Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ф 6.5. Релятивистские уравнения Лагранжа. Теперь, когда нами получено релятивистское обобщение уравнения Ньютона, мы можем перейти к вопросу о релятивистских уравнениях Лагранжа. В некотором отношении это сделать легко, так как нетрудно обрззовать лагранжиан, приводяаций к правильным релятивистским уравнениям движения. Правда, на этот раз трудно получить уравнения подобной форме, в которой записывается количество движения в нерелятивистской механике. В отличие от массы покоя релятивистская масса т, зависит от скорости и при 6 -+ 1 становится бесконечно большой. В литературе можно встретить и другие «массы», вводимые обычно в связи с релятивистским уравнением движения 9 6,6) РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 227 Р' (Р1ю — р2) йгз = 0 (1.42) справедливо не только в классической механике, но и в релятивистской, однако все преобразования, проделанные в главе 1, будут теперь неверны, так как 12; не равно лгпп Можно также исходить из принципа Гамильтона (9 2.1), т.
е. из равенства н (6.48) Тогда задачу получения лагранжиана можно будет рассматривать как задачу об отыскании такой функции 1., для которой уравнения Эйлера †Лагран совпадают с известными релятивистскими уравнениями движения. Функцию, удовлетворяющую этим требованиям, обычно найти нетрудно. Пусть, например, имеется одна материальная точка, находящаяся в поле консервативной силы, не зависящей от скорости.
В этом случае в качестве релятивистского лагранжиана ~ можно взять функ ци ю 1. = — щсз ФГ 1 — 12 — 17, (6.49) где 1' — потенциал, зависящий только от положения точки. В этом можно убедиться, составляя для 1, написанного в форме (6.49), уравнение Лагранжа дь' Вычислив для этой цели — , получим де„' дЕ тон де '$' 1 — Рз (6.
60) и, следовательно, соответствующие данному лагранжиану уравнения движения будут иметь вид же; д1à — = — — = гтп ЛГ )/1 — Рз дхг что совпадает с (6.46). Заметим, что лагранжнан (6.49) не равен Т вЂ” 'Р', хотя его производная по скорости и равна количеству движения. Именно это обстоятельство и делает соответствующие уравнения Лагранжа правильными, позволяя принять для 1. выражение (6.49). Поэтому мы могли бы строить наши рассуждения в обратном Лагранжа, исходя только из принципа Лаламбера, как это было сделано в главе 1.
)(ело в том, что хотя равенство 228 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (гл. 6 порядке, т. е., исходя из равенства (6.60), искать зависимость лагранжиана от скорости. Лагранжиан (6А9) легко распространить на систему, состоящую из многих материальных точек. Кроме того, при этом можно пеРейти от декаРтовых кооРдинат х; к обобщйнным кооРдинатам Ог Обобщенные импульсы будут тогда по-прежнему определяться равен- ством дТ. Рд= дуг и поэтому импульсы, соответствующие циклическим координатам, будут оставаться постоянными (так же, кан и в перелятивистской механике).
Что касается теоремы о сохранении энергии, то она здесь также будет иметь место, но вывод ее придйтся несколько изменить. Вспомним, что в 9 2.6 было показано, что если 1. не зависит явно от времени, то имеет место равенство тп,. 2 Н = У вЂ”,='+ ")Т 1-- 2 +-1, лм У" 1. 62 что после небольшого преобразования можно записать в виде Н = —..='-- + Ъ' =-- Т.л- 1' = — Е. 1 — З2 Таким образом, мы видим, что Н по-прескнему равно полной энергии Е, являющейся здесь постоянной движения. Введение потенциалов, зависящих от скорости, также не представляет здесь особых трудностей и может быть сделано в точности так же, как это было сделано в э 1.5, Так, например, лагранжиан частицы, находящейся в электромагнитном поле, будет теперь равен Т.
= — Игсв~ 1 — 32 — дй+ — А О, с (6.51) где Н вЂ некотор постоянная. Этот вывод будет, конечно, справедлив и сейчас, так как, доказывая написанное равенство, мы исходили лишь из общего вида уравнения Лагранжа и из соотноше- дЕ ния р2 —— —,. Однако дальнейшее наше заключение, что Н есть дд. полная энергия, теперь нельзя будет получить так же, как раньше, ибо 1. более уже не будет равно Т вЂ” 1', а ~ь сг Р.
не будет равно 2Т. Заключение это, тем не менее, остается в силе, в чйм можно убедиться, рассматривая пример с одной материальной точкой, где Н равно в 66) 229 коВАРИАнтнля ФОРМА ллгглнжнлнл а соответствующий обобщйнный импульс будет равен р, =- лги;+ — Ан (6.52) Как мы видим, он не равен тио а отличается от него слагаемым, возникающим от той части потенциала, которая зависит от скорости. Этот результат не является, конечно, следствием релятивистских уравнений, так как тот же дополнительный член был нами получен и раньше (см, равенство (2.44)!. Таким образом, почти все специальные методы, созданные нами для решения задач классической механики, можно перенести на релятивистскую механику. С помощью этих методов мы могли бы решить ряд задач, подобных тем, что мы рассматривали раньше.
Например, можно было бы получить релятивистское решение задачи о движении под действием центральной силы. Орбиты, которые при этом получаются, имеют в общих чертах тот же характер, что и ранее (см. гл. 3), однако в некоторых деталях они получаются, конечно, иными, так как теперь у нас иной лагранжиан. 67=-3 ~ Е'(хл ил т) сгт = О, (6.53) где как У, так и ковариантный лагГанжиан Е' суть два инвариантных скадара.
$ 6.6. Ковариантная форма лагранжиана. Хотя описанная процедура получения лагран>киана и приводит к правильным релятивистским уравнениям движения, однако она является релятивистской лишь в определенном смысле, так как не является ковариантной. Например, время 1 и пространственные координаты хы х,хз мы рассматривали как величины разного рода, тогда как их следовало рассматривать как совершенно равноправные координаты пространства Минковского. Поэтому переменной, к которой мы относим перемещение точки в пространстве, следует считать не г, а собственное время т, являющееся инвариантным. Кроме того, лагранжиан должен быть инвариантной характеристикой материальной системы, не зависящей от того, какая система координат применяется при ей изучении.
Поэтому мы должны ожидать, что он будет некоторым скаляром, инвариантным относительно преобразований Лоренца. Наконец, если пользоваться языком четырехмерного пространства, то, вместо того, чтобы быть функцией хо х,(=о;) и г, лагранггх, жиан должен быть функцией х„— — '(=и,) и .. Ковариантная форма мулировка принципа Гамильтона должна поэтому иметь следующий вид; 230 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл.
6 и де' дà — — — — =О, дт ди, дх, (6.54) уравнений будут преооразовываться как соста- В случае свободной материальной точки лагранбыть такам, чтобы уравнения (6А54) сводились и левые части этих вляющие 4-вектора жнан ев Е' должен к уравнениям — ти,=О, й> (6.55) подобным по форме нерелятлвистским уравнениям Это обстоятельство наводитна мысль, что лагранжиан Е' мож- 1 но получить из нерелятивистского лагранжиана Е= — тпз посред- 2 ством замены Оз на квадрат 4-скорости и,. Такил> образом, будем иметь Е = — тии„.
1 2 (6.56) В справедливости сделанного выбора можно убедиться с помощью Добиться указанного ковариантного построения можно, однако, не в каждой задаче механики. Дело в том, что потенциал каждой системы определяется характером действующих на ней сил, выражения для которых можно получить лишь с помощью теоретических сообра>кений, выходящих за пределы механики, Если на основе этих соображений удайтся получить ковариантное выра>кение для действующих сил, то можно получить ковариантное выражение и для лагранжиана Е' в равенстве (6.53).
Однако не всякие силы лопускают ковариантную форму. Например, часто встречающаяся в залачах механики гравитационная сила безусловно не удовлетворяет этому требованию. Гравитационную силу принято рассчзтривать как чстатическую силу дальнодействия», т. е. как силу, распространяющуюся с бесконечно большой скоростью. Но в теории относительности понятие такой силы теряет смысл, так как в этой теории мыслимы лишь силы, передакцциеся со скоростячи не больше с.
С другой стороны, мы уже отмечали, что электромагнитные силы уловлетворяют этому требованию теории относительности. Поэтому мы ограничимся разысканием функции Е' для двух случаев: для совершенно свободной частицы и для частицы, находящейся в электромагнитном поле. Если исходить из козариантного вариационного принципа для олной материальной точки, то уравнения Эйлера †Лагран, очевидно, будут иметь вид й 6.6) 231 КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА ЛАГРАНЖНАНА непосредственной проверки.
Действительно, так как д — '=О дх., ' дн„ вЂ” =О, — =щи„=р,, то уравнения (6.54) совпадают с уравнениями (6.55) *). Пусть теперь точка находится в электромагнитном поле. Тогда лагранжианом Е' будет 1 Ь = — лги,и + — н,А,. 2 (6.57) Обобщйнные импульсы будут здесь равны дб4 д Р,= —.= луиз+ — Ан ди, ' с (6.58) и поэтому уравнения (6.54) будут иметь вид — (ти.,+ — А,) — д — ( — и,А„) =О, или д ('с ~ ) с НА, Но эти уравнения совпадают с обобщбннымн уравнениями Ньютона (см. уравнение (6.30)) в случае, когда сила Минковского равна д /д 1 дс'А, К, = — ( — ихАт) — — — ', дх.,(с ') с что совпадает с выведенной ранее формулой (6.33). Обобщенный 4-импульс (6.58) опять не равен обычному количе- ству движения и отличается от него дополнительным членом, содер- жащим электромагнитный потенциал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
