Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 65
Текст из файла (страница 65)
равенство (9.38)[. Лш, = ~ ошо где йтв,— бесконечно малое изменение тао получающееся вследствие бесконечно малого изменения д,. Учитывая, что оте, =,— ' Фдв, две [9.40) д4в и подставляя (9.40) в (9,37), получаем .С дю„,С дг%' ~ ' ='3'д:~ЧУ=У д .д.г. ~Ч 4Р Вынося теперь производную по зе за знак интеграла, будем иметь д Гд%' д С Леве = — — ~~ — Й[ = — ~ рзйц. де~ 3' д,ув г д./, 3' (с учйтом уравнений преобразования).
Но так как р~ с[а~ —— - ур то окончательно получаем $ 9.6) дгхгиа свойства пагаманных действие — ягод 317 являюгцегося рядом Фурье. Согласно (9.39) его можно записать в виде а е"'~('ь'+Зл) (либрация), (9.46а) г--сО где у — целое число, пробегающее значения от — со до + со. Коэффициенты этого ряда определяются известными равенствами 1 -2Нрг а = ~ две " лайзы о (9.47) Следовательно, и при либрации, и при вращении зависимость дь от г можно представить с помощью суммы гармоник, частоты которых кратны тл. Однако если мы будем рассматривать функцию нескольких да, то в ее ряд Фурье будут входить члены, соответствующие нескольким частотам ~а.
Например, декартовы координаты х; часто являются неразделяющимися. Однако они могут быть выражены через разделяющиеся координаты да, и тогда ряд Фурье для х; будет содержать все возможные линейные комбинации основных частот тл. Таким образом, мы приходим к разложению вида '"' (У" +У~*" ~л"л), (9.48) А -~~А— " -< 1„-. -со где у' — целые числа, пробегающие значения от — со до +со. Переходя к зависимости от ~, мы можем записать это уравнение в следующем окончательном виде: ОЪ О а - аы(1"'+"'Уз"в) ~+~" г(д'~"'~язв) (9.49) Пусть теперь не все чг являются соизмеримыми.
Тогда функция (9.49) не будет периодической функцией времени в обычном смысле этого Если же движение носит вращательный характер, то изменению ел на единицу соответствует увеличение переменной да на величину ее периода дзз. Поэтому такая координата не является периодической функцией тлл, но легко видеть, что разность д„ вЂ” твьчзл будет в этом случае периодической функцией тв с периодом, равным единице. Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье да — твазза = ~ азеыммь (вращение). (9.46Ь) Соответствующая зависимость от времени будет выражаться рядом 17а — (та~+ ра) суза — — ~~ а еы'У("а'~аз) (вращение). (9.46Ь) 3!8 (гл.
9 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ слова [как, например, функция (9.46а)!. Это связано с тем, что хотя множитель е' з 1~Од и является периодической функцией 1, однако период его )(, несоизмерим с периодами других аналогичных множителей. Поэтому в целом эта функция не является периодической. В таких случаях говорят, что рассматриваемая функция является мноао-периодической или почти-перлодичеслой.
(Такого рода фушсция уже встречалась нам при рассмотрении гармонического осциллятора с несколькими степенями свободы.) Рассмотрим, например, колебания точки, находящейся под действием восстанавливаюгцих сил, направленных вдоль осей х и у. Эти координаты являются разделяющимися переменными, изменяющимися по гармоническому закону с частотами ч и „. Повернем теперь систему координат на 45' вокруг оси л. Тогда мы получим новые координаты л', у', изменяющиеся по закону = (хосоя2п(' У+ "'м)+уосоз2к( „! )-Рз)), 2 (9.50) у' = = (уз соз 2к (чз(+ .;~я) — хз соз 2п ( „,Г+;э )!. ~! )' 2 Если ч./~„есть число рациональное, то написанные функции будут периодическими, а траектория точки будет замкнутой фигурой Лиссажу. Но если числа ч и ъл несоизмеримы, то получающаяся фигура не будет замкнутой, и дзйжение не будет строго повторяющимся.
Уравнения (9.50) будут в этом случае простейшими частными случаями уравнения (9.49). Почти-периодическую функцию можно получип с помощью производящей функции В'. Равенство (9.35) показывает, что когда т; совершает полный цикл изменения, т. е. когда тв; изменяется на единицу, характеристическая функция увеличивается на зн Отсюда следует, что если одна из величин ыл увеличивается на единицу, а остальные не меняются, то функция )р' = Ю' — ~ тэ„.~„ (9.5!) также остайтся неизменной. Поэтому функция (9.5!) является много- периодической и может быть разложена в ряд вида (9.48)(по тп,) или вида (9.49) (по «;).
Так как согласно уравнениям преобразования д~Ч тля = дУА ' то легко видеть, что равенство (9.5!) определяет преобразование Лежандра, осуществляющее переход от переменных д, l к переменным г), ю. Сравнение с равенством (8.10) показывает, что (г" (т, тв) есть производящая функция типа Р,(д, ф, осуществляющая переход от канонических переменных д, р к каноническим переменным тв,,/. 9 9.61 делив свойства пвгвмвнных двйствив — тол ! Функция Ф', конечно, не является решением уравнения Гамильтона — Якоби Я), хотя она осуществляет такое же преобразование, как функция (и'. Для того чтобы конфигурация системы не изменялась строго периодическим образом, частоты движения должны быть несоизмеримыми. В противном случае конфигурация системы будет через достаточно большой промежуток времени повторяться. Формальным признаком соизмеримости всех частот является существование и — ! соотношений видя л ~у...=-О, (9.52) !=-т где ус — целые числа.
Эти уравнения позволяют представить любое ч; в виде рациональной части любого другого эи Если система такова, что можно составить лишь т соотношений вида (9.52), то говорят, что она является оь-кратно вырождающейся. Если, я частности, т = — п — ), то ей называют иолноссиью вырождающейся (движение системы будет в этом случае чисто периодическим). Следовательно, в случае замкнутой траектории изображающей' точки движение системы является полностью вырождающимся аа). ') Переменные лейстзне — угол мы ввели на основании рассмотрения разделяющихся координат, измевяющихся по периодическому закону, а затем показали, что движение системы является в общем случае много-периодическим.
Следует заметить, что можно было бы проделать это в обратном порядке, т. е. начать с того факта, что движение системы является много- периодическим, а затем ввести переменные действие — угол. При этом нужно потребовать, чтобы конфигурация системы н пронзводнщая функции К" (Тб ш) были много-периодическими относительно переменных те с периодом, равным единице, а гамилтоннан был циклическим относительно всех переменных ш. Таким путем можно было бы избежать необходимости обращатьсн к разде. ляющнмся координатам.
Более подробно об этом см. В огп, Тйе Месйап!сэ о! Ше Л!опн й (5. Я*) Существует интересная связь между вырождением системы и возможностью разделения переменных з уравнении Гамильтона — Якоби. Можно показатгь что в случае ыевырождающейся системы траектория нзобра кающей точки целиком заполняет некоторую ограниченную область фазового пространства (рвано, как н пространства конфигураций; см. Приложение ! к унье цитированной книге Бориа). Но мы знаем, что разделяющнесн координаты изменяются независимо друг от друга по строго периодическим законам.
Следовательно, траектория изображающей точки должна быть ограничена поверхностями ос = сопя!, ре = сопя!, которые определяют границы изменения ос н рь (Этн соображения легко распространить и на случай вращательного движения, для чего нужно ограничить изменения углов интерзалои от нуля до 2я.) Этн иоверхностн определяют объем пространства, всюду плотно запоаненный траекторией изображающей точки, откуда следует, что в невырождающнхся системах можно лишь единственным образом произвести разделение переменных. Это значит, что в этом случае нельзя выбрать две различные системы координат, допускающие разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби (не считая тривиальных вариантов, таких, например, как изменение масштаба). Поэтому наличие двух таких систем обобщвнных координат ясно указывает на вырождение данной механической системы. [гл.
9 метод глмильтонл — якови ",,ул,'а=О (4=1, „т). (9.53) 1=~ Рассмотрим теперь точечное преобразование (тл, l)-ь(тв', У), определяемое производящей функцией ~я = Х Х .Ыл1тлг+ с~ ултвл (9.54) л=г г=г кг-мег [см. уравнение (8.19)[. Новые координаты тл' будут тогда равны ь шл'= Х Ь~" а 1 г ~я=~в а новые частоты т'— (и =1,..., т), (й = т+ 1,..., и), (9.55) (и=1, ..., т), 1 (9; 56) (й=т+1, ..., и). и / '/ 'Ю л юл 231УЬ О аг 1 чл = т Следовательно, т частот будут теперь равны нулю, и останется лишь и — т независимых частот. Новые координаты ю', очевидно, можно считать угловыми переменными. так как конфигурация системы получается в этих координатах периодической с периодом, / равным единице. Переменные Ул можно получить посредством решения и уравнений преобразования ти и А= Х ~кои+ Х ллйлг ° (9.5У) л=.1 л=мч-1 Простейшим случаем вырождения является такой, когда несколько частот равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
