Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Вектор сг, можно получить тогда, умножая а, 'на соответствующий коэффициент. После этого можно образовать вектор аа, составляя линейную комбинацию векторов гх,' и гт,,', и т. д. Число постоянных, подлежащих при этом определению, будет равно сумме лг первых целых 1 чисел, т. е. — лг(т+1).
Но так как зти постоянные должны удо- 2 1 влетворять лг условиям нормирования и — т(гв — 1) условиям орто- 2 гональности, то в общей сложности у нас получится ровно столько условий, сколько нужно иметь для определения всех этих постоянных. Этот процесс ортогонализацни собственных векторов, соответствующих кратному корню )., такой же, как процесс ортогонали- 1гл. млл~ щ ~ плавания ф 10.3.
Собственные частоты и главные координаты. В предыдушем параграфе мы видели, что решения аида (10.9) удовлетворяют уравнениям движения не при одном значении частоты в, а в общем случае при п различных значениях. Поэтому решение уравнений движения представляет суперпозицию несколысих колебаний с частотами м,...,а„. Эти частоты, являющиеся решениями векового уравнения, называют частотами свободного нолебанин или собственными частотами системы. Общее решение уравнений движения можно теперь записать в виде -! ус тн ъ Сьагле л (10.28) где Св — комплексный масштабный коэффициент, соответствующий данной собственной частоте.
Здесь, однако, можно сделать возражение, состоящее в следующем. Так как >.а=ел, то каждому ре- 2 шеиню векового уравнения соответствуют две собственные частоты: +ы„и — ыл. И хотя собственный вектор ал будет для них одним и тем же, однако масштабные коэффициенты С~с н Сь могут иметь при этом любые различные значения. Поэтому решение рассматриваемых уравнений должно описываться пе формулой (10.28), а формулой ти=,~'„асл(Сле ! ь~+Сье г л ). л (10. 29) Ответом на это возражение служит то, что интересующее нас движение описывается не комплексным решением, а лишь его вещественной частью, которая в формулах (!0.28) и (!0.29) имеет вид ти = ~~~~ Улагь сов(ылЕ+ 8л), (10. 30) зации произвольной системы функций.
Он также подобен процессу, которым мы пользовались в главе 5 в случае кратных собственных значений тензора инерции. Поэтому неопределенность, вносимую в выбор векторов а двукратным корнем ),, можно об.ьяснпть тем, что все векторы некоторой плоскости оказываются при этом собственными. В этом случае мы просто выбираем в этой плоскости два любых перпендикулярных направления и принимаем их за новые главные оси. Собственные векторы матрицы А будут тогда ортами этих осей. Частоты, относящиеся к кратным корням векового уравнения, часто называют вырождающимися. Следует, однако, заметить, что этот термин имеет здесь не тот смысл, какой придавался ему в предыдущей главе. так как там мы считали частоты вырождающимися даже в том случае, когда онн различны, лишь бы только опи были соизмеримы.
10.3! 77ое7,'тэенные 1!Астоты и 1'7!Анные кООРдинАты 353 где амплитуда 7А и фаза Ь» определяются начальными условиями. Поэтому мы можем пользоваться как формулой (10.28), так и формулой (10.29), однако первая из них является, конечно, более удобной. Ортогональность матрицы 71! сильно облегчает определение коэффициентов СА по заданным начальным условиям. При г = 0 веще. ственная часть выран<ения (10,28) будет равна тн(0) = ~~', ()те С„) аы, 7' (10. 31) где символ КеСА означает вещественную часть СА Аналогично будем иметь ;! (0) = — Х (!ш С„) а!АР!!и (10. 32) где !И!С„обозначает мнимую часть СА.
Из этих 2л уравнений можно определить вещественные и мнимые части всех и констант СА. Чтобы решить, например, уравнения (10.31), их можно умножить на Тг!п1! и просуммировать по 1 и у, Тогда согласно (10.21) будем иметь ~~", Тйт7г(0) а7! — — ~~„' (7Ае Са) Тйад,.пу! = ~У (Ке СА) 3А7, илн, выполнив суммирование по !7! ке С! — — ~~' Тбт7! (О) а и «0.33) 7,у Аналогичным путам можно получить формулу и для мнимых частей коэффициентов СА, которая будет иметь вид 1ш С, = — — ~~~ Т! тн (О) а,! ! т (!0.34) И! Таким образом, формулы (10.33) н (10.34) позволяют с помощью матриц Т и Д вычислять комплексные коэффициенты С! Непосредственно по начальным условиям.
Движение, описываемое уравнением (10.28), может служить примером много-периодического движения, рассмотренного в главе 9. Правда, оно является особенно простым движением этого типа, так как состоит только нз основных частот и совершенно не содержит их линейных комбинаций. Однако, несмотря на это, рассматриваемое движение не является строго периодическим, так как при несоизмеримости собственных частот координаты ти никогда не примут своих начальных значений. Следовательно, координаты тй не будут в общем случае разделяющимися координатами, изменяющимися по строго периодическому закону.
Однако мы сейчас увидим, что такие координаты можно получить с помощью точечного преобразования координат 71!. 364 малые колввлння 1гл. ! 0 Новые координаты ~г мы определим с помощью следующих уравнений, связывающих их с первоначальными координатами т!!. хи=~~' а;Д. (10.36) Если тн и "; РассматРивать как элементы матРиц 4 и Ь, состоЯщих из одного столбца, то эти уравнения будут иметь вид (10.36) Выведем теперь выражения для потенциальной н кинетической энергий системы в новых координатах. Согласно (10.4) потенциальная энергия У равна 1 Кч 2 а~а !' су что в матричной форме может быть записано в виде произведения Ъ' = — 'бает).
(10.37) Точно так же кинетическую энергию (10.6) можно записать в виде следующего матричного произведения: Т = — '4Тт). 1 Но транспонированная матрица т) (состоящая из одной строки) свя- вана с ь соотношением (см, задачу 2 гл. 4). Поэтому будем иметь: Р'= 2 ЯЧА~, или, учитывая (10.26): (1О. 39) т. е. (10.40) Что касается кинетической энергии, то она в новых координатах выражается еще проще. Так как скорости преобразуются так же, как координаты, то Т можно записать в виде Т = — сАТА!",. 1 2 10.3! Оозстввнные чАстоты и ГлАзныв кооглинАты 353 Но так как матрица А является «ортогональной» [см. (10.21')К то это выражение принимает вид (10.41) или (10.42) Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что Т и Р' в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-либо смешанных членов.
Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллнпсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причЕм обе они диагоиализируются матрицей А. Таким образом, применяемое вдесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов.
Уравнения движения в новых координатах тоже становятся более простыми. Лагранжиан системы будет теперь равен (! 0.43) А н поэтому уравнения Лагранжа примут вид (10.44) ".ь+ ыьча = 0 Решая эти уравнения, будем иметь '=А=ОАе ' (10.48) что можно, конечно, получить и непосредственно нз равенств(10.28). Следовательно, каждая из новых координат является строго периодической функцией с частотой, равной одной из собственных частот. Поэтому координаты ч обычно называют главными координатами системы. Очевидно, они являются также разделяющимися координатами, а величины ыег(2п представляют собой угловые переменные.
Как показывают равенства (10.35), каждой главной координате соответствует колебание системы с определенной частотой. Каждое из таких колебаний называется главным. При любом таком колебании все координаты ч1! изменюотся с одной частотой и имеют в каждый 1гл. 1О палые колеваппз момент одинаковые фазы '); относительные амплитуды этих координат определяются матричными элементами аки Полное движение системы получается при этом в результате суперпозиции главных колебаний с учетом их амплитуд и фаз, определяемых коэффициентами С„. Из изложенного видно, что полное колебание системы не содержит частот, кратных основным. Причина этого заключается в том, что л~ы считали колебания малыми.
Именно поэтому мы могли потенциал системы представить в виде квадратичной формы, что характерно для гармонического движения. Кроме того, переходя к нормальным координатам, мы получили вследствие этого лагранжиан (10.43) з виде суммы лагранжианов нескольких гармонических осцилляторов (с частотами ва). Таким образом, малые колебания системы можно рассматривать как результат возбуждения различных гармонических осцилляторов, колеблющихся с различными амплитудами и фазами зз) й 10.4. Свободные колебания трехатомной молекулы.
Чтобы проиллюстрировать изложенные методы, рассмотрим подробно задачу о свободных колебаниях симметричв Ф ж ной трехатомной молекулы (рис. б8). Пусть крайние атомы этой молекулы имеют массы лг, а средний— массу Л4 и пусть в состоянии равнозеспя расстояние между крайними атомами будет равно 2д. Для простоты мы рассмотрим только колебания атомов вдоль линии, на которой они располозкены, причбм связь между ними будем представлять себе в виде двух пружин, соединяющих эти атомы. )Кесткость каждой такой пружины будем считать равной к. В качестве координат, определяющих положение этих атомов, возьмйм их абсциссы. Тогда потенциальная энергия Ъ' будет равна 1 = = ---(хз — х, — -й) + — (хз — хз — д)-'.
А з л 2 "" ' 2 Введем теперь координаты тн = .т1 — хы определяющие смещение атомов относительно положений равновесия. Тогда булеи иметгп хез хщ = б = хоз хоз з) Если козффицвенты а имеют протввоположные знаки, то зги фазы могут быть строго противоположными. з") Подобнзл картава имеет место в квантовой теории электромагнит. ного поля. Частотам гармонических осцилляторов здесь соответствуют частоты излучения, а аплнтуды возбуждения получают здесь дискретные значения, представляющие число фотонов каждой частоты.
своводныа колввания тгвхатомной молвкглы 357 й 1ОА! !7 = — (тй — 'гп)а+ — (т1.. — ч ) л . л или ! ' =- —, (те+ 2«1«+ т,"„- — 2ч,т! — 2т!р,). л (10.46) Следовательно, матрица Ч будет иметь впд: (10.47) Кинетическая энергия этой системы выражается еще более просто: и? l'2 'я\ Л4 '3 7'.= — (Ч, -ь- г,)+ — -г,з. 2! ' '7 2 (1ОА8) Следовательно, матрица Т является диагональной и имеет вид: ~~т 0 0~1 Т=.
0 Л! 0'!. ,'~0 0 лг! (! 0.49) Поэтому вековое уравнение этой системы запишется в виде 1)7 — «РТ~ = 2й — «Р'И вЂ” Ф, (10 50) -- й й — вел или Рф — ыгт)(й(М+2ш)--«РЛ1лг1==0. (10.51) !'ешив это кубическое уравнение, получим: е, = — О, «~а ==- ~!/ —, ы, =-- ~/ — (1 + — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
