Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Рассматривая, например, движение точки в плоскости, можно взять в качестве ее обобщйнных координат либо декартовы координаты х, у, либо полярные координаты г, ч. Каждый из этих вариантов, конечно, одинаково допустим, и вопрос о том, какой из них лучше, определяется конкретными особенностями рассматриваемой задачи. В случае, например, центральных сил координаты х, у являются менее удобными, так как ни одна из них не является циклической, в то время как среди координат г, б есть циклическая— угол 9. Следовательно, цикличность координат связана со способом их выбора, и в каждом конкретном случае можно подобрать такую систему обобщенных координат, что все онн будут цик,тическими.
Разумеется, если такая система будет найдена, то дальнейшее решение задачи станет тривиальным. Но так как те обобщйнные координаты, которые мы рассматриваем как наиболее естественные для данной системы, обычно не являются циклическими, то мы должны разработать специальную процедуру для перехода от одной системы координат к другой, являющейся более подходящей. Преобразования, с которыми мы встречались до сих пор, представляли переход от старых координат д~ к новым координатам Яо Такие преобразования выражались уравнениями вида $ 8.!! угланання клпоничвских пгеоввлзоэлннй 261 где 1;1 — новые координаты, а Рв — новые импульсы.
Следовательно, новые координаты будут выражаться не только через старые координаты до но и через старые импульсы р;. Желая сохранить структуру исходных уравнений движения, мы будем интересоваться лишь такими преобразованиями, при которых новые переменные Я, Р являются каноническими. Следовательно, мы требуем, чтобы новые уравнения имели ту же форму, что и уравнения Гамильтона, т. е, записывались в виде: дК ()1 дРв ' Р = —.—, дК дв',в, ' (8.5) э ~ г(ЯРД1 — К(О, Р, 1)1 д1 =О.
и (8.6) В то же время старые переменные будут, конечно, удовлетворять принципу (8.7) Таким образом, равенства (8.6) и (8.7) будут удовлетворяться одновременно. Отсюда не следует, конечно, что функции, стоящие в этих равенствах под знаком интеграла, будут одинаковы, но следует, что они могут отличаться не бояьше, чем на полную производную а) Применяется также термин контаквнов преобразование. Иногда этп понятия различаются, но разные авторы делают это по-разному, Некоторые нз них (иапрнмер, Л.
Зоммерфельд в книге вЛ1ош1с 81гпсвпге апд Зрес1га1 (41пезв) относят к контактным преобразованиям лишь такие, при которых время не содержится явным образом в уравнениях преобразования [см. уравнения (8.4)). Другие же (возможно, более корректно) понимают под контактными преобразованиями такие, при которых временная координата 1 преобразовывается наряду с координатами лв и импульсами рь как это делается в коваряангной релятивистской теории. физики, однако, склонны рассматривать этн два понятия как тождественные, и мы здесь будем следовать пх примеру.
О применении контактных преобразований в проективной геометрян (где, как можно предполагать, и появился шот термин) можно грочесть в уже упоминавшейся кинге Зоммерфельдв, а также у Каратеодорп з юпп е «Уаг1а11опэгесйпппдв. где КЯ, Р, 1) †некотор функция новых переменных и времени, играющая роль нового гамильтониана.
Преобразования, удовлетворяющие этому условию, называются каноническими *). Так как переменные ф и Рв должны быть каноническими, то они должны удовлетворять принципу Гамильтона, записанному в этих переменных, т, е. должны удовлетворять уравнению [гл. 8 262 клнонические пееовглзавлния по времени от какой-либо функции Р. Действительно, интеграл от разности рассматриваемых функции будет тогда равен с, — сУ =- Г (2) — - Р ( [), с,.
и, какова бы ни была функция Р, вариация его будет равна нулю, так как в конечных точках интегрирования 8Р обращается в нуль. Функция Р называется производшцей функцией данного преобразования. Мы увидим, что, задавая произвольно функцию Р, мы однозначно определяем уравнения преобрааования (8.4). Функция Р, определяющая переход от старых канонических переменных к новым, должна быть функцией как тех, так и других. Поэтому, кроме времени г, она может содержать 4п переменных.
Но так как старые и новые переменные связаны 2а уравнениями преобразования (8.4), то независимыми из них будут только 2п. Поэтому производящую функцию Р можно записать в одном из следующих четьсрех видов: Р,(сг, с,с, О), Ре(9, Р, ~), Ра(р, с',с, ~), Р,(р, Р, О. Вопрос о том, какой из этих форм пользоваться, связан с конкретными особенностями рассматриваемой задачи.
Если, например, мы желаем произвести точечное преобразование [определяемое уравнением (8.3)[, то д и Сс не будут независимыми переменными, и поэтому производящие функции типа Р, следует исклсочить. Если мы исходим из функции вида Р„то функции, стоящие под знаками интегралов (8.6) и (8.7), будут связаны соотношением '~,Р,Ус — Н= ",~',РДс — К+ — 'Рс(д, ф С), (8.8) где сСР ~ч дР ' ~с дР дР— = ~ — йс+ т — О;+— сСС мй дтс ' лМдЯ; ' дг дР, ддс ' Р =- —— дР, дС;)с (8.9а) (8.9Ь) К =- Н+ — ',",с .
(8.9с)' Но так как старые и новые координаты рассмагриваются здесь как независимые переменные, то равенство (8.8) будет иметь место только тогда, когда коэффициенты при дс и. ссс будут в левой части этого равенства такими же, как м в праной. Таким образом, в рассматриваемом случае будем иметь: 9 8.1] УРАВНЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 263 Разрешая это соотношение относительно Г и подставляя полученный результат в равенство (8.8), мы получаем ~р,~г — О='~РД,— К+ — „", ~Р,(ц. Р, ~) — '~дР,~= = — ~~Р1Р; — К+ — „г Ра(Ч Р ~). Повторяя теперь процедуру, проделанную нами с равенством (8.8), д т. е.
раскрывая производную — Гя(д, Р, г) и приравнивая соответда ствующие коэффициенты при д~ и Ро мы получаем следующие уравнения преобразования: д!я р д4г ' (8,11а) дря фг — —— дР; (8.1!Ь) К =Н+ —. дР, дг (8,! 1с) Выразив из уравнений(8.11а) Р, через дн Рз и Р, мы получим вторую группу уравнений (8.4). Первая группа этих уравнений может после этого быть получена с помощью уравнений (8.11Ь), Из (8,9а) видно, что производящую функцию Рз(р, Я, е) тоже можно связать с Р, Уравнения (8.9а) представляют и соотношений, содержащих только Ри ди 1,Ч и 1.
С их помощью можно выРазить все г;1з чеРез пи и; и 1. Таким путем мы получим первую часть уравнений преобразо- вания (8.4). После этого мы можем воспользоваться равенствами (8.9Ь) и получить оставшиеся уравнения преобразования (8.4), для чего достаточно подставить в(8.9ь) найденные зависимости г);=11,(ри ди г). Наконец, уравнение (8.9с) даЕт нам возможность получить новый гамильтониан К.
Если в качестве независимых переменных выбрать п~ и Ры то мы будем иметь дело с производящей функцией типа Р,. Следует, однако, заметить, что переход от независимых переменных к независимым переменным д, Р может быть выполнен посредством преобразования Лежандра, так как согласно (8.9Ь) др, — = — Р. дьГг Это показывает, что производящую функцию Гя можно получить из Г, с помощью соотношения Р (р, Р, ~) = Р, Ы, (), О)+ХРЯ;. (8.10) [гл. 8 264 клноннчвскив пгьовглзоавння посредством преобразования Лежандра.
Таким образом, будем иметь Р (7 Ф 7) =.Й г7мпв+ Р Я Р С) (8.12) и поэтому равенство (8.8) принимает вид — ~~зд;р,— Н= — ~) Рйв — К+ дг Рв(р Ю г) (8 13) дРв д дрв дГв Р = — —— в д(') (8.14Ь) ~+ дРв дг (8. 14с) Как и ранее, мы из (8.14а) можем получить 1;!в как функции о, Р, г, и тогда уравне)вия (8.14Ь) дадут нам новые импульсы Р;, выраженные через старые переменные. Наконец, в случае, когда в качестве независимых переменных берутся импульсы рв и Р;, производящая функция Р может быть связана с Р, двойным преобразованием Лежандра Р4(Р Р О = Рв (Ч Ф ")+Х Ргев Х Рауь (8.16) в Тогда равенство (8.8) примет вид — ~ЧРв — И= — ~'.
ОвРв — К+!, Р,(Р, Р, 1), (8Л8) н поэтому будем иметвл дРв Гы =' —— др~ ' бь =— дР, дР в (8.! 7а) (8.1 7Ь) К == Н+ —. д7'в дГ Во всех этих рассуждениях время рассматривалось как инвариантный параметр, не преобразуюшийся вместе с координатами и импульсами. Такое преобразование времени автоматически совершается в релятивистской теории уравнений Гамильтона, где инвариантный параметром системы является местное время т, а обычное время ! играет роль одной нз координат.
Мы, однако, сейчас увидим, что в обычное каноническое преобразование тоже можно ввести изменение масштаба времени (отличиое от того, которое дается преобразованием, Лоренца). (8, 17с) Приравнивая теперь соответствуюшие коэффициенты, мы приходим к уравнениям: (8.14а) й 8.1! УРАВНЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОВРАЗОВАНИП 265 Так как мы не будем более считать время инвариантным, то нужно ввести некоторый другой параметр, которЫй зайМВт теперь его место. Роль такого параметра может играть любая инвариантная величина, характеризующая степень продвижения системы Вдоль ей траектории в пространстве конфигураций.
Обозначая этот параметр через 6, мы можем записать модифицированный принцип Гамильтона в виде 8р р 1 ~ ~ Д Р,Р1 "' — 77 ~' ! Р1 - Р. 8, или Форма этого равенства показывает, что Р можно рассматривать как (и+-1)-ю обобщзнную координату, а Н вЂ” как соответствующий ей обобщвнный импульс" ). Поэтому модифицированный принцип Гамильтона можно записать также в виде 8, в+1 э3' Х РФЬ'д0 =-О. 1=1 где через д. обозначена производная — .
После канонического прер длг 1 дв образования переменных (включая Р) этот принцип примет вид 8р рр.р1 д ! ~~р ~Р8О8818)=0, 8, 8=1 где О„+1 — преобразованное время, а Р„,— новый гамильтонпаи К. Следуя теперь той же процедуре, которая применялась нами раньше, мы можем ввести производящую функцию 0(1тп Р;) н с ев помощью получить (2п+ 2) равенства: д0 ,17 дл, ' дС7 дРг ' определяющие искомые уравнения преобразования. Таким образом, мы можем получить канонические преобразования, содержащие изменения масштаба времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
