Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Учитывая, что 7 ° и= — а и 7 ° 7 =7а, Из равенства (11.33) видно, что первое слагаемое выражения (11.34) не влияет на величину полной потенциальной энергии. Для доказательства возьмем поверхность, охватывающую весь рассматриваемый газ. Тогда правая часть равенства (!1.35) обратится в нуль, так как газ не выходит за пределы этой поверхности. Но отсюда следует, что интеграл ~ ег(!Г, взятый по всему объему газа, также будет равен нулю и, следовательно, не войдет в Л.
Следует, однако, заметить, что это обстоятельство не является еще достаточным для того, чтобы опустить первое слагаемое формулы (11.37), так как если судить априори, то это слагаемое, возможно, оказывает влияние на уравнения движения. (Напомним, что равенство нулю ковариантного гамильтониана не означает, что он не оказывает влияния на уравнения движения.) Поэтому мы не будем пока отбрасывать этого слагаемого.
Удельный лагранжиан Я можно записать теперь в виде 2 = — !нет)'+ 2Р„7 ° т) —; Р„(7 ° т))'1, 1 382 методы ллгглнжь и гамильтона для нвпгвгывных систем [гл. 11 получаем: мю дю» ьюю О трю дм (11.43) Легко видеть, что это есть обычное уравнение трехмерной волны, распространяюпгейся со скоростью (11.44) Таким образом, мы получили известное выражение для скорости звука в газе. Этим заканчивается решение задачи о составлении уравнений Лагранжа для звуковых колебаний в газе.
(11.45) и поэтому гамильтониан этой системы будет равен или Н= ~ а ( —.' »н — Е;). (11.46) В пределе же, когда а -+ О и Еь -+ 8, эта сумма переходит в интеграл Н= 1 (х( —.',— 8). дО дч (11.47) Из равенства (11.45) видно, что когда а стремится к нулю каждый импульс рь тоже стремится к нулю. Поэтому мы введам так называемый уоельныл импульс и, определив его равенством д0 Эч ' Кроме того, введем понятие удельного гамильтониака, понимая под ним величину ф =пт,— 8. (11.48) Я 11.4. Уравнения Гамильтона для непрерывных систем. Уравнения Гамильтона для непрерывных систем можно получить методом, подобным тому, который применялся в главе 7 для дискретных систем. Для простоты начнем с системы, рассмотренной в ф 11.1 и состояшей из материальных точек, отстояших друг от друга на расстоянии а.
Каждой обобшенной координате тл будет соответствовать канонический импульс дб дЕ» дт» д»л ~ 11 41 уРАВнения РАмильтонл для непРеРывнык систем 383 Тогда интеграл (11.47) будет интегралом ) р г1х, и ясно, что в случае трехмерной системы с несколькими обобщйнными координатами мы будем иметь аналогичную формулу Н = ~ ~ ~ ф дх, дх, г1ха = ~ ~ ~ (~~ клтм — 3 ) дх, а'х, аахм (! 1.49) где дй ЕЕ (11.50) "г даь' Канонические уравнения движения могут быть получены с помощью той процедуры, которая применялась нами в 3 7.1.
Мы будем считать, что ф есть функция обобщенных координат тл(хн 7), д;,. удельных канонических импульсов .В(ХГ, 1), производных — ' и, дх возможно, времени Г. Тогда будем иметь дн= ~ ~ ~ ~(~~~~ д,„+ дю ди„+'» "," д( —,"')~+ ! А дх.
+ фд()(г1Х, ахег(ха. Написанный здесь интеграл немного напоминает тот интеграл, с которым мы встречались в принципе Гамильтона в форме (11.13). Поэтому интеграл дхд мы будем, как и там, брать по частям. При этом получим два слагаемых, первое из которых можно считать равным нулю, так как область интегрирования может быть взята настолько большой, что на ее границе т~ и Ю будут обращаться в нуль. В результате ФН можно будет записать в виде + д ог1 ох~ г(хе ИХВ (! 1.51) или, пользуясь функциональной производной (11.19), в виде г1гт' = ~ ~ ~ ~ ~~ ( —. дтм+ —. Е(ие) + д дГ~ с(х, дхе дх (11,52) * (В 384 методы ллгглнжл и глмильтонл для непгвгывных систем [гл.
11 (так как р не является функцией пространственных производных от пь). Следует заметить, что подобное интегрирование по частям и последующее введение функциональных производных (11.19) возможно во всех случаях, когда вычисляется изменение величины, дяь дяь плотность которой зависит от производных — или — , дх ' дху ' Вспомним теперь, что согласно (11.49) с(О равно во ве ~ ~~Я ~(' в г!тм+ ты "пе ° г!тм, дт1е) ! ь Ом еге — дГ "!) дх1 дха аха (11.53) д3 Но крайние члены суммы, стоящей в круглых скобках, очевидно, уничтожаются, что видно из равенства (11.50), определяющего пы Кроме того, согласно уравнениям Лагранжа (1!.23) ел д вг.
'Чь дт авь Следовательно, равенство (11.53) можно записать в виде Г (ъ-з ° д8 гУг'= ) ~ ) !'~у ( — яьг(тм+т1„дяь) — д г((~дх,дхадх,. (!1.54) ! а Сравнивая теперь уравнения (11 54) и (11,52), мы получаем систему уравнений аи во па ==т)ь (11. 55) звь "ял и тождество дт дт Уравнения (1!.55) являются аналогами обычных уравнений Гамильтона и справедливы для произвольной непрерывной системы. Выражая их через удельный гамильтониан р, получаем: дх. В этой форме они в отличие от формы (1!.55) являются несимметричными (так как р не является функцией градиентов величин яь).
В качестве простого примера применения этих уравнений рассмотрим опять звуковые колебания газа. Величины пл будут здесь, очевидно, равны й 11,4! теавнвния гамильтона для нипеигывных систем 385 что можно записать в виде векторного равенства тт = ро'6 Поэтому удельный гамильтониан р будет в этом случае ранен ,ф = . т) — 9 = — "+ — "(т ° т1)е 21 я 2 (см. уравнение (11.40)).
Отсюда видно, что 9 равно (11.57) р = 'а+3, яе та= па= — — (Р "т '5). ро' и Лха 0 Совокупность этих двух систем эквивалентна уравнениям (11.4!). (Первая из этих систем лишь повторяет равенства, выражающие величины:тл.) Ббльшую часть формальных результатов, полученных нами ранее в связи с уравнениями Гамильтона (теоремы о сохранении, скобки Пуассона и т. д.), можно легко распространить и на случай непрерывных систем. Например, модифицированный принцип Гамильтона будет теперь иметь вид 2 ) / ~ (~хо нда — й) г(х, г(хаггха ге(= О.
(11 58) ! а В качестве другого примера рассмотрим теорему о сохранении, а именно теорему о сохранении самого гамильтониана. Полная проло неводная — равна а'г что согласно уравнениям (11.55) можно записать в виде а) Мы опустили член, линейный относительно р Ч, так яак было показано, что он не оказывает влияния на полную энергию. т.
е. равно сумме удельной кинетической и удельной потенциальной энергий. Поэтому р в данном случае есть просто удельная энергия "). Таким образом, канонические уравнения данной системы будут иметь вид: 386 методы ллгллнжл и глмильтонл для нвпгвгывных систем [гл. 11 Таким образом, Н будет постоянным тогда, когда р (или Н) не является явной функцией 1. Рассмотрим теперь какую-либо функцию О, не зависящую явно от ( и имеющую вид интеграла О=ЩЕ (х, (х,ах,. Полная производная ее по времени будет равна ( —.
тл + — ° л) в~юг дхз г1хз что с помощью уравнений движения можно записать в виде ДО [ 1 1 жлГЗО ЬН ЗО ЬНт По правая часть этого равенства является очевидным аналогом скобок Пуассона [О, Н[ [см. равенство (8.42)[; суммирование по обобщенным координатам заменяется здесь интегрированием по «непрерывным номерам» лы х„х, и дискретному индексу и. Поэтому можем написать — =[О, Н), «'О а в случае, когда О будет явной функцией г, мы, очевидно, получим — = [О, Н[+ —, «'О аа лг дг ' что совпадает с равенством (8.58).
Следовательно, если О не является явной функцией 1 и скобки Пуассона [О, Н[ обращаются в нуль, то О будет сохраняться постоянным. Заметим, что этот результат справедлив и тогда, когда Ф есть функция пространственных производных г или -., что видно из проведенного доказательства. Таким образом, теоремы о сохранении можно получить здесь тем же методом, что и в обычной теории.
Между интегральными константами движения и свойствами симметрии системы также имеется известная нам связь. Однако следует подчеркнуть, что, кроме этих «микроскопических» констант движения, имеются еще и «микроскопические» теоремы о сохранении.
Эти теоремы относятся не к интегральным величинам, а к дифференциальным, т. е, к плотностям. Например, можно получить теоремы, выражающие свойства неразрывности внутреннего потока энергии, количества движения и кинетического момента. К сожалению, мы не можем останавливаться на этих вопросах и отсылаем интересующихся читателей к литературе, приведенной в конце главы. 11.6] описание полей с помощью вквнкционных пгинцнпов 387 ф 11.5. Описание полей с помощью вариационных принципов.
Методы, изложенные нами в предыдуших параграфах, были развиты для исследования непрерывных механических систем, например упругих тел. Однако эти методы можно использовать н для получения уравнений поля, так как с математической точки зрения поле представляет одну или несколько независимых функций от х и 1, и их можно рассматривать как обобщенные координаты т(1(лы хе ха !), Заметим, что некоторые поля, встречающиеся в физике, можно действительно связать с движением некоторой непрерывной среды.
Таким является, например, звуковое «поле», связанное с продольными колебаниями частиц материальной среды. Точно так же электромагнитное поле долгое время связывалось с упругими колебаниями неведомого эфира, и лишь в последнее время стало ясно, что эфир играет лишь роль объекта, к которому относятся слона «передавать возмущение» (по выражению С. Л.
Квимби). Вели вариационные методы, изложенные в предыдуших параграфах, не связывать с понятием непрерывной механической системы, то онн могут служить для получения уравнений пространственно- временного поля. Принцип Гамильтона будет тогда служить компактным выражением свойств этого поля. Так как удельный лагранжиан мы не будем теперь связывать с определенной механической системой, то он не обязательно должен быть равен разности удельных энергий- — кинетической и потенциальной. Вместо этого мы можем взять для 11 любое выражение, приводящее к нужным уравнениям поля. рассмотрим, например, поле, возникающее при звуковых колебаниях газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
