Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Вырождающиеся частоты можно исключить с помощью канонического преобразования, коротко описанного в предыдущем параграфе. Записывая условия вырождения в виде "— 2 — — О, 2 —. — — О, мы получаем образующую функцию Е=(тат — тв2)2у+(ша тв)Уг+ну 72 (9.72) откуда у теу = тв — тв2, у тва твь ' ~у у Еаа = тпу. (9.73) Ранее мы говорили, что переменные ./2 и /, должны входить сюда в виде комбинации./2+ .у'„. Теперь мы видим, что все три переменные l входят сюда в ниде комбинации l„+12+де, Следовательно, все частоты этого движения одинаковы и оно является полностью выроаугт)ающилгся.
Полученный результат следовало ожидать заранее, так как мы знаем, что в случае силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, траектория движущейся точки является замкнутой (при Е < О). Поэтому изучаемое движение должно быть строго периодическим и, следовательно, полностью вырождающимся. Если бы центральная сила содержала член г-з (вносимый релятивистскими поправками), то траектория была бы незамкнутой, а движение было бы непериодическим (оно совершалось бы по прецессирующему эллипсу). Одно из вырождений было бы в этом случае уничтожено, но движение все еще было бы вырождающимся, так как равенство ч; = у справедливо для всех центральных сил. Частота рассматриваемого движения определяется равенством дН дН дН 422та2 д.ту дда д1, (.уу+ 22+ 2,)' 5 9.7) злдлчл квплагл в пвгвмвнных действие — угол 327 Как и следовало ожидать, новые частоты ч' и ' получаются рав- 1 2 ными нулю.
Переменные ./; можно получить, решая уравнения ./ =./,, Р 1 З2 = /2 — Л! 7„=./.' — У,. Отсюдз ./, =у, 1 72 = Ут+ 72 ./2 = У. + з'2 Ф з„. (9.74) Выражая теперь гамильтониап О через новые переменные, 2язтаз у'2 2 получаем (9.76) 1 причЕм сюда входит лишь та нз переменных з1, для l частота ги отлична от нуля.
Вычисление угловых переменных п12 можно произвести с уравнений которой помощью (9.76) Интегрируя для этого уравнения (9.66), мы можем получить В' как функцию констант р, р„и Е и, следовательно, как функцию переменных Х Подставив эту функцию в равенство (9.76), мы можем получить затем соотношение между тв и константами движения, чем и определится физический смысл величин тв. Практически, однако, этот путь оказывается весьма длинным.
К счастью, здесь можно высказать некоторые качественные соображения, достаточные для выяснения смысла постоянных угловых координат тв,' и ша'. Мы Р знаем, что действие 'з1 равно произведению 2п на составляющую кинетического момента вдоль полярной оси г, и, следовательно, соответствующая ему угловая переменная должна быть некоторым фиксированным углом в экваториальной плоскости. Одним из таких углов является угол, определяющий положение линии узлов (линия пересечения плоскости орбиты с экваториальной плоскостью), и 1 поэтому ш1 может отличаться от него только на некоторую постоянную.
(Значение этой постоянной мо1кет быть найдено с помощью непосредственного интегрирования.) Аналогично, ./2 = ./„+ /, = 2яр и, следовательно, эта величина 2 1 пропорциональна полному кинетическому моменту. Поэтому ш будет некоторым фиксированным углом в плоскости орбиты, таким, как, например, угол между перигелием и линией узлов. Следует заметить 328 [гл. 9 МБТОД ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ е также, что отношение 4,/уз должно равняться косинусу угла между осью г и вектором кинетического момента. Таким образом, велиг / / l чины ь ы твя и ГНИ, в сУщности, ЯвлЯютсЯ Углами ЭйлеРа, опРеделяющими ориентацию орбиты в пространстве.
Введение переменных действие — угол не приводит, конечно, к наиболее быстрому решению задачи Кеплера, и с этой точки зрения практическая польза этого метода представляется спорной. Однако система переменных тв', У может служить для того, чтобы определить положение орбиты в пространстве. Кроме того, с помощью переменных 1, можно указать также размер орбиты и ее форму (т, е. длину главной полуоси и величину эксцентриситета).
Поэтому рассмзтриваемые переменные особенно удобны при изучении орбит планет, в связи с чем они находят применение в астрономии, где переменные ш', У известны под названием алг кенглов Делоне орбиты (Ое1аипау е!ешепгз). Когда в движении участвуют только два тела, то эти элементы являются константами движения (за исклюг чением твз). Но если имеются небольшие возмущения, вызванные, например, другими планетами или спутниками данной планеты, то движение получается более сложным, хотя часто мох<но считать, что рассматриваемое движение характеризуется этими же элементами, но медленно изменяющимися во времени. В этих случаях переменные ш', У оказываются весьма полезным инструментом для изучения таких возмущений. В течение долгого времени переменные действие — угол применялись только в астрономии.
Однако положение резко изменилось с появлением квантовой теории атома Бора, так как при этом было установлено, что квантовые соотношения проще всего получаются как раз с помощью переменных Х В классической механике значения переменных l могут изменяться в непрерывном диапазоне. Однако в квантовой механике это не имеет места, так как квантовые условия Зоммерфельда и Вильсона требуют, чтобы движение ограничивалось теми орбитами, для которых «истинные» переменные l имеют знзчения пп, где й †ква действия, а и †люб целое число.
(Переменные 1 считаются «истиннымия, если соответствующие частоты не вырождаются и отличны от нуля; такой переменной является, например, УБ.) Как показал Зоммерфельд, переменные действие — угол открывают широкие возможности для квантования, так как при этом требуется лишь решить соответствующую задачу классической механики и, заменяя затем l на пй, произвести квантование. В качестве примера мы рассмотрим квантование энергетических уровней атома водорода. Оно сразу получается из равенства (9.75), еСли положить там Ге = Леа и зз — †: 2язглЛБ«ч пзда э 9.71 злдлчя кеплегя в пвгвмвнных двйствив — ггол 329 где и†так называемое ялояное квантовое число.
В случае полностью вырождающейся системы оно является единственным квантовым числом. Положение, однако, изменится, если ввести релятивистские поправки, учитывающие прецессню перигелия в плоскости орбиты. Тогда угол еяя, определяющий положение этого перигелия, / будет изменяться со временем, и переменная Ув станет «истинной», вследствие чего ее тоже нужно будет квантовать, полагая Уя = 1е1п где 1/ — радиальное квантовое число.
Так как частоты ~,' и ',' отличны 'г / от нуля, то энергия Е будет теперь зависеть как от .1я, так н / от яя, т. е. от и и от й. Таким путем можно построить известную релятивистскую теорию энергетических уровней атома водорода. Для того чтобы полностью устранить вырождение, можно ввести однородное магнитное поле, направленное вдоль произвольной осн, скажем, оси я. Плоскость орбиты будет тогда совершать прецессию Лармора (Багпюг) вокруг этой оси, и угол тп, 'будет равномерно / увеличиваться. Поэтому 4ь будет </истинной» переменной действия, и должно будет выполняться равенство / l,=щй, где и — мигнитное квзнтовое число.
Поэтому энергия будет теперь зависеть от всех трЕх квантовых чисел, в результате чего мы получим эффект Зеемана, состоящий в расщеплении спектральных линий *). В период разин~на старой квантовой теории переменным действие — угол уделялось много внимания, так как они представляли эффективный метод теоретического исследования.
Но когда после атома водорода стали рассматривать более сложные системы, положение изменилось, так как пришлось учитывать много дополнительных сил. С этой целью из классической механики был заимствован метод расчйта малых возмущений, и поэтому между классическими и квантовыми методами расчета таких возмущений имеется много сходства. Следует, однако, отметить, что методы классической механики являются значительно более сложными, особенно в случаях вырождения.
Скоро, однако, стало ясно, что, помимо математических трудностей, здесь имеются и принципиальные, так как квантовая теория Бора недостаточно правильно отражает физическую природу явлений. Как известно, выход был найден благодаря создайию (почти одновременно) волновой механики и матричной механики. Но тзк *) Получаемое таким способом расщепление представляет лишь нормальный эффект Зеемява. Аномальный эффект Зеемана требует, конечно, учета влияния «спинам ззо [гл. 9 метод гамильтона — якови как методы решения квантовых задач были в этих теориях совершенно различными, то интерес к переменным действие — угол резко уменьшился. В настоящее время они употребляются только в астрономии (т.
е. в классической механике); в квантовой механике сохранились лишь некоторые из понятий, связанных с этими переменными, такие, например, как вырождение. Хотя это может показаться странным, но новая волновая механика также связана с теорией Гамильтона — Якоби. Подобно тому квк зародышем матричной механики являются классические скобки Пуассона, зародыш волновой механики можно увидеть в связи метода Гамильтона — Якоби с геометрической оптикой. К рассмотрению этой связи мы сейчас и перейдем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
