Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 78
Текст из файла (страница 78)
дй С1 в' дй ачв дти й дхк 7дчв1 ' к=з д[ — ) [ дхкl Аналогичным образом определяется и функциональная производная Е по т)вз но так как 2 не зависит от гРадиента пРоизводной тои то зг. дй з (11.20) Преимущество функциональной производной состоит в том, что при пользовании ею мы не имеем дела с зависимостью В от производных — '. Так, например, согласно (11.8), (11.12) и (11.15) дхк ' рь ) р — ьв — д — 8,1 — Ь вЂ”.й ~~ )л. 6~ 2~~ у дй - д дй .
дй .. к д~ — Р) дхк ") Функциональная производная Л по я характеризует изменение ь при изменении функции Ч(х) в окрестности данной точки пространства прн условии, что зависимость я от Г остаатся неизменной. значениях х,, х,, хз. Тогда число этих уравнений будет бесконечно велико, что согласуется с бесконечно большим числом степеней свободы. При выводе уравнения (11.17) мы предполагали, что каждая точка системы может совершать лишь один вид перемещения, описываемого величиной т. Однако в более общей задаче, такой, например, как задача о колебаниях упругого тела, будут иметь место перемещения по всем трем направлениям. В этом слу чае будет иметься не одна обобщенная координата, а три, которые мы будем обозначать индексом ~: т[в(хы хз, хю Г), где у' = 1, 2, 3. В более общем случае может быть и не три обобщйнные координаты, а больше, и тогда 2 будет функцией всех обобщйнных координат и их производных по х„ х„ х, т', Каждой обобщЕнной координате т[в(хы хз, х,, 1) бУдет соответствовать одно УРавнение движении, имеющее вид 1 1.2! ггхвнвния ллгглнжл для нвпгвгывных систем 877 где пг' — элемент объема.
Если же пользоваться функциональной производной, то этот результат принимает вид ЗЕ. = ) ~1 ( — 'йт, + — '',г,.)сйl, (11.22) эту О'Ъ что, конечно, проще, чем (11.21), так как здесь не фигурируют дч производные —. Что же касается уравнений (11.18), то через дхл функциональные производные их можьо записать в виде ! Зг. ЬД д! Ьч! Вч. напоминающем обычные уравнения Лагранжа. Следует заметить, что хотя функциональная производная и упрощает некоторые вариационные процедуры, однако она затемняет тот факт, что уравнения движения являются уравнениями в частных производных по х„и по д Кроме того, время выступает здесь как особая переменная, существенно отличная от пространственных переменных, в то время как при выводе уравнений движения мы считали х„ и г равноправными параметрами 8.
Это равноправие переменных хл и 1 немного напоминает специальную теорию относительности. Произведение дх! и!хе с!хз д1 является здесь, в сущности, элементом объйма в пространстве Минковского и, следовательно, инвариантно относительно преобразований Лоренца; если 8 есть некоторый инвариантный скаляр этого пространства, то принцип Гамильтона (11.11) так!ке будет инвариантен относительно преобразований Лоренца.
В ковариантных обозначениях уравнение (11.17) будет иметь вид (! 1.24) дй дО дч — = йт!, д д д', ' ' д(~ ) х и если Е и т, будут скалярами пространства Минковского, то оно будет релятивистски инвариантным. То же самое относится и к уравнениям (11.18), инвариантность которых будет обеспечена, если В будет скаляром пространства Минковского, а тн будут обладать некоторыми характерными особенностями, например, будут составляющими 4-вектора. В качестве простого примера применения полученных уравнений рассмотрим снова продольные колебания длинного упругого стержня. В этом случае 8 будет определяться формулой (11.9), и поэтому будем иметь: дй — =О, дч 373 мвтоды ллгглнжл и гамильтона для нвпгвгывных систем [гл.
11 Следовательно, уравнение (11.17) в этом случае имеет внд ~(ав лз» р — — à — '=О, лгз лаз что совпадает с уравнением (11.?), полученным ранее, Это уравнение описывает распространение волны в одномерном пространстве и для скорости этой волны дает выражение /'у (11.23) совпадающее с известным выражением для скорости продольных упругих волн. ф 11.3. Звуковые колебания в газах. Лля того чтобы проиллюстрировать изложенные методы, рассмотрим задачу о продольных колебаниях газа. Эти колебания образуют так называемое звуковое поле, и уравнение, которое мы получим, будет волновым уравнением распространения звуковой волны.
Перемещение частиц газа будем характеризовать вектором 3 с составляющими тн(1 = 1, 2, 3). Следовательно, каждая точка х, у, з будет характеризоваться тремя относящимися к ней обобгценными координатами. Колебания газа мы будем считать малыми и поэтому давление Р и плотность р будем считать мало отличающимися от их равновесных значений гзо " ро. Если бы рассматриваемая система была дискретной, то нам нужно было бы найти ее кинетическую энергию Т и потенциальную энергию Ъ', а затем образовать разность Т вЂ” )Т=7..
Но в данном случае 7. равно ) ) ) 3 пх г1у и», и поэтому Т равно интегралу ) ) ) ХдхдуИг, а )Т вЂ” интегралу ~ ~ ~ 6Нхду~7г, где л, и 6— кинетическая и потенциальная энергии единицы объЕма. Поэтому наша задача сводится к вычислению разности 3 = Т. — 6.
(11.26) Что касается удельной кинетической энергии Х, то она находится без труда. Учитывая, что мы рассматриваем только малые отклонения от положения равновесия, будем иметь: (11.27) Удельную потенциальную энергию 2) найти несколько труднее. Потенциальная энергия газа является мерой той работы, которую он может произвести при расширении. Рассмотрим теперь массу газа М с равновесным объемом М ч ио ф 11.3) ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ГАЗАХ 379 который мы будем считать достаточно малым.
Тогда с1 можно будет считать постоянным, и потенциальная энергия этой массы газа будет равна бь'о. Пусть затеи этот объем изменяется от (лс до 1' + Жl, Тогда над этим газом будет совершена работа — Рс(17 "). Следовательно, потенциальная энергия газа, соответствующая объему (ге+ М', равна г;ГА (11.27а) Заметим, что, несмотря на малость М', этот интеграл нельзя считать равным — Ре Му, ибо, как мы в дальнейшем унии и -дг.— дим, этот член не оказывает Влияния Рпс.
72. Кривая ээвпспмостп на уравнения движения. Поэтому дав- давлен я гээа от его объема. ление Р(Ъ') будем считать не постоянным, а изиеняюшимся по линейному закону на участке от 1', до М' (рис. 72). Тогда будем иметь Р Ф вЂ” Р 31 + — ( — ) (31 ) (11.28) тдР х Для того чтобы вычислить производную ( — ), обратимся к термо- (,дЬ')в' динамике. Согласно закону Бойля связь между давлением газа и его объемои выражается равенством (11,29) (этим соотношением пользовался Ньютон). Однако в данном случае этим соотношением пользоваться нельзя, так как оно предполагает изотсрлхичесьое изменение состояния газа, в то время как звуковые колебания всегда совершаются так быстро, что температура газа не успевает выравняться. Поэтому сжатие и расширение газа происходят здесь адиабашическп, т.
е. по закону РРп = С, (11.30) где, — константа, равная отношению удельной теп.тоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном в) Быделим на повертноств газа элемент дА. т(ействующая на него внешняя сила равна РдА и направлена внутрь объама Гтс. Но так как при расширении газа этот элемент движется в направлении наружной нормали и перемещается ва величину дх, хо внешние силы совершают при эхом работу — Р дА дх = — Р д'у'. 380 методы ллгглнжл и гамильтона для ннпвагывных систнм (гл.
11 Объединяя теперь равенства (11227а), (! 1.28), (11.31) н (!!.32), получаем следующее выражение для 6: д) =Рве+ — з . тРо г 2 (11. 34) Теперь нам нужно выразить е через т), Рассыотрим для этого некоторый фиксированный объем пространства. Масса газа, выходящего нз этого объема при небольшом нарушении равновесия, ранна !'а) ) УА, где с(А — элемент поверхности, ограничиваю!пей этот объем. Но так как эта масса должна равняться объемному интегралу 1 (й — йз) гу!' то должно выполняться равенство йо ~ з с1)г = йа ~ тт ' с(А (11.35) которое можно записать также в виде Так как последнее равенство должно быть справедливо для любого объйма, то мы приходим к соотношению **) а= — т т).
(11.36) Таким образом, мы окончательно получаем: 6 = — Рор т)+ 2 (р т))'. (! 1.37) а) Вывод этой формулы см., например, в кяиге; Ы. Ф. Еешапзку, Неат апб Тйеппобупашшз, Ысйгатч — НШ, гл. Ч1. "*) Равенство (!1.3б) можно записать в виде и = — 'т' ив что представляет обычное уравнение неразрывности газового потока. объйме в). Следовательно, искомая производная равна (11.31) бр/з Изменение объбма газа пелесообразно выразить через соответствующее изменение его плотности.
Так как )г= т)т1й, то м!ь — !' Оз Ы (1!.32) ива где з — относительное изменение плотности, определяемое формулой !ь = йо(! -т- з) (11.33) 381 звгковыв колавлния в глзах откуда видно, что >9 = рв>)> дчг д (т. в) о, ' — — 2 (7 ° т]) епг (11.39) Из равенств (11.39) следует, что член 2Р„7 ° т) не влияет на уравнения движения. Поэтому мы его теперь опустим и будем писать 8 в виде д — 2!Рот>' Т' о(7 ' т)) 1 ! (! 1.40) Получающиеся отсюда уравнения движения имеют вид что эквивалентно векторному уравнению ре — — ТРо77 т) .= 0. дав дгз (11,42) Физический смысл полученного уравнения становится более ясным после умножения обеих частей его на оператор 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
