Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 51
Текст из файла (страница 51)
рис. 9). Кроме того, на вариацию интеграла накладывалось ещй одно условие, состоящее э 7.4) вывод >.глвнений глмильтонл из влгилционного пвинципл 247 в том, что при варьировании траектории изображающей точки время 1 не варьировалось. В частности, моменты времени, соответствующие начальной и конечной точкам траектории, оставались при всех вариациях неизл>енными, и поэтому полное время движения являлось для всех траекторий одним и тем же. Таковы условия, накладываемые на вариацию интеграла, стоящего в правой части равенства (7.28). Мы знаем, что процесс варьирования интеграла можно свести к вычислению дифференциалов, для чего достаточно рассмотреть однопараметрическое семейство возможных траекторий в пространстве конфигУРаций.
КооРдинаты Гы становЯтсЯ тогда фУнкциЯми времени 7 и параметра а, указывающего, какая траектория применяется при вычислении интеграла Л Поэтому этот интеграл можно рассматривать как функцию а, а вариации входящих в него величин можно отождествить с их дифференциалами. Символически это можно записать следующим образом: (7.29) Именно такой метод мы применяли при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Этот метод мы применим и сейчас, но только вариации величин д и р будем считать теперь независимыми, так как в методе Гамильтона координаты д и импульсы р рассматриваются как равноправные координаты, описывающие состояние системы.
Записывая равенство (7.28) с помощью параметра а, мы будем иметь 87=.— да==дк — ! ь р>>7> — Н(йн р, ~) Ж=О, дг д ГГ или ди ~ ~ ( — л— гу +р.---' — — — '- — — — — ')И=О (7.30) -т андре ° дл, дН дй, дН др;~ ~(,д ' ' д. да> да др;д. 7 (так как 7> и 8а не зависят от а).
Кроме того, так как варьирование производится при постоянном г, то в члене — можно изменить да> да порядок дифференцирования по г и по а и заменить этот член на — ~ — > . Тогда получим д гдд,т В ~да) ' с, р — дг=- ~ р — — и>>= — р,- — ~ — ~ р; — — дг, ду~ Г д ддг дд> ~й Г дй> 'да,) Зд>да >да~, 3 ' да г, ь ь причйм первое слагаемое правой части этого равенства будет равно нулю, так как все варьируемые траектории проходят через одни и 248 [гл. 7 квхвнвния глмнльтонл те же конечные точки, и поэтому при д = г, и 1 = 1а производ- ная — обращается в нуль.
Учитывая это и полагая дд, д« дх — '=Зд; дд, и оо — =ьр др, д« [см. [?.29)[, мы можем равенство (7.30) записать в виде ~ь~ ~ьрг [ д,-- — ) — ьд, (р,. + — — )~ Н О. Но так как вариации дд; и Бог являются независимыми, то этот интеграл может обращаться в пуль только тогда, когда равны нулю коэффициенты при вариациях 8д; и ьро Таким образом, мы получаем равенства дтт д =-— дО дд; ' совпадающие с уравнениями Гамильтона. Требование независимости вариаций 6дг и бог играло в этом доказательстве весьма существенную роль. Это обстоятельство подчвркивает основное различие между методами Лагранжа и Гамильтона.
В методе Лагранжа поведение системы описывается ее обобщенныыи координатами д; и обобщенными скоростями дп Но переменная д; тесно связана там с переменной до так как она равна производной от д; по 1. Поэтому при выводе уравнений Лагранжа мы должны были выражать вариации 8д; через независимые вариации ьдо Это делалось с помощью интегрирования по частям, в рек едет зультате чего появлялись члены — [ —.), приводившие к уравнед~ .дд, пням движения второго порядка. Из модифицированного же принципа Гамильтона мы получили уравнения первого порядка, и это удалось сделать только потому, что в отличие от Ьд; мы считали йрг не зависящими от йдо Это значит, что обобщднные импульсы мы считаем такими же независимыми переменными, как обобщйнные координаты, и считаем, что р; связаны с д; и Г только уравнениями двиокеная, а не каким-либо заранее заданным соотношением.
Таким образом, ни систему переменных д,, ни систему переменных оа мы не рассматриваем как основную, а считаем эти переменные одинаково независимыми. Только увеличивая таким способом число независимых переменных с и до 2п, мы можем получить уравнения движения первого порядка. В связи с этим следует заметить, что термины «координатыь и «импульсыь являются неудачными, так как они вызывают представление о пространственных координатах и таких величинах, как количество движения или кинетический момент э 7.51 пгинцпп нлимгньшвго действия 249 Теперь, однако, им следует придать более широкий смысл и считать, что разделение переменных на координаты и импульсы есть разделение переменных, описывающих движение, на лве независимые группы, связанные друг с другом посредством уравнений Гамильтона почти симметричным образом.
ф 7.6. Принцип наименьшего действия. другим вариацнонным принципом, подобным принципу Гамильтона, является принцип наименьшего действия. Если стремиться к наиболее общему определению, то под лействием в механике следует понимать интеграл Принцип наименьшего действия утверждает, что в системе, в кото- рой Н остайтся постоянным, справедливо равенство (7.31) где ц — так называемая полная вариация, определяемая ниже. Как мы уже говорили, й-вариация соответствует виртуальным перемещениям системы, т. е. таким перемещениям, при которых время г оставляют неизменным, а координаты варьируют в соответствии со связями, наложенными на систему. Такое перемещение не всегда принадлежит к числу перемещений, которые могут иметь место прн движении системы. Это булет, например, в случае связей, зависящих от времени.
Поэтому движение, получающееся в результате й-вариации, может бьшь таким, что гамильтониан его не будет постоянным. В противоположность й-вариации полная вариация Ь связана с перемещениями, которые обусловлены не только варьированием траектории, но и изменением времени г. Поэтому траектория, образующаяся при Ь-вариации, состоит из точек, получающихся в реаультате перемещений, обусловленных также дифференциалами времени. Вследствие этого мы можем потребовать, чтобы движения, получающиеся при Ь-вариациях, были физически возможными, для чего можно потребовать, чтобы И было постоянным не только на действительной траектории, но и на траекториях, получающихся в результате Ь-вариаций.
Время движения вдоль таких траекторий уже не обязательно будет одним и тем же, так как лля сохранения гамильтониана точке придатся ускорять или замедлять свое движение. Поэтому Ь-процесс предполагает варьнрование ~ даже в конечных точках траектории, где вариации величин д, по условию считаются равными нулю. Следует заметить, что траектория, получающаяся в пространстве конфигураций в результате варьирования истинной траектории, 250 ~гл.
7 УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА ( ) (д ' 4 ~КО)' (7.32) Но легко видеть, что дд ьд -+ пя —, ' дВ ' дг а — дх представляет собой изменение времена Г вследствие Ь-ваде риации, которое можно обозначить через Ш. Поэтому равенство (7.32) можно записать в виде Лд = — 3~7-~- дЫ (7,33) (Заметим, что Л-варьирование и дифференцирование по времени являются операциями, порядок которых нельзя менять, подобно тому как это делалось при 3-варьировании.) Соотношение, подобное (7.33), справедливо также для любой функции ((д, ().
для которой оно имеет вид Лу = 3У'+-У бс. (7.34) действительно, так как ~У= э,— 34,+ — б(, ъ-~ ду' дУ - =.уздд, дг то на основании (7.33) можно написать Х д (Г, >й~ д 7ч+ дг 1 1 что совпадает с (7.34), ибо первый член правой части этого равенства равен 37, а коэффициент при Йг представляет полную производную — , Равенство (7.34) выражает единственно существенное д7 дт ' для нас свойство Ь-вариации. и с помощью этого равенства мы может быть одинаковой как при 3-вариации, так и при Ь-вариации. Однако скорость движения изображающей точки вдоль полученной траектории будет при этом неодинаковой, так как в первом случае вариация ее скорости должна быть такой, чтобы не менялось полное время движения, а во втором — чтобы не менялось Н. Для получения ц-вариации можно ввести семейство кривых, зависящих от параметра а, подобно тому как это было сделано для г-вариации.
Однако сейчас нам нужно будет варьировать и время, связанное с каждой точкой на траектории, вследствие чего 1 нужно будет рассматривать как функцию а. Поэтому вариация координаты д;(1, а) будет определяться не только явной зависньюстью д; от з, но и неявной зависимостью, осуществляемой через переменную г. Учитывая это, мы можем написать 251 й 7.5) пРинцип наименьшего действия докажем принцип наименьшего действия, обходясь без громоздких выражений, связанных с параметром а. Действие А можно записать в виде 1, А = ~зХ)1Н7; (! = ~((.+ и) (! —. ~т(. ((+и((,— (,) (7.35) 1, (так как О=-сог1з1). Поэтому ДА будет равно ДА =Д ~ Дг((+ Н(Д(,— Дг,), причем, варьируя этот интеграл, следует варьировать и его пределы.
Обозначая первообразную от функции Л(!) через У(!), будем иметь д ~ д 1(! =- д7(! ) — д7(71), что с помощью формулы (7.34) можно записать в виде Д Х Л 17! =- 3! (гз) — 3! (г,) + !((,) д! — ! (!,) Дг, или окончательно нь Д ~ Д и! =- 3 ~ !. 1(! + !. Д! ~ и 1, (7.3б) что с помощью уравнений 7!агранжа можно записать в виде По поводу полученного равенства следует сделать одно замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
