Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 35
Текст из файла (страница 35)
из векового уравнения. Папомннм, как получается это уравнение. Заметим, что при 1 = П 2, 3 уравнения (5.22) образуют систему трйх однородных линейных уравнений относительно составляющих собственного вектора. Поэтому они будут иметь нетривиальное решение только в том случае, когда детерминант нз их коэффициентов будет равен нулю: ! 1я 1,. — == о.
(5.26) Уравнение (5.26) является вековым уравнением, к>бическим относительно 1, и три его корня представляют искомые моменты инерции. Для каждого из этих корней можно найти решения уравнений (5.22) и получить таким путйм направление соответствующей главной оси. Во многих простых случаях о главных осях твЕрдого тела могкно судить непосредственно по его виду. Часто, например, встречаются англ.
Ь 114 3 плавания движения тэегдого ч алл случаи, когда рассматриваемое тело представляет собой тело вращения, а начало подвижной системы координат лежит на его оси симметрии. Тогда все направления, перпендикулярные к оси симметрии, будут, очевидно, равнозначными, что указывает на наличие двойного корня векового уравнения. Главными осями будут в этом случае ось симметрии и две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии.
К понятию о главных осях можно придти и из некоторых геометрических соображений. Исторически они были первыми, которые привели к этом> понятию. Момент инерции относительно данной оси мы определили как 1=.=м 1 и. Обозначив направляющие косинусы вектора а ~ерез в, 3, т, будем иметь и =Ы+ Я+~Уг, и тогда вследствие симметрии выражения для У его можно будет записать в виде У=У и'+УаяЗа+1„7'+21 еЯЗ+21яЗУ+21, Рю (5.27) Введем теперь вектор р, определяемый равенством и Р== г'У Таким образом, мы связываем величину этого вектора с моментом инерции относительно оси га. Вводя составляющие этого вектора в равенство (5,27), мы можем записать последнее в виде 1 =1 о',+Уя„е'+ У„ре+21 „р,8 +21„р,,р,+ 21, р,р,. (5.28) Рассматривая правую часть этого уравнения как функцию трах переменных, мы видим, что оно является уравнением некоторой поверхности в пространстве вектора р.
Эта поверхность представляет собой поверхность эллипсоида, который называется зллипсоидом инерции. Известно, что всегда можно найти такое преобразование декартовых координат, в результате которого уравнение эллипсоида принимает канонический вид (5.29) и главные оси его оказываются направленными вдоль новых осей координат. Но уравнение (5.29) имеет как раз такой вид, какой приобретает уравнение (5.28) в системе координат, где тензор инерции ! является диагональным, Следовательно, преобразование коор. динат, приводящее уравнение эллипсоида к каноническому виду, совпадает с рассмотренным выше преобразованием к главным осям.
О.О) Ог!цип мглод Решении злдлчи О,'!Иижеш!и ЧзегдОГО '!елл 173 Главные моменты инерции определяют длину осей эллипсоида инерции. Если два корня векового уравнения будут равны, то эллнпсоил инерции будет иметь дзе равные оси и, следовательно, будет эллипсоидом вращения. Если же все главные моменты инерции будут равны, то эллипсоид инерции превратится в сферу. Величиной, тесно связанной с моментом инерции, является радиус инерйии Яш определяемый равенством (Б.ЗО) С помощью радиуса инерции вектор р можно представит! в виде Следовательно, радиус-вектор каждой точки эллипсоида инерции обратно пропорционален радиусу инерции относительно оси, иа которой лежит этот вектор.
Э Б.Б. Общий метод решения задачи о движении твердого тела. Уравнения Эйлера. Весь аппарат, необходимый для решения задачи о движении твердого тела, нами практически уже получен. В некоторых случаях, когда на это тело пало!кены неголономные связи, нам потребуется применить специальные приамы, чтобы учесть их, Так обстоит дело, например, в том случае, когда на тело наложена «связь качения», которая может быть учтена с помощью введения неопределйнных множителей Лагранжа, как это делается в $ 2.4.
Если, однако, исключить эти специальные случаи, то, как правило, нам придется иметь дело только с голономными и консервативными системами, а движение таких систем вполне определяется их лагранжианом. Если рассматриваемое тело является свободным, то нам потребуется полная система из шести обобщенных координат: трйх декартовых координат для описания поступательного движения и трах углов Эйлера для описания его вращения. Кинетическую энергню этого тела можно представить как энергию его поступательного движения вместе с центром масс и энергию вращательного движения, т. е. в виде 1 1 2 2 — Мо'+ — 1!»е. Чтобы получить удобное выражение для второго члена этой суммы, его обычно выражают в главных осях; при этом вращательная энергия приобретает простой вид, получающийся из (5.21) после подстановки туда составляющих вектора ю, выраженных через углы Эйлера.
Разумеется, если одна точка твйрдого тела закреплена, то его кинетическая энергия будет состоять только из энергии вра. щения, и тогда задача значительно упростится, 126 1гл. 5 . ехвньиш лвнжения твагло~~~ 1глл где 1„(я, /з — главные моменты инерции относительно неподвижной точки. Далее, нам нужно подставить сюда составляющие ы, ыв, ы„ выраженные через углы Эйлера, что можно сделать с помощью формул (4.103), связывающих главные оси тела с некоторой неподвижной системой осей.
Полученный таким путам лагранжнан будет функцией трах углов поворота: В, з н ф. Заметим теперь, что если некоторая обобщанная координата описывает вращение, то соответствующая обобщенная сила будет составляющей вращающего момента вдоль оси вращения (см. 3 2.6). Поэтому обобщенные силы, соответствующие координатам д, в, г), будут составляющими действующего вращающего момента, но только не вдоль главных осей тела, а вдоль линии узлов, неподвижной оси в н подвижной оси г', связанной с телом.
Следовательно, из трех этих обобщйнных сил д1г только сила — —, соответствующая углу э, представляет полны11 дф ' момент действующих сил относительно одной из главных осей— оси з. Поэтому уравнение Лагранжа, соответствующее координате 6, можно записать в виде — ( —,) — — = ж,. дТ дТ (5.32) Далее, из уравнений (4.103) видно, что производную ( содержит только составляющая ыы а саму координату ф — только составляющие о и ыв. При этом имеют место равенства: дв дав = ы, — ы д) д) дш — =1, д6 В ряде случаев изучаемое движение является плоским, например движение пластины в своей плоскости.
Тогда направление оси вращения будет вой время перпендикулярным к этой плоскости, т. е. будет фиксированным в пространстве. В этом случае понадобятся не три угла, характеризующих вращение, а только один такой угол, и можно будет обойтись без громоздких формул, содержащих углы Эйлера.
Хотя формально уравнения Лагранжа и достаточны для решения рассматриваемой задачи, однако в случае тела с одной неподви>кной точкой часто удобнее пользоваться другимн уравнениями, известными под названием уравванип Эйлера. Эти уравнения можно получить следующим образом. В случае, когда действующие силы являются консерватпвнымн, рассматриваемое твердое тело имеет лзгранжиан, равный б.б1 овщий метод гащьчшя аадачп о лвижхнип тат|лого талл 177 С помощью этих формул и формулы кинетической энергии в форме (5.21) мы получим следующие выражения для частных производных, входящих в (5.32): дТ вЂ” =7м, дф з = дТ вЂ” =Ум ы — !и ы„ дф Поэтому уравнение (5.32) принимает внд (5.33) !а~з — ~ м„(У, — Уз) = М,.
Далее заметим, что, выбирая одну из главных осей в качестве оси л, мы совершали этот выбор совершенно произвольно. Поэтому в уравнении (5.33) можно переставить индексы и написать аналогичное уравнение для составляющей полного момента относительно любой из главных осей. Таким образом, мы сразу получаем полную систему уравнений движения, которая имеет следующий вид: Т,ш — мям, (Тэ — У ) = И, 1 (5. 34) Это — так называемые уравнения Эйлера для движения твйрдого тела с одной неподвижной точкой. Следует подчеркнуть, что третье из этих уравнений является уравнением Лагранжа для координаты ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
