Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Так как время не входит явно а ЙУ, то дй' полная производная — будет равна лт и следовательно, В'= ~ ~~~ р,лг пг = ~ „~~ р; гб)о Эти методы применимы тогда, когда гамильтониан ! постоянен: Н(~у, р) = сопМ. есть любая функция д, р, Т: Н= Н(д, р, г). Мы ищем такое каноническое преобразование, при котором все новые координаты К1 и новые ~ все импульсы Р; являются по- импульсы Р; являются постоянными.
! стоянными. Чтобы удовлетворить этим условиям, достаточно потребовать, чтобы новый гамильтоииан был циклическим относительно всех координат: К = Н (Р;) = яы был тождественно равен нулю: К = О. что представляет собой действие А, рассматривавшееся в $ 7.5. Как и ранее, этот результат оказывает малую практическую помощь, так как йт нельзя найти до получения полного интеграла уравнения Гамильтона †Яко. Мы рассмотрели два метода решения задач механики: один с помощью главной функции Гамильтона, другой с помощью характеристической функции Гамильтона.
Полученные результаты можно записать теперь в виде следующей сравнительной схемы. Зоб (гл. 9 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА †. ЯКОЬИ а их решениями будут функции: — Ю~ =- и г-+ ~г Р1 1Р Р; =- (и удовлетворяющие поставленным условиям. Производящей функцией искомого преобразования будет характеристическая функция Гамильтона главная функция Гамильтона Я(су, Р, ~).
И'(~у, Р). Эта функция удовлетворяет уравнению в частных производных, имеющему вид Н(д, —, г)+ — ==О. ~ Н(д, — ) — -а,=О. Полный интеграл этого уравнения содержит ! и — 1 нетривиальных постоянных, образующих вместе с а, систему из и независимых постоянных а,,...,аег и нетривиальных постоянных а„..., а„. За новые постоянные импульсы Р;== П можно выбрать и независимых функций от и постоянных а;; Ря (г(а . ») и поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно рассматривать как функцию новых импульсов ~ = ~(Ч т Г). ! (Г'= й'И (г).
(В частности, П могУт быть Равны ан) Одна половина УРавнений преобразования имеет вид д5 дат . и выполняется автоматически, так как эти равенства использовались при составлении уравнения Гамильтона — Якоби. Остальные уравнения преобразования имеют вид д5 ! дЖ' й =д— =1Я дтч Ф = д. = '(П) ~+ Рг д« При этих условиях новые уравнения 4= — =-О, дК дР; дф~ движения будут иметь вид: дК = — = чп !' д()г $ 9.4) РАздьление пеРеменных в РРАВнении РАмильтонА — якови 307 и могут быть разрешены относительно дт, в результате чего у; получатся выраженными через г и 2п постоянных р1, "„. Окончательное решение задачи сведйтся тогда к выражению 2п постоянных чеРез начальные значениЯ кооРдинат и импУльсов (чеРез Гыв и Рю). Если гамильтониан не содержит явно 1, то можно пользоваться любым из этих методов.
Соответствующие производящие функции будут связаны тогда равенством Я(д, Р, С)=)Р(д, Р) — Е,Г. ф 9.4. Разделение переменных в уравнении Гамильтона— Якоби. Из содержания предыдущего параграфа может показаться, что метод Гамильтона — Якоби не имеет практических преимуществ, так как вместо решения 2п обыкновенных дифференциальных уравнений он требует решения дифференциального уравнения в частных производных, что, как известно, сложнее. Однако при некоторых условиях переменные уравнения Гамильтона — Якоби можно разделить, и тогда решение задачи удается свести к квадратурам. Именно в этом случае метод Гамильтона в Якоби становится полезным в практическом отношении. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие системы, гамильтониан которых является одним из первых интегралов (при этом он не обязательно должен быть полной энергией). Поэтому.
мы можем ограничиться рассмотрением лишь тех канонических преобразований, которые осуществляются функцией, определяемой соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных. Разделение переменных, которое мы имеем в виду, удается произвести тогда, когда решение вида В'= ~ ))гт(!у1, п„..., ав) ! разбивает рассматриваемое уравнение на и уравнений вида д ' ''''' в) (9.23) Катндое нз полученных таким путям уравнений (9.23) содержит лишь одну координату и лишь одну частную производную — как раз по этой координате.
Поэтому эти уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, которые можно свести к квадратурам, разрешая их относительно —. дЮ'! ддт ' К сожалению, нельзя дать простого критерия, указывающего, когда можно произвести такое разделение переменных *). В некоторых случаях, например в известной задаче о трех телах, его вообще ') Более подробно этот вопрос рассмотрен в статье Нордхейма н Фюза, (см.
НапбЬвсь бег Рйузйц т. Н), а така!е в книге Франка и Мизеса: сР)ггегео!)а! ие)сйапдеп бег Рйуз)к», т. 2, гл. 2, 9 5, н в литературе, указы<ной в этой работе. ЗО9 [гл, 9 метОд Глмильтона — якови о(дп ап 1) = %'(дп а;)+ о' (Г, а;), что после подстановки з уравнение Гамильтона — Якоби приводит к равенству Так как первый член этого уравнения содержит только и;, а второй в только А то оно может удовлетворяться лишь теми функд5а циями, при которых как И, так и — являются постоянными. Таким дг образом, мы приходим к уравнениям: дЯа — = — пп дг (9п д ) (9.24Ь) первое из которых показывает, что Ба= — а,с1сьь равенство (9.13)], а второе является уравнением Гамильтона — Якоби для функции 1Р'.
Аналогичное разделение переменных в характеристической функции Гамильтона можно произвести в том случае, когда все координаты, кроме одной, являются циклическими. Рассмотрим, например, тот случай, когда единственной нециклической координатой является д,. Будем искать Ж' в виде )г' = ~~ Ф;. (~гр., Р,). Так как импульсы, соответствующие циклическим координатам, являются постоянными, то при 1 чь 1 уравнения преобразования будут иметь вид — =-,О =й., д йг~ (9,25а) д~й нельзя осуществить. Однако в системах, представляющих интерес для современной атомной физики, такое разделение удается произвести почти всегда.
Следует подчеркнуть, что решение вопроса о разделении переменных в уравнении Гамильтона в Якоби зависит от того, какой системой обобщйнных координат мы пользуемся. Например, в задаче о движении точки под действием центральной силы переменные разделаются в случае применения полярных координат г и 9 и не разделяются в случае применения декартовых координат х и у.
Во многих случаях существует более чем одна система координат, допускающая разделение переменных, Частичное разделение переменных уже применялось нами при решении уравнения Гамильтона †Яко в случае, когда И не является явной функцией 1. В этом случае мы искали о' в виде $9.4) глздклкпиа пвгемвнных в гглвнвнии гамильтона — якови 309 и поэтому уравнение Гамильтона — Якоби запишется в виде Н(ды —, и,„..., п,)=пы дя, ' (9.25Ь) что представляет обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Ю'ы и, следовательно, легко может быть решено.
Уравнения (9.25а) и (9.25Ь) полностью определяют характеристическую функцшо Ф', и так как интегрирование уравнений (9.25а) приводит к равенствам Ф;= пауз (1 чь 1), то для )г' будем иметь: 'йу = В', + ~ а;~уп (9.26) 2т 1,Р" +та /+ и является циклическим относительно ~у, В соответствии с этим харак- теристическую функцию Гамильтона можно записать в виде (9.27) )1' = 'йт, (г) + ат~у, ") Равенство (9.26) можно получить также из следующих соображений.
Мы знаем, что В' является производящей фуикцией преобразования, при котором все новые координаты являются цикляческими. Йо если координаты пз,..., п„уже являются циклическими, то для них такое преобразование ие нужно. Поэтому в отношении зтих координат преобразование йг может быть тождественным. Обращаясь теперь к равенству (9.26), мы видим, что так как ы; являются новыми пмпульсамя, то сумма 'т',атдг может быть записана а=а в виде Х гзгг) ° т=з что для координат па,..., д„ представляет производящую функцию тожде. ствеииого преобразования (сьь равенство (8.19)).
Можно заметить сходство между равенствами (9.26) и (9.13), определяющими 8 в случае, когда Н не содержит явным образом 1. Действительно, их можно рассматривать как равенства, полученные одинаковым путам. Мы видели, что 1 можно рассматривать как обобшанпую координату, которой соответствует канонический импульс — Н. Следовательно, если Н= сопя(, то г можно рассматривать как циклическую координату, а уравнение (9.24а) — как одно из уравнений (9.25), справедливых для любых циклических координат а). В качестве примера рассмотрим задачу о плоском движении точки под действием центральной силы, Гамильтоннан такой системы имеет вид 31О )гл, 9 метод гамильтона в якови где и †постоянн кинетический момент р, соответствующий координате т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
