Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(9. 94) Полученное нами уравнение известно в геометрической оптике как уравнение эйконала. Определяемые им поверхности Е =- сопз1 являются поверхностями постоянной фазы и, следовательно, определяют фронт волны. Все световые лучи будут перпендикулярны к этим поверхностям и, следовательно, то>хе будут определяться уравнением (9.94). дальше нам нет необходимости углубляться в подробности геометрической оптики, так как мы видим, что уравнение (9.94) подобно уравнению (9.83), являющемуся уравнением Гамильтона — Якоби для характеристической функции 1Е'.
Таким образом, мы имеем аналоги>о, в которой Ю' играет роль эйконала Е, а (2т(Š— И)) ~" — коэффициента преломления и. Поэтому классическую механшсу можно рассматривать как аналог геометрической оптики, в котором роль поверхностей движущейся волны и ортогональных к ним световых лучей играют поверхности 8 = сопз1 и ортогональные к ним траектории движения. Отсюда ясно, почему волновая теория Гюйгенса и корпускулярная теория Ньютона одинаково хорошо объясняли явления отражения и преломления: в рамках геометрической оптики между этими теориями имеется формальная зналогия. Мы уже отмеча.чи, что принцип наименьшего действия имеет сходство с принципом Ферма в геометрической оптике.
Теперь это сходство становится понятным. Согласно (7.40) принцип наименьшего действия можно записать в виде Л ~ у' 2 т Г а>е = О, а мы знаем, что корень |у'2пь'Г пропорционален коэффициенту преломления или обратно пропорционален скорости волны в соответ- 9 9.8) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ствующем волновом движении. Следовательно, анзлог принципа наименьшего действия должен иметь вид й ~ лг(л=б ~ — =О, (9. 95) й„(1.— г1) = 2я ( — — ~) Йо (см. равенство (9.91)). Следовательно, энергия Е и частота ч должны быть пропорциональны, и поэтому можно написать Е= йм (9.96) Но длина волны связана с частотой соотношением лАч — и, откуда с учетом (9.85') получаем >,=— р'л т.
е. (9.97) что представляет два хорошо известных варианта принципа Ферма для пути светового луча. Мы еще не нашли тех величин, которые играют в классической механике роль частоты и длины волн. Единственное, что мы пока установили, это то, что искомая длина волны должна быть значительно меньше того расстояния, на котором становится заметной неоднородность силового поля. Лальше этого мы, естественно, не могли идти, так как, будучи аналогом геометрической оптики, классическая механика является той областью, в которой не встречаются эффекты, зависящие от длины волны (интерференция, диффракция и т. п.).
Поэтому, хоти двойственность «частица — волна» имеет место и в классической механике, однако волновой концепции здесь не предоставляется случая обнаружить свое преимущество перед корпускулярной. Тем не менее, можно попытаться написать золновое уравнение, для которого уравнение Гамильтона — Якоби является своего рода пределом прн А — Р О, Сходство между уравнениями (9.94) и (9.83) не означает, конечно, что величине Е должно соответствовать именно 1Р', так как оно может соответствовать величине, пропорциональной Е.
Мы увидим, что коэффициент пропорциональности является здесь мерой длины волны. Из соответствия между Л и 1Р' следует, что 8 = — %' — Ет должно быть пропорционально фазе колебания 336 ~гл. 9~ метод гамильтона — яковн Уравнение (9.87) можно записать в виде ! и'ат Ч'ф — —.,—,' =О, иа нгт где и — скорость световой волны в среде с показателем преломления и. Если заменить здесь р на суе-т"', то это уравнение примет вид 4иа 72ср+ —, ю = О, ха что представляет собой волновое уравнение, не содержащее времени. Величина р является здесь амплитудой колебзния, и в волновой механике ей должна соответствовать некоторая величина ф, удовлетворяющая уравнению такого же типа, как уравнение (9.98).
Но а равно теперь уг/р, где р =-'у'2т(Š— )г). Следовательно, волновое уравнение, для которого 1)т является эйконалом, должно иметь вид т тф + — ",—' " (Š— У) ф =- О. (9.99) е) Аналогичное положение имело место н в волновой теории света. Пока не были обнаружены явления интерференции и диффракции, волновая теория Гюйгенса не имела преимушеств по сравнению с корпускулярной теорией Ньютона. Равенство (9.99) вырамсает известное уравнение волновой механики — уравнение Шрбдингера. Из формулы (9.97) видно, что длина волны прямо пропорциональна коэффициенту л. Поэтому, чем меньше й, тем меньше длина волны и тем теснее связь с геометрической оптикой. Эквивалентность уравнений Гамильтона в Якоби и эйконала была установлена Гамильтоном в 1834 г., а соответствующее волновое уравнение было получено Дебройлем и Шрйдиигером в 1926 г.
Иногда высказывают мнение, что если бы Гамильтон пошЕл немного дальше, то он получил бы уравнение Шрбдингера. Это, однако, не так, ибо для такой экстраполяции он нуждался в достаточном экспериментальном материале. В то время, когда жил Гамильтон, классическая механика считалась абсолютно верной, и не было оснований для экспериментальной проверки еЕ с целью уточнения и создания более общей теории. вкругими словами, Гамильтон не имел основания считать, что Ь отлично от нуля. Тот факт, что классическая механика является лишь приближением волновой механики и что это приближение представляет своего рода «геометрическую оптику», стал ясен значительно позже, когда были обнаружены эффекты, зависящие от длины волны частицы (например, в ивтерференционных опытах Дэвиссона (Рат1ззоп) и Гермера (Регшег)).
Только после этого можно было приписать определбштый физический смысл неличине Ь, являющейся известной постоянной Планка "). '537 '!'еперь ны видим, что классическая механика содержит в себе зйрна квантовой механики и что уравнение Гамильтона †Яко особенно удобно для перехода от первой нз них ко второй. Дальнейшее углубление в эти вопросы вывело бы нас за ршзки данной книги, которую с достаточныы основаниен можно назвать «Геометрической оптикой волновой механики».
Злдлчп !. уравнение (9.3), опрелелюощее функцию Э, было получено пани с по- нощью канонического преобразования, осуществляющего переход от канонических координат (д, р) к настоянным (а, 6). Пока;ките, что верно и обратное, т. е. если 5(до «о Г) есть любой полный интеграл уравнения (93), го определясные равенствами (9.6) и (9.7) переменные (4в рг) будут каноническими и, следовательно, будут удовлетворять уравнениян Ганильтона. 2. Решите задачу о двнжеикн материальной точки в однорочнон гравитационном ноле, пользуясь методом Гамильтона — Якоба. Нанднте также уравнение ев траектории.
3. Рассмотрите задачу о тяже.тон симнетричнон волчке с одной неподвижной точкой, пользуясь методом Ганнлыопа — Якоби. Получяте для неб формальное решение (5,56). 4. Найдите собственные частоты гармонического осциллятора с тремя степеняни свободы, пользуясь перененныин действие — угол и считая, что коэффициенты сил, действующих вдоль каждой из осей, лвляются различными. 5.
(а) Покажите, что при малой амплитуде колебаний энергия простого маятника равна Ь' = д ь (Ь) Рассмотрите маятник, сосгоя:ций из тялселой точки, подвешенной на нити, проходящей через отверстие. Предпололшн, что нить втягивается через отверстие, вследствие чего длина наяюшка уненьшается, причбн зто происходит настолько медленно, что в кажлый момент времени ещб можно говорить об определеннон периоде колебания.
Вычислите работу, которая затрачивается прн этои на преодоление натяжения нити, и найдите таким путбн изменение энергии маятника. Покажите, что перецепила У=Е)9 будет при этом оставаться постоянной. Изменевие внешних параметров системы со скоростью, малой по сравнению с собственной частотой, называют адиабашическим изменением. Поэтому переменная е' в этом маятнике будет адиабатичееким инаариантом. Вообще, можно доказать, что если система не вырождается, то переменные У являются адиабатическннн инвариантамн, т.
е, не язненяются под действием недлеиного изменения внешних условий. Заметим, что в квантовых процессах каждое состояние системы также является адиабатическнн ннвариантом, так как медленное изменение внешних паранетрол не приводит к переходу из одного состояния в другое. Это дает еще одно указание на целесообразность пользования переменными 1« при опнслшп« квантования системы. 6. (а) Пусть гармонический осциллятор задачи 4 будет полностью вырождающимся, т.
е. все его частоты будут одинаковыми (пзотропный осциллятор). Получите для него «истинные» переменные и выразите его энергию только через одну переменную Х (Ь) Решите задачу об изотропнон осцилляторе, пользуясь перененныни действие — угол (/,ш) и применяя сферические координаты. Получите «истинные» переменные (.У, ш) и сравните полученный результат с результатом задачи (а). Будут лн эти две системы переменных одинаковыми? Каков их физический смысл? (Эта задача показывает, что в случае вырождающегося ЗЗК (гл. 9! и! ~ ) ! ~лмильгонл — якови дви,кення разделение переменных возчояшо более чем в одной системе обобщенных координат. В слу же нсвырождающегося осциллятора разделение переменных молшо произвести в декартовых координатах н нельзя произ.
вести в потярных.) 7. В случае вырождающегося плоского движения гармонического осциллятора разделение переменных возможно в любой декартовой системе координат. Получите соотношения меягду переменными дейстние — угол, соответствующими двум декартовым системам координат, образующим друг с другом угол 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
