терминологии Гиббса, которой следует Голдстейн В оригинале этой киягп, то диадное произведение АВ следует называть диадой, вектор А в предыдущим (антецедентом — ап>есебеп>), вектор В— последующим (коисеквенгом — сопэейиеп>), произведение АВ С вЂ пост- фактором (роэйзсгог), произведение С А — префактором (ргегвсгог), э сумму диадиых произведений АВ+СВ+...
— Ливд>слом (буэб>с). В тексте, однако, использованы обозначения, принятые в русской литературе (см., например, Д. И. Крут илии, Теория конечных деформаций, 1947, или д, Н эхаи, Пласю>чноеть И Рэ>рУщение тэардых тел, 1954). (1)рим. перев.) э 5.3[ твнзог инегции н момент инвгцин 167 вляющие вдоль ортов Г, /, к.
В этом случае диадное произведе- ние АВ принимает вид АВ= А В В+ А ВяУ+ А Вй+ + АвВх3$+ АяВуД+ АяВ.7й+ +А,В И+ А,Вв(г7+А,В,И. (5.12) Правая часть равенства (5.12) называется девягличленкой формой днадного произведения, так как она содержит девять коэффициентов. Очевидно, таким путем можно свести к девятнчленной форме и любую диаду. Так как коэффициенты девятнчленного представления диады являются однородными квадратичными функциями составляющих векторов, то, очевидно, они будут преобразовываться так же, как составляющие тензора второго ранга [см. уравнение (5.10)[.
И обратно, из каждого тензора второго ранга можно образовать диаду, для чего достаточно использовать составляющие тензора в качестве соответствующих коэффициентов девятичленной формы. Таким образом, имеется полная формальная аналогия между диадой и тензором второго ранга. Кроме того, они эквивалентны и в отношении действия, нроизводнмого ими на вектор, ибо мы знаем, что скалярное произведение диады на вектор есть опять некоторый вектор. Поэтому оператор 7 можно записать таким обравом, что будет ясно видна его диадная форма. Для этого мы введем единичную днаду 1: ! = и+я+и, (5.13) обозначение которой, конечно, вполне оправдано, так как матрица оператора (5.13) совпадает с единичной матрицей, Кроме того, непосредственное умножение показывает, что ! А=А 1 =-А Пользуясь этой диадой, можно записать У в виде 1 = ~~~ лг~(г',! — г;г,), что подтверждается равенством у гв=",~ т,~г1ьз — -гз(гз гв)~ =С, (5.14) совпадающим с (5.3). $5.3.
Тензор инерции и момент инерции. Тензор 7 можно рассматривать и как тензор второго ранга и как диаду. Его обычно называют текзором момента инерции илн просто тензоролг инерции. Преимущество записи тензора 1 в виде диады состоит в том, что прн этом могут применяться обычные векторные операции. 1гл. 5 168 хглвнвния движения тввавдого талл Таким путем мы приходим к естественному способу выражения кинетической энергии вращения через диаду /. Кинетическая энергия тела равна 1 %ч 2 Т вЂ”, т яьгю;, где оь — абсолютная скорость 1-й точки. С помощью формулы (5.2) это равенство можно записать в виде Т= — т тьоь (ы Х г;), 1 ъч 4 что согласно формуле для смешанного произведения равно Т= ~ ~1 т;(г;Хоь). Вектор, стоящий здесь под знаком суммы, представляет кинетический момент тела относительно начала координат, и поэтому 7' =— (5.15) Пусть, далее, и будет единичным векторол~ в направлении ю, так что ю = ььп.
Тогда кинетическую энергию Т можно будет представить в виде ез 1 Т= — и 7 и = — —,Уша, (5.16) 2 где 7 в скадар, определяемый равенством 7= — и 7 и == ~', ть '(г~ — (г', и)'~. (5.!7) Рис. 52. К вычислешпо момента инерции. Он называется моментом инерцщь тела относительно оси вращения. При элементарном изложении момент инерции тела относительно оси определяют как сумму произведений масс отдельных его частиц на квадраты их расстояний до этой оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
