Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Сейчас мы видим, что, кроме того, возможно такое каноническое преобразование, при котором постоянными величинами становятся не только импульсы, но и координаты. В следующей главе мы рассмотрим каждую из этих возможностей и покажем, как таким путЕм можно получить формальное решение каждой механической задачи. Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции и(д, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо об.ьяснить, что мы понимаем под словом «изменение» функции. Раньше, когда мы «преобразовывали» величину и(д, р) к новым переменным, мы вместо л и р подставляли в и выражения д(О, Р) и р(О, Р), Таким путем мы получали зависимость а от новых переменных. При этом функкиональная зависимость и от О и Р оказывается в общем случае не такой, как зависимость а от д и и.
Однако численное значение и, соответствующее данному состоянию системы, при этом не изменяется, так как и(д, р) есть функция точек фазового пространства н ее значения, конечно, не зависят от вида координат, которыми мы задаем эти точки. Теперь же мы будем рассматривать «изменение» функции и в другом-смысле этого слова. Мы будем понимать под ним численное изменение величины и в результате замены аргумента д на О и аргумента р на Р. Функциональная зависимость и от старых и новых переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства, в которой мы вычисляем и, будет при этом изменяться. Рассмотрим, например, бесконечно малое преобразование (8,65). В этом случае мы, подставляя в функцию и(д, р) переменные О и Р вместо д и и, переходим от значения а(Г) к значению и(г+Ж). и 8.6] БескОнечнО ИАлые кАнОнические пРеОБРАЗОБАния 283 Таким образом, мы под изменением функции и в резуяьтате бесконещю малого канонического преобразования будем понимать ои = и (о;+ ооп р, + ор;) — и (до р,).
Раскладывая эту разность в ряд Тейлора и ограничиваясь членами первого порядка малости, мы будем иметь %зуди ди ди =. р ~ оо + — 3р,~. л.н ~ дд~ ' ' дрс '/' Подставляя сюда оос и ор; из равенств (8.64), получаем или окончательно: (8.66) ои=-[и, 0[. Положив здесь и=И, л~ы получим следующую формулу для изменения гамильтониана при бесконечно малом каноническом преобразовании: 8Н=Б[я, О!. (8.67) Мы уже говорили, что если функция 6 (о, р) есть первый интеграл уравнений движения, то [Н, 0[=0. Но из равенства (8.67) можно заключить, что бесконечно малое каноническое преобразование, осуществляемое такой производящей функцией, не изменяет величины гамильтониана Н. Поэтому можно высказать следующее утверждение: Все первые интегралы уравнений двизкения являются производлгцими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан. Что касается преобразований, не изменяющих величины Н, то их можно найти, есяи обратиться к свойствам симметрии системы, так как если физическая система симметрична относительно опредеяенных изменений ее конфигурации, то гамильтониан ей должен при соответствующем преобразовании оставаться неизменным.
Поэтому все функции, остающиеся в процессе движения постоянными (все первые интегралы уравнений лвижения), можно получить путам исследования свойств симметрии гамильтониана, что равносильно полному решению задачи о движении системы. С этой связью межлу константами движения и свойствами симметрии мы уже встречались в 8 2.6, когда говорили о сохранении обобщйнных импульсов.
Однако результат, полученный нами теперь, является более изящным и более полным, так как сейчас речь илйт о всех константах движения, а не только об обобщйнных импульсах. [гл. 8 284 клноническил пгеовглзоялния о4~ — — ео,р ор =О, (8.68) где е — бесконечно малое изменение координаты дг Но из формул (8.64) видно, что единственной функцией О, осуществляющей такое преобразование, является функция О =рн (8.69) представляющая обобщенный импульс, соответствующий координате г7г Таким обРазом, мы полУчили известнУю теоРемУ о сохРанении обобщенного импульса, согласно которой импульс, соответствующий циклической координате, есть величина постоянная.
В качестве ещй одной иллюстрации рассмотрим бесконечно малое каноническое преобразование, соответствующее повороту системы в целом на угол Л. Физический смысл производящей функции этого преобразования, очевидно, не зависит от выбора канонических координат, и поэтому мы будем пользоваться декартовыми координатами точек системы. Кроме товр, не уменьшая общности, можно считать, что рассматриваемый поворот совершается вокруг оси ". Тогда координаты каждой точки будут изменяться так, как будто система остается в покое, а координатные оси поворачиваются на угол — Л. Поэтому с точностью до величин первого порядка относительно Л мы будем иметь следующие выражения для новых координат: Х; = ха — у,лч, 2;=гг [см.
формулы (4.90)[. Отсюда видно, что бесконечно малые изменения координат будут равны: ох, = — у1 Л, оу; = х; Ю, о-; = О. (8.70) Аналогичные соотношения мы, очевидно, будем иметь и для компонент импульсов р;, так как при повороте системы они преобразуются так же, как и координаты. Сравнивая теперь равенства (8.70) с равенствами (8.64), мы видим, что производящей функцией данного преобразования является функция О = ~~Р~(х;р;„— у,р; ), Теоремы о сохранении, полученные нами ранее, будут теперь частными случаями того общего положения, которое мы сейчас высказали. Пусть, например, координата д; является циклической. Тогда гамильтониан ев не будет зависеть от д, и, следовательно, не будет изменяться при бесконечно малом каноническом преобразовании, изменяющем только дп Уравнения такого преобразования будут иметь вид: 9 8.7] СКОБКИ ПУАССОНА И КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ 285 а роль бесконечно малого параметра е играет угол Л.
Убелиться в этом можно непосредственной проверкой, которая показывает, что при этом имеют место равенства; охг = гй — = — у; йЭ, ор;„= — дэ — = — д„до, д6 . д6 дрк« ' ' '" дх; оу; =Л вЂ” =х;ио, 3р;„= — Л вЂ” =р;„дЭ, д6 д6 дРСК ду, совпадающие с равенствами (8.70). Производящая функция (8.71) имеет простой физический смысл: она представляет с„бой г-компо- ненту кинетического момента системы Так как ось г может иметь произвольное направление, то мы приходим к выводу, что производящая функция, осуществляющая любой бесконечно малый поворот, имеет внд 6=1 н, (8.
72) где и †единичн вектор вдоль оси этого поворота. Таким образом, кинетический момент является производящей функцией вращательного движения системы (полобно тому, как гамильтониан является производящей функцией ей фактического движения). Этот результат следует, конечно, и непосредственно из равенства (8.69). Если в качестве одной из канонических координат взять угол, характеризующий поворот системы в целом, то соответствующий канонический импульс будет, как мы знаем, составляющей кинетического момента вдоль осн вращения (см.
9 2.6). Таким образом, равенство (8.72) является частным случаем равенства (8.69). 5 8.7. Скобки Пуассона и кинетический момент. Отождествление кинетического момента с производящей функцией вращения приводит к ряду интересных и важных соотношений, содержащих скобки Пуассона, Согласно равенству (8.66) изменение векторной функции Р07, р) при бесконечно малом повороте системы равно БР= НЭ (Р, 7. н]. (8.73) Следует не забывать о том смысле, который мы здесь вкладываем в слова «изменение функции».
Векторное равенство (8.73) можно, конечно, записать в виде трех скалярных равенств. Пусть, например, А (7, р) булет х-компонентой Р. Тогда нз равенства (8.73) получим ЬА=АЯ, Р) — А(д, р) =г(8]А, 7. и], (8.74) и. аналогично, для составляющих Р по осям у и з, которые мы будем обозначать через В(д, р) и С07, р). В предыдущем параграфе мы видели, что преобразование скалярной функции и01, р) при переходе к другой системе переменных носит совершенно иной характер, 286 [гл. 8 клноннчвскив пгвоввлзования так как значение функции остаатся при этом тем же самым, но функциональная зависимость и от аргументов, вообще говоря, меняется. Рассмотрим теперь не скалярную функцию, а векторную и посмотрим, как она ведет себя при преобразовании, соответа ствующем вращению. Здесь дело будет обстоять сложнее, так как функциональная зависимость каждой составляющей этой функции будет изменяться по двум причинам: вследствие преобразования аргументов и вследствие изменения самих составляющих в связи с поворотом вектора.
Рассмотрим, например, бесконечно малый поворот вокруг оси г. В этом случае старые и новые составляющие вектора Р будут связаны друг с другом соотношениями: А (7 Р> = А'(О,, ) + В' (О, Р) В, 1 в(7, р>=В'(о, Р> — А'(Е), ) пй ~ (8.75) с (д, р> = с'(о,, >, ! где А'Я, Р), В'Я, Р), С'Я, Р) — новые функции новых аргументов. Теперь нетрудно будет установить, какова связь между обычным преобразованием вектора при его повороте и «изменением», выражаемым равенством (8,74). Предположим, что векторная функция Р такова, что функциональная зависимость еа старых и новых составляющих от соответствующих аргументов оказывается одинаковой, т. е.
функция А'Я, Р) такова же, как функция А(Я, Р), и аналогично для других составляющих. Примером такой функции Г может служить вектор кинетического момента системы, так как в этом случае Ем = .~~ (утры а'реа) ь а после поворота Ех = ~Р (УаР;а — ЕРзт>.
Следовательно, Ех таким же образом зависит от Е) и Р, как Е . от д и р. Лля векторных функций, обладающих этим свойством, и только для них, уравнения (8.78) принимают вид: А(д, р) =- А(О, Р)+ В((~, Р) опд В(д, р) = В(~, Р) — А(~, Р) г(ч, с(7, р>=с(д, Р). Но с точностью до величин первого порядка малости член ВЯ, Р)г(8 можно заменить членом В (д, р) дО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
