Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 61
Текст из файла (страница 61)
он совместно с Иорданом выпустил рекомендуемую здесь книгу. Как и в предыдущей работе, здесь некоторое место отводится классической механике, в частности рассматриваются скобки Пуассона, приводящие к весьма интересным результатам. Этот вопрос изложен в Приложении 1П, где рассматривается также связь скобок Пуассона с кинетическим моментом. А, Бош шег1е18, А!о!и!с 8!гас!вге апб Брес!га! 1лпез. Этот классический трактат по старой квантовой механике содержиг много интересного материала по уравнениям Гамильтона и каноническим РЕКОМЕИДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 295 преобразованиям. Эти вопросы изложены автором в различных местах главы об атоме водорода и в некоторых приложениях. й.
С. то!а а и, тее Рг!пс!р!е о1 В!агь!Рса1 меспап!сз. Эту книгу можно назвать энциклопедией теоретической физики. Глава 11 этого большого сочинения содержит краткое, но ясное изло!кение теории канонических преобразований, а также других аналогичных вопросов классической механики, в частности рассматриваются скобки Пуассона. 9 19 главы П! посвящйн теореме Луивилля. С. С а г а !й бои о ту, Наг!а!юпэтесппнпд. У нас не было возможности изложить в этой главе канонические преобразования со всеми математическими подробностями, которые особенно важны в теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Интересующиеся читатели могут ознакомиться с ними в рекомендуемой книге Каратеодор~, являюцейся прекрасным введением в круг этих вопросов и содержащей обильный материал по каноническим и контактным преобразованиям, а также по различного рода скобкам. Несколько более короткое изложение этих вопросов мозкно найти в главе о вариацнонном исчислении, содерзкащейся в т. 1 книги: Ргап!г нпд Рон М!зез, П!е О!11егеп!!а1- ппд 1п!ецга!И1е!сйнпдеп бег Меспап!Е нпб Рйуз!!с.
р. А. М. 0!та с, Тйе Рг!пс!р!ез о1 г;!нап!пш Месйап!сз. Именно па эту книгу обычно ссылаются, когда говорят о приложении скобок Пуассона к квантовой механике, К сожалению, опа.приобрела репутацию книги, трудной для понимания, хотя этого нельзя сказать о еб последних изданиях. Поэтому читатели, немного знакомые с физическими основами квантовой механики, вполне могут ею пользоваться. Вопросы, имеющие отношение к материалу этой главы, изложены в Я 25 — ЗО этой книги. ГЛАВА 9 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ Говоря о применении канонических преобразований к решению задач механики, мы указывали на два метода. Один из них относится к тому случаю, когда гамильтониан системы остаЕтся постоянным.
В этом случае существует такое преобразование, при котором новые канонические координаты являются циклическими, и тогда интегрирование новых уравнений движения становится тривиальным. Другой метод состоит в отыскании такого канонического преобразования, которое осуществляет переход от координат д(г) и импульсов р(О к начальным координатам д(го) и начальным импульсам р(~о). Уравнения преобразования, связывающие старые и новые канонические переменные, будут при этом иметь вид: Ч= уйо ро С) Р=рйо Ро О т. е. будут давать полное решение задачи, так как координаты и импульсы даются ими как функции их начальных значений и времени. Этот метод является более общим, так как он применим (по крайней мере принципиально) и тогда, когда гамильтониан содержит время 1.
Поэтому мы начнбм с рассмотрения вопроса о том, как получить такое преобразование, В 9Л. Уравнение Гамильтона †Яко, Для того чтобы иметь уверенность в том, что новые переменные являются величинами постоянными, достаточно потребовать, чтобы преобразованный гамильтониан К был тождественно равен нулю, так как' тогда новые уравнения движения будут иметь вид; — =() =О, дК дР„ дК вЂ” — =Ф =.о. ~ дОг Но так как К и гг' связаны соотношением К=-- Н+ —, (9Л) $ 9.1! 297 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА в ЯКОБИ то для выполнения равенства К = 0 производящая функция Р лолжна удовлетворять уравнению Ч(7 Р ()+д(к б дГ (9.2) где гт'(д, р, () — старый гамильтониан.
Функцию Р удобно считать зависящей от старых координат дн от новых (постоянных) импульсов Р; и от времени (. Пользуясь обозначениями предыдущей главы, мы будем записывать ей в виде Рз(д, Р, (). Чтобы выразить фигурирующий в (9.2) гамильтониан через те же переменные, можно воспользоваться уравнениями (8.11а), согласно которым и' р'= ад, Поэтому уравнение (9.2) можно записать в виде ") Полным интегралом 1 равиеиня дг дг1 ' дк, ' ' ' ' дхп( называют ф1нкцпю г = г(х,, хп, ан, ап), удовлетворяющую этому ураенению и содержащую с1олько независимых постоянных аь сколько в этом уравнении независимых переменных хк (см., например, Н, Н.
Б у х г о л ь ц, Основной курс теоретической механики, ч. 11, ОНТН НКТП, 19371. ((7рагг. перев.) Полученное уравнение носит название уравнения Гоми гьтока — Якоби. Оно является дифференциальным уравнением в частных производных и определяет зависимость искомой производящей функции от д„..., д„, (. Решение уравнения(9.3) обычно обозначают через о и называют главной функцией Гамильтона. Конечно, решая уравнение (9.3), мы находим зависимость о' только от старых координат и времени и ничего не можем сказать о характере зависимости Я от новых импульсов, о которых знаем пока только то, что они должны быть постоянными.
Мы увидим, однако, что характер получающегося решения показывает, как получить новые импульсы Р;. Уравнение (9.3) является дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных. Так как оно содержит и+ ! независимых переменных, то полный интеграл его должен содерм<ать и + 1 независимых постоянных а,, ..., гп, ипы "). Следует, однако, заметить, что сама фушсция Я в это уравнение не входит, а входят лишь ей производные по о или по г. Поэтому, если О есть некоторое решение уравнения (9.3), то решением этого уравнения будет (гл.
9 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА -- ЯКОБИ ~=~Ж т?и «т аа О (9.4) где ни одна из и постоянных а; не является аддитивной. Мы видим, что форма выражения (9.4) вполне соотнетствует форме искомой производящей функции, так как в правой части (9.4) стоит функция п координат до и независимых постоянных и; и времени К. Поэтому п постоянных ат можно принять за новые (постоянные) импульсы, положив (9 б) Такой выбор не противоречит тому положению, что новые импульсы связаны со значениями величин д и р в момент уе. Уравнения (8.1!а) могут быть записаны теперь в виде до(яь ал Г) дд, (9.6) что ири т'=г дает нам л уравнений, связывающих и величин а, с начальными значениями дт и ро позволяя определить постоянные и, по заданным начальным условиям. Другая половина уравнений (8.11) Определит тогда новые постоянные координаты.
Эти уравнения будут иметь внд д8(яе ... т) да~ (9.7) что позволяет, .зная (д,)г К, найти постоянные р, с помощью непосредственного вычисления правых частей равенств (9.7) при 4=1е. Разрешая после этого уравнения (9.7) относительно д, получаем ч =э(п' рп т) (9.8) что полностью решает задачу, так как таким путем мы получаем координаты как функции времени и начальных данных*). а) Может возникнуть вопрос о разрешимости уравнений (9.6) опюсительно аг и уравнений (9.7) относительно де Вопрос этот сводится к исследованию систем (9.6) и (9.7) на независимость содержащихся в ннх уравнений, так как в противном случае этих уравнений будет недостаточно для дЯ определения и независимых величин а; илн дг Тот факт, что производные— в уравнениях (9?) являются незазнснмычя фуякцпямн д, следтет непосред.
и о + а, где а †люб постоянная (так как аддитивная постоянная не изменяет значений частных производных). Следовательно, одна из и+ 1 постоянных а, должна быть аддитивной постоянной, добавляемой к О'. Но легко видеть, что эта постоянная не имеет для нас значения, так как в уравнения преобразования входит не Я, а только ей частные производные. Следовательно, полный интеграл уравнения (9.3) можно записать в аиде $9Н) 299 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА †ЯКО Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы е то зке время получаем решение рассматриваемой механической задачи.
Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые явля1отся обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона— Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона; известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определанная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
