Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Покажем, что это определение согласуется с выражением (5.!7). Расстояние до осн равно. как известно, )г;Х н ~ (рис. 52). Поэтому согласно обычному определению 7 = Х тч (ге Х а) (г'ь Х а). Рассматривая теперь первую из этих скобок как один вектор и пользуясь формулой лля смешанного произведения, мы можем написать. Х(. Хи) $ 5.31 ТЕНЗОР ИНЕРЦИН И МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 169 Наконец, раскрыв двойное векторное произведение, окончательно получим I =- ~~ лггг, ° (г; — п (г; п)] = .~ тг 1г, — (г; и)'~, что совпадает с (5.17). Величина момента инерции зависит от направления оси вращения, а так как в процессе движения вектор ы обычно изменяет свой направление относительно тела, то момент инерции следует рассматривать как функцию времени.
Исключение составляеч момент инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси; он остаатся постоянным. В этом случае кинетическая энергия в форме (5.16) почти достаточна для составления лагранжиана и уравнений движения. Лальнейший шаг заключается лишь в том, чтобы выразить ы в виде производной по времени от некоторого угла, что, конечно, можно сделать без труда. Момент инерции (как и тензор инерции) зависят также от выбора начала Ь подвижной системы координат, Однако Рис.
53. К вычислению мо- существует простая зависимость между ментов инерции относительмоментами инерции относительно данной ио параллельных осей. оси и параллельной ей оси, проходящей через центр масс. Пусть )с обозначает вектор, идущий из начала координат О в центр масс, а г; и г,'.— радиусы-векторы, идущие в 1-ю точку из точки О и из центра масс. Эти трн вектора связаны соотношением гг= — Л+г;. Момент инерции относительно оси а будет тогда равен ~.=Хт;(,Х ) =Х и~(,'+г)Х Г или 7„= ~ т, (Р Х и)'+ ~ т, (г; Х п) + 2,~ т~ ()? Х п) (гг Х п). Но последний член этого выражения можно представить в виде — 2 (И Х и) (и Х Х т,г;), 1 где .У, тггг согласно определению центра масс равно нулю.
Следовательно, связь между моментом инерции относительно оси а и [гл, 5 170 >глвнвния движения твйвдого талл моментом инерции относительно оси Ь, параллельной а, выражается следующим образом: ! =-7ь+М(ЛХп)е (5.18) Величина вектора Р К а, очевидно, равна расстоянию от центра масс до оси а.
Таким образом, момент инерции относительно оси а равен моменту инерции относительно параллельной ей оси Ь, проходящей через центр масс, плюс момент инерции данного тела относительно оси а, полученный в предположении, что вся масса тела сосредоточена в центре масс. Эта теорема весьма схожа по форме с теоремами, которые были получены нами в й 1.! для количества движения, кинетического момента и кинетической энергии. ф 5.4. Собственные значения тензора инерции и главные оси преобразования.
Предыдущие рассуждения имели целью подчеркнуть ту важную роль, которую играет тензор инерции при изучении движения твердых тел. С этой точки зрения исследование свойств этого тензора и связанной с ним матрицы представляет значительный интерес. Из формулы (5.7) видно, что составляющие этого тензора симметричны, т. е.
У в — — Ую,. Так как, кроме того, они вещественны, то матрица этого тензора совпадает со своей эрмитовсяи сопряженной [см. уравнение (4.38)[, т. е. является мат)>идей Эра>пта. Таким образом, хотя этот тензор имеет девять составляющих, однако среди них будет только шесть независимых: три вдоль диагонали и три по одну сторону от нее. Моменты инерции завнсят как от поло>кения начала подвижной системы, так и от ев ориентации относительно тела.
Было бы, конечно, весьма удобно, если бы при заданном положении начала координат можно было найти такую ориентацию подвижных осей, при которой тензор инерции является диагональным и, следовательно, может быть записан в виде диады 7'=7>Н-[- у~+7,Ы. (5.!9) В такой системе координат каждая из составляющих вектора Е будет содер>кать только соответствующую составляющую вектора нц таким образом, в этом случае будем иметь: (5.20) Аналогичное упрощение получается здесь и для кинетической энергии, которая принимает вид $ 5.4) сОбстВенные знАчения тензОРА инеРции 171 ",~~ 1„,.Х„, = 1,ХЫР (5,22) Умноягая написанное равенство на Хгг и суммируя по всем г', по- лучаем ~" Х,*,1,ЕХА1 = 14 ~ Х,"гХг1. ьь 'г (5.23) я) Это значит, что матрица Х, которая дяагонализнрует матрицу тензорв 1 посредстзом подобного йреоэразовання, является веи1еггнвенннй ортогональной матрнцей.
Можно показать, что такие оси всегда существуют; доказательство этого основывается на том, что тензор инерции является эрмитовым. Как отмечалось в $ 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путйм приведения этой матрицы к диагональному виду; элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой 1 имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора 1, причйм числа 1,, 1„ 1а суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что з координатной системе, где тензор 1 является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор ю будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х.
Тогда кинетический момент 5 =- 1 в будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора / на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен 5ыть одним из собственных векторов преобразования 1. В $ 4.6 мы говорили о диагонализации матрицы и отыскании ей собственных значений.
Однако сама по себе эта процедура не является доказательством существования вещественной декартовой сислгелгы, в которой матрица тензора 1 ортогональна. Вспомним, например, что, за исключением тривиальных случаев, любая ортогокальная матрица имеет только одно вещественное собственное значение н, значит, для собственных векторов ей имеется только одно эещественное направление (направление оси вращения). В протнвополжность этому мы сейчас докажем, что все собственные значения матрицы тензора 1 являются вещественными, а три вещественных направления еэ собственных векторов взаимно ортогональны н). Пусть Х» будет й-я составляющая 1-го собственного вектора матрицы тензора 1(согласно обозначениям ф 4.6). Тогда уравнения, определяющие собственные векторы, запишутся в виде (гл.
5 )72 ввавнвния движения твйгдого тела Сумму, стоящую в правой части этого равенства, можно записать в виде произведения Я~ Рв, т. е. в виде скалярного произведения собственного вектора )с! и вектора, комплексно сопряженного с собственным вектором Рп Составляя теперь для 1, уравнение, подобное (5,22), и переходя затем к комплексно сопрюкенному уравнению, будем иметь ) 1л Хи =1~Хан Умножая это равенство на Хя! и суммируя по й, получаем ч„' Х1!!агХ„= 1", У„Х,М,Хл,, (5.
24) причем сумму, стоящую в правой части этого равенства, опять можно заменить на Л! ° Р!. Но так как матрица тензора 1 является эрмитовой, то 1га = !т и, следовательно, левые части равенств (5.23) и (5.24) одинаковы. Вычитая одно из другого, получаем (11 — 1,*) Л',. Л, =- О. Пусть теперь ! равно 1'.
Тогда )1! ° Р1 — — ! Р! )' будет некоторым положительным числом, и поэтому левая часть равенства (5.25) будет обращаться в пуль только при 1 =1~, что доказывает нерву|о часть рассматриваемой теоремы. Заметим, что в этом доказательстве использовалось лишь то обстоятельство, что матрица тензора 1 является эрмитовской. Таким образом, собственные значения любой эрмитовой матрицы являются веществен- ныли.
Так как матрица тензора 1 является, кроме того, вещественной, то вещественными должны быть и направляющие косинусы еб собственнь:х векторов Ю . Пусть теперь ! отлично от 1 и все собственные значения различны. Тогда левая часть равенства (5.25) будет обращаться в нуль только тогда, когда И, тс =- О, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы *). Если *) Здесь можно заметить близкую аналогию, связанную с уравнением Штурма — Лнувнлля в теории дифференциальных уравнений в частных пронзводньж, так как известно, что собственные значения дифференциального оператора Эрчпта являются вещественными, а соответствующие собственные функции — ортогонельнымн.
Эта аналогия не является случайной, нбо всегда можно установить соответстеве между данным уравнением в частных производных и некоторой матрицей. Именно такое соответствие имеет место в квантовой теории между матричной механикой н волновой механикой, ь 5,4~ соы.гвюшь» зпгчюшя ~снзогч цпв~ цип ПЗ собственные значения матрицы тензора 1 не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора 1 с тем же собственным значением.
Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами, Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому з рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, нм перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства б> дуг направлениями собственных векторов. По это значит, что матрица тенаора 1 является диагональной н ец не требуется диагонализировать.
Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главиьгли осями инерции, а соответствующие диагональные элементы 1„1ю 1з — глазными молгентами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как ггреобризованиа к славным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора 1, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
