Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Уравнение Гамильтона — Якоби запишется в данном случае следующим образом: (9.28) где и, — постоянная, имеющая простой физический смысл: это — полная энергия системы. Разрешая уравнение (9,28) относительно — , д йгг дг ' получаем д)Д; . гг а„ вЂ” ' = $г 2т (а — (г) — — ", гз ' откуда 2 а= (Г )Г Г а,— а) — -Ь.;,. гя При такой характеристической функции равенства (9.22Ь) принимают виа; даг Г т й '+'' да, а„ 2т (аг — )г) — — ' гэ (9.29а) дгтг г а„дг 1.= д„--= — ~ + о. (9.29Ь) т ,2 гз 2т (а~ — )г) — — ' га и'и =8,— ~ 2т (а, 1/) иэ аа что при отождествлении ра с ро совпадает с равенством (3.37), полученным ранее лля орбиты точки. На этом простом примере можно ясно видеть мощность и изящество метода Гамильтона †Яко, позволившего нам быстро получить уравнение орбиты и зависимость г от г, что раньше требовало больших выкладок.
Разделение переменных в уравнении Гамильтона в Якоби не ограничивается, конечно, тем случаем, когда лишь одна координата является нециклической. Если, например, гамиль- Первое из пих определяет г как функцию г и совпадает с равенством (3.18), в котором и, и а выражены через Е и 1. Ранее отмечалось, что (и — 1) последних уравнений (9.22Ь) (в данном случае одно уравнение (9.29Ь)) определяют уравнение 1 траектории. Полагая в (9.29Ь) и= —, будем иметь г' э 9.5) пегемвгшыв действии — уГОл тониан рассмотренной сейчас точки написать в сферических координатах, то из трех координат циклической будет лишь одна— угол у. Однако уравнение Гамильтона †Яко будет и в этом случае допускать разделение переменных гсм.
э" 9.7). В 9.5. Переменные действие — угол. Во многих разделах физики важную роль играют системы, движение которых является периодическим. В таких системах нас часто интересуют не столько подробности траекторий их точек, сколько частоты этих движений. Мы сейчас рассмотрим весьма изящный и эффективный метод исследования таких систем, основанный на методе Гамильтона — Якоби. В этом Рис, 63. Траектория нзобра:ьающей точки в фазовом прострвнстне в случае периодического движения систе- мы с одной степенью свободы. методе в качестве новых импульсов выбираются не постоянные ин непосредственно входящие в полный интеграл уравнения Гамильтона †Яко, а подходяьцим образом определенные постоянные lп образующие и независимых функций от ип Они носят название действий. Прежде чем вводить эти переменные, необходимо точно определить смысл термина «периодическое движение».
Рассмотрим сначала систему с одной степенью свободы. Фазовым пространством такой системы является двумерная плоскость, и здесь можно различать два вида периодического движения: 1. движением первого типа является такое, при котором д(О и р(У) суть две периодические функции времени с одинаковым периодом. Такое движение характерно для колебательных систем, например для линейного гармонического осциллятора с одной степенью свободы. Для этих движений часто применяют астрономический термин либраиия, Так как значения переменных д и р повторяются при этом двин<епии через каждый период, то точка, изображающая такую систему, описывает в фазовом пространстве за.кинутую траекторию (рис.
63, а). 2. Во втором типе периодического движения само д не изме- няется периодическим образом, появляется таким, что при увеличении 312 [гл. 9 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА в ЯКОБИ его на некотоРУю величинУ г1о конфигУРациЯ системы, в сУщности, не изменяется. Наиболее простым примером такого движения является движение твйрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Координатой д здесь является угол поворота, увеличение которого на 2к не изменяет положения тела.
В отличие от либрации его называют вращением. Значения О не являются здесь ограниченными и могут сколь угодно возрастать. Поэтому траекторией изображающей точки будет в этом случае незамкнутая кривая, но р бУдет некотоРой пеРиодической фУнкцией г1 с пеРиодом гуо(Рис. 63,0). Следует заметить, что оба вида периодичности могут встретиться в одной и той же физической системе. Классическим примером такого рода может служить движение ~2 простого маятника, если координатой О считать угол отклонения О. Постоянная энергия этой системы равна ,г Е = — — тй4 соз О, (9.30) 2тга где 1 †дли маятника. Разрешая равенство (9.30) относительно рм получаем Ра =)г 2т(з(Е+тф сов 0), (9.31) Рвс.
64. Траектория изображающей точкп в случае простого маятника. что является уравнением траектории изображающей точки в фазовом пространстве. Если Е меньше чем те1, то движение системы будет возможно лишь при ( 0 ) ~ О', где г г' Е 0 = агссоз ~ — — ). туг) При этих условиях маятник будет колебаться в пределах между — О' и +О', т.
е. будет совершать периодическое движение типа либрации. Траектория изображающей точки будет при этом подобна кривой 1 на рнс. 64. Однако если Е ) тс4, то все значения 0 будут здесь физически возможными, и О будет неограниченно возрастать, т. е. маятник будет совершать периодическое движение вращательного типа, Физически это объясняется тем, что маятник обладает достаточно большой энергией, позволяющей ему пройти через вертикальное положение (О = гг) и, следовательно, непрерывно вращаться. На рис.
64 этому случаю соответствует кривая 3. В предельном случае, когда Е =- ту1, мы будем иметь картину, которую изображает кривая 2 на рис, 64. В системах более чем с одной степенью свободы мы ограничимся рассмотрением лишь тех задач, в которых уравнение, определяющее 3(3 $ 931 пвгвмвнныв двйствии — уГОл характеристическую функцию Ф', является уравнением с разделяющимися переменными (по крайней мере, для одной системы канонических переменных).
Движение системы мы будем представлять как движение изображающей точки в многомерном фазовом пространстве (д, р). Будем говорить, что это движение является периодическим, если, проектируя изображающую точку на каждую плоскость (д, р;), мы получаем периодическое движение в обычном смысле слова (как для системы с одной степенью свободы). Но так как мы рассматриваем случай полного разделения переменных, то эти движения будут независимыми, и их можно легко исследовать. Согласно уравнениям канонического преобразования д%'с (яе ап..., ап) (9.32) дис Следовательно, каждое р; является функцией соответствующего д; и и постоянных ар рс = р;(до а„ ..., а„).
(9.33) Легко видеть, что это уравнение дает проекцию траектории изображающей точки на плоскость (дн р~). Отсюда следует, что рассматриваемое движение будет периодическим только тогда, когда кривая (9.33) будет замкнутой или периодической относительно дь Периоды движений, описываемых парами (дс, р;), не обязательно должны быть одинаковыми. Примером может служить гармонический осциллятор с тремя степенями свободы в случае, когда три его коэффициента жйсткости различны.
Суммарное движение колеблющейся таким образом точки будет в этом случае не обязательно периодическим, так как периоды составляющих движений могут быть здесь несоизмеримыми, и траектория движущейся точки будет тогда разомкнутой (так называемая «фигура Лиссажу>). Такое движение называют почти-периодическим. Теперь мы можем ввести действия Уы ..., 1„, которые в качестве преобразованных постоянных импульсов Р; будут заменять постоянные ао Под 1е мы будем понимать интеграл Ус= ~р дом (9 34) взятый за полный период изменения де (колебания или вращения, смотря по тому, какой случай имеет место).
Термин «действие» употребляется здесь в связи со сходством интеграла (9.34) с действием А (см. 9 7.3), равным по определению А = ) ~~Р„рсйуе= ) ~ рс9;й. Согласно уравнению (9.32) ./е можно записать в виде 4, д%;(дп «р..., «„) д,уе 3[4 [гл. 9 МВТОД ГАМИЛЬТОНА — ЯКОВИ откуда видно, что каждая из величин /; является функцией п постоянных ар входящих в полный интеграл уравнения Гамильтона †Яко. Но из независимости пар (дп р;) следует, что эти функции являются независимыми.
Следовательно, величины lг можно принять за новые постоянные импульсы. Выражая сы через 1О можно характеристическую функцию [г' записать в виде Ю'= %'(~уы ..., д„, 1„..., ./И), а гамильтониан — в виде и =- а, = и (у„..., .у„). (9.3б) (9.34') ./; .= 2.тоз для всех циклических переменных. ОбобщЕнные координаты, соответствующие величинам 1р известны под названием угловых аерегменных юо Они определяются равен- ствами дй' д.~, (9.37) Уравнения, определяющие функции те;(1), будут иметь вид (9.38) где Ч вЂ” постоянные величины, являющиеся функциями /о ..., у„. Интегрируя эти уравнения, получаем тог =-- ~;1+ ~О (9.39) Следовательно, тоз являются линейными функциями времени [так же, как в уравнениях (9.22')[.
С помощью уравнений (9.37) и (9.39) можно получить дг как функции г, г и ~о подобно тому как мы это делали в случае, когда новыми импУльсами слУжили постоЯнные вн Однако пеРеменные Уо Заметим, что согласно определению [см. равенство (9.34)[ размерность величин .Р; совпадает с размерностью кинетического момента. Если одна из переменных дг является циклической, то соответствующий ей импульс будет постоянным. Соответствующая траектория в плоскости д;р; будет тогда горизонтальной прямой линией, не имеющей ясно выраженного периодического характера. Такое двизкение можно рассматривать как предельный случай периодического движения вращательного типа, причем координате д; можно здесь приписать любой период. Но так как во вращательном движении координатой всегда служит угол, то естественным периодом такой циклической координаты является величина 2п. Поэтому интеграл (9.34) должен в этом случае вычисляться от нуля до 2п и, следовательно, 313 пееемвнные действия — уГОл тв~ не обнаруживают в этом отношении больших преимуществ по сравнению с координатами ап Выясним теперь физический смысл величин чь Допустим, что координата ау совершает полный цикл изменения (либрацни илн вращения), в то время как остальные координаты остаются прн этом неизменными.
Рассмотрим приращение Ьтвы которое получает при этом величина ген Оно равно дд. атее д г, 0' (9.41) Равенство [9.41) показь1вает, что при у' =-1 угловая переменная тв; равна единице, а при у'ть 1 она равна нулю. Поэтому если т; будет означать период одного цикла изменения до то согласно [9.39) будем иметь Лчвг = 1 = °;то откуда в 1 [9.42) Следовательно, постоянная ч; равна частоте изменения до Таким образом, переменные действие — угол Я, ю,) весьма удобны для получения частот периодических движений; при этом не требуется полного исследования движения системы. Если априори известно, что система является периодической, то для нахождения ее частот достаточно найти согласно (9.34) переменные действия ./с и выразить О через lо после чего останется вычислить произвоЛ- дРУ ные — и получить таким путем частоты гч [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
