Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Поэтому движение этого тела может быть описано только посредством задания координат всех его точек как функций времени. Развитые нами ранее методы нетрудно модифицировать так, чтобы распространить их и на эти задачи. Наиболее прямой метод такого распространения состоит в аппроксимации непрерывной системы дискретной и последующем переходе к пределу в уравнениях движения. ф 11.1. Переход от дискретной системы к непрерывной. В качестве примера применения такой процедуры рассмотрим задачу о продольных колебаниях бесконечно длинного упругого стержня.
Дискретная система, аппроксимирующая этот стержень, состоит из бесконечного числа точек равной массы, отстоящих друг от дру~а на расстоянии а и связанных между собой невесомыми пру>кипами с жесткостью >е (рис. 71). Мы будем предполагать, что эти точки могут двигаться только вдоль прямой, на которой они лежат. Эту дискретную систему можно рассматривать как обобщение линейной трвхатомной молекулы, исследованной в предыдущей главе.
Поэтому мы можем воспользоваться обычным методом изучения малых колебаний. Обозначая отклонение 1-й точки от положения равновесия через т>г, получаем выражение для кинетической энергии Т= — й ~т т>)>ч (1 1.1) где т †мас каждой точки.
Аналогично, потенциальная энергия этой системы будет равна сумме потенциальных энергий отдельных пружин. Поэтому 1 1/ ь(~. ~ )2 (1 1.2) $11.1) пвгяход от дискгатной системы к нвпгвгывной 371 (см. $10.4). Убелиться в том, что формула (11.2) выражает потенциальную энергию этой системы, можно и непосредственно, вычисляя силу, действующук> на 1-к> точку, и сравнивая еа с силой, полученной из выра>кения (11.2). Сила, действующая на 1-ю точку Писжеиа е ,еаеесеесии /е — / сис.ееееа еиеее>ееи ие еаееаеесие Рис. 71. Лисяретная свете ее точек равной массы, связанных пружянамн. Эта система юштир>'ет непрерыеньш упругий сгержень.
со стороны правой пру>вины, равна 1з(й;„ — тн), а сила со стороны левой пружины равна в й(тп †-гп ,). Поэтому сч равно 7'" = Д(г>г- — ти) — Д(,"и — >- ) д>с по совпадает с производной — —, получаемой из формулы (11. 2). Из выражений (11.1) и (11.2) следует, что лагранжиан данной системы равен б — Т вЂ” 1г — — ъ [>и>>, — 7г (тп. — сп)з) 1 у '2 е'ы > что можно записать также в виде Следовательно, уравнение Лагранжа для 1-й координаты будет иметь вид — >> — нп ~~' ' п~>+'нп(~' 1' >)=О. (11,5) Та специальная форма, в которой записаны выражения (11.4) и (1!.5), выбрана нами для удобства предельного перехода к случаю непрерывного стержня, т.
е. к случаю, когда а =- О. Рассмотрим сначала отношение т/а. Ясно, что при а-+О оно стремится к линейной плотности р, т. е. к массе единицы длины стержня. Что касается величины 7за, то ее предельное значение не столь очевидно. Так как упругий стержень подчиняется закону Гука, то его относиглельное удлинение прямо пропорционально растягнвающей силе, и поэтому можно написать: 372 методы ллгглнжл и гамильтона для непгегывных систем [гл. 1! где Š— относительное удлинение, т. е. увеличение единицы длины стержня, а 1' — модуль Юнга.
Но относительное удлинение отрезка а равно в =(ти., — тн)1а. а необходимая для этого сила равна ~ = )е (тн ы тн) = Йа ( — ") а Следовательно, произведение !еа должно соответствовать модулю Юнга непрерывного стержня. Далее ясно, что индекс 1, характеризуюгций номер материальной точки, должен при переходе к непрерывному стержню превратиться в непрерывную координату х. Поэтому вместо переменной тн будем теперь иметь переменную "г(х), а фигурирующая в Е; величина — ч (х + а) — ч (х) а а перейдет, очевидно, в так как мы стремим а к нулю.
Что касается самой величины а, то еЕ нужно заменить теперь на с(х, а суммирование по ! ааменнть интегралом по х. Тогда лагранжиан (11.4) примет вид ) 1 ~ ~рте — г'(«ч) ~ Перейдем теперь к уравнениям движения. !(огда а стремится к нулю, дза последних члена в уравнении (11.5) принимают вид то что, очевидно, равно в У вЂ ,' . Следовательно, колебания непрерыв- Мхз ного упругого стержня будут описываться уравнением лз» «'зв р — — у — =о. вт Лха Этот простой пример хорошо иллюстрирует метод перехода от дискретной системы к непрерывной.
Особенно важно правильно понять здесь роль координаты х, которая не являевгся обобщвнной координатой, а представляет «непрерывный номер» частицы, аналогичный «дискретному номеру» !. В дискретной системе каждому значению ! соответствует определанная обобщанная координата т)и Здесь же каждому значению х соответствует обобщенная координата т)(х). Но так как т, зависит также и от 1, то лучше писать не т(х), 11.21 тглвнвния ллгвхнжл для непгвгывных систем 373 а л(х, Г), указывая тем самым, что х и 1 можно рассматривать как параметры лагранжиана.
Если бы непрерывная система была не одномерной, как в рассмотренном примере, а трвхмерной, то каждая ев точка характеризовалась бы тремя непрерывными индексами х, у, я, и следовало бы писать не т!(х, Г), а >1(х. у, г, 1). Лагранжиан ев выражался бы тогда не интегралом по х, а трвхкратным интегралом вила г.= ) ) ) 'ь'ахг1уаг, (1 1.8) где  — лагранжиан единицы объЕма или удельный лагранлсиан. Лля расмотренного выше непрерывного стержня он равен (11.
9) и получается из величины Ь; в уравнении (11.4) при а -ьО. В дальнейшем мы увидим, что, составляя уравнения движения системы, нам придйтся пользоваться не лагранжианом, а удельным лагранжианом. ф 11.2. Уравнения Лагранжа для непрерывных систем. Из формулы (11.9) видно, что в случае упругого стержня 2> содержит не только и†= —, но и пространственную производную —. Таким дч дч дг ' дх' образом, х и 1 являются здесь равноправными параметрами удельного лагранжиана. В общем случае В будет, конечно, функцией не только этих производных, но н самого т„! и х. Если же рассматриваемая непрерывная система является трехмерной, то ес удельный лагранжиан будет иметь вид 2=2(~,—,—,—,—, х, у,, 1), дч дч дч дч ' дх' ду' дг' дг ' (11.10) Характер фигурирующей здесь вариации почти такой >ке, как у рассмотренных нами ранее, Параметры х, у, г в процессе этого варьирования не участвуют, и все вариации берутся при постоянных В механике дискретных систем лагранжиан был важен в том отношении, что позволял получить уравнения движения.
Мы увидим сейчас, что в случае непрерывных систем эти уравнения получаются непосредственно из удельного лангранл иана В>. Будем исходить из принципа Гамильтона, который теперь принимает вид 374 методы ллгглнжа и гамильтона для нвпгягывнык систем [гл. 11 х, у, х и б Пределы интегрирования пз 1, х, у, и я прн этом не меняются. Что касается вариаций етг то они должны обращаться в нуль не только в точках 1 =1, и 1=1е, но и в любой точке на границе объема интегрирования. Переход к задаче на обычный экстремум можно здесь провести так же, как и в случае дискретной системы, т. е. вводя семейство возможных траекторий и характеризуя ик значениями некоторого параметра а. Однако так как по о-вариациям у нас накоплен достаточный опыт, то мы можем и не вводить этого параметра, а пользоваться самим символом е, помня при этом, что д б -ь г[а — ° да ' Так как с есть функция не только т[ и т, но также и производных т[ по х, у, г, то вариация и равна дй ., дй.
ъ~ д6 . ( дч~ (11.12) дч ',),' ' й ! дч 1 [,дхв7' в=~ [,дхлl где х, у, г заменены для удобства на х„х„ха Поэтому принцип Гамильтона можно записать в виде ~~ — И~+ —.е) У вЂ” — — е( — — ~)~1хг1хфх,,[1=-б. Применяя интегрирование по частям (как это делалось при выводе обычных уравнениИ Лагранжа), получаем: Аналогичным образом можно поступить и с интегралами, содержа, / дп 1 д щими вариации е~ — ). Переставляя местами символы В и ~дхв/: дхь' будем иметь / [дхь/ 1дхв 7 дй . 1 д д" д(а ) '1) )) (11.15) Первый член этой разности обращается в нуль (так же, как в интеграле по времени), ибо в крайних точках интервала интегрирования от равно нулю. Здесь, впрочем, может возникнуть некотораа трудность, так как размеры рассматриваемой системы могут быть бесконечно большими. Однако при стремлении г к бесконечности т) большей частью быстро стремится к нулю, и поэтому первый член разности (11.15) можно считать равным нулю и в этих случаях.
Кроме того, мы можем поступить формально и вести интегрирование по конечной области, а после опускания первого слагаемого (11.15) можем считать допустпчыми и бесконечные размеры области интегрирования. Таким образом, принцип Гамильтона принимает вид (дхл/ Обращаться в нуль при произвольном от((х„ха, хз, г) этот интеграл может только тогда, когда дт д.,' ' 'МЗха,! дн 1 дт а=с ( дха/ Мы знаем, что в случае системы с а степенямн свободы имеется и уравнений Лагранжа. Поэтому может показаться странным, что для системы с бесконечным числом степеней свободы получено только одно уравнение (1!.1?).
Следует, однако, помнить, что в обычные уравнения Лагранжа нходит только одна независимая переменная— время, а в уравнение (11.17) входят четыре переменные: х,, х„ х, 1. Поэтому уравнение (11.1?) является уравнением в частных производных. Можно смотреть на него как на сумму обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при фиксированных в) Переход от частной производной по хл в (11.14) к полной производной в (11.15) может вызвать некоторые недоразумения. В первом случае частная производная указывает на то, что Ч есть функция не только хю но и б а также других координат. т(то касается второго случая, то в выражении (11.15) мы не можем употреблять символ частной производной, так как зто означало бы, что рассматривается лишь явная зависимость 8 от ха.
Поэтому мы пользуемся здесь символом полной производной, желая подчеркнутьч что эта производная учитывает и неявную зависимость от ха, вносимую переменной т. Так нли иначе, но смысл операций, которые здесь должны быть выполнены, совершенно ясен. 11.2) углвнения .тлгглн:ка для непгееывных систем 375 и, выполняя интегрирование по частям, получаем *): 376 методы ллгглнжл и глмильтонл для нвпгвгывных систвм [гл. 11 дв дяз дхк lдты1 дты ~д[ — ') [ дхк Обозначения, которыми мы пользуемся, станут намного проще, если ввести так называемую функциональную производную к) или вариационную производную лагранжиана Е по т, равную в И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
