Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Так, например, уравнения (10.65) можно рассматривать как относящиеся к п электрическим контурам, взаимодействующим друг с другом. Тогда коэффициенты )г,~ будут играть роль соответствующих электрических Емкостей, коэффициенты Я,~ †ро сопротивлений, а коэффициенты 7;" — роль индуктнвностей. Возмущающие силы Ре~е-г ~ заменятся тогда электродвижущими силами с частотой ы, приложенными к одному или нескольким контурам, а уравнения (10,74) будут играть роль уравнений (2.39) главы 2. ЗОУ зАДА'ш Изложенные нами здесь методы представляют лишь часть тех методов, которые применяются при исследовании малых колебаний.
Однако дальнейшее исследование этого вопроса скорее относится к теории взаимодействия электрических контуров, чем к механике. Вместо этого мы обратим наше внимание нв теорию колебаний непрерывных систем. Исторически переход от дискретных систем к непрерывным (осуществлйнный Рэлеем и другими) был сделан для исследования колебаний струн, мембран и бадок. Другим примером непрерывной системы может сдужить одна или несколько величик, являющихся функциями х, у, г и 1 — другими словами, переменное поле. Поэтому методы изучения непрерывных механических систем могут быть применены и к изучению полей, например к электромагнитному полю.
В современной теоретической физике эти методы приобрели важное значение при квантовом исследовании полей элементарных частиц, обнаруженных в последнее время в большом количестве. В следующей главе мы кратко изложим основные вопросы классической механики непрерывных систем. ЗАДАЧИ 1.
Определите главные колебания двойного маятника, нзображбнного на рис. 5, считая длины его нитей равнымн, а массы различными. Покажите, что если нижняя масса мала по сравнению с верхней, то собственные частоты этой системы почти одинаковы.
Рассмотрите случай, когда этот маятник приводится в движение посредством небольшого отклонения верхней массы от вертикали. Покажите, что в дальнейшем амплитуда каждой из его масс будет периодически уменьшаться до нуля, а амплитуда другой будет достигать при этом максимума (гбнениеэ). 2, Для сведена задачи о линейной трйхатомной молекуле к двум степеням свободы можно ввести координаты уг = хэ — хт, уэ = хэ — хэ и исключить хэ с помощью условия о неподвижности центра масс. Получите частоты главных колебаний в этих координатах и покажите, что они совпадают с полученными в й.10.4.
(Расстояния уг и уэ называют внутренними координатами молекулы.) 3. Пусть средний атом молекулы, рассмотренной в 5 10.4, будет связан с началом координат пру»,иной жбсткостью я. Найдите частоты продольных колебаний этой системы и покажите, что в этом случае не будет частоты м = О. 4. Молекула состоит из трах одинаковых атомов, расположенных в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника и связанных пружинами равной жбсткости. Получить детерминант векового уравнения, определяющего частоты еб плосних колебаний. Преобразуя столбцы этого детерминанта, покажите, что он имеет трйхкратный корень м = О, н найдите остальные его корни. 5.
Пусть молекула, указанная в залаче 4, совершает одно из следующих движений: а) равномерное поступательное движение в направлении осн х, Ь) равномерное поступательное дви ение в направлении осн у, с) равномерное вращение вокруг оси ж Покажите, что в каждом из этих случаев удовлетворяются уравнения ед движения. 6. Покажите, что если возмущающие силы Ог не являются синусоидаль.
ными н демпфирование отсутствует, то главные колебания определяются (гл. 10) МАЛЫВ КОЛПБАНИЯ формуламн = ) я ам, 1 ( Ог (««) 2п .~ м! — «« где Ог(м) связано с Ог преобразованием Фурье Ог(!) = — ~ О (м)е ' 'б . Т 2я Покажнте также, что если дисснпативная функцня диагоналнзируется одновременно с Т н )г, то вынужденные колебания определяются форччлой с 2 Ог (м) (из — ««+ 1««$!) ~' 2я .! (м, — ««э)з+ мт$з (Знаменатель написанной дроби имеет типичную «резонансную форму«. Эп! формулы могут служить иллюстрациен эффектнвностн операторного исчисления прн научении переходных процессов в линейных системах.) 7. Точка двяжется по круговой орбите под действием силы, направленной к центру этого круга. Исследуйте движеняе этой точки после небольшого начального возмущения, введя для этого разностные координаты р =г — г« н Т = 0 — мй где га†радиус круговой орбиты, а «« — углоная скорость установившегося движения.
Выразите Т и (г в этих координатах, пренебрегая членами выше второго порядка малости относительно р и в. Получнте таким способом уравнения движения н выведите условия устойчивости первоначального движения. Покажите, что еслп 1г пропорционально г-мэг, то оно будет устойчивым лншь пря пс, 3. Покажнте также, что одяа нз частот полученного возмущйнного движения равна нулю (что соответствует переходу на новую круговую орбиту). Рекомендуемая литература Н. Маг не п а н апд О.
М. М и гр Ь у, Тпе Ыарпешзпсз о! РЬуз!сз зпб СЬеш!э!ту. Глава 9 этой книги содержит краткое введение в теорию малых колебаний, а глава 1Π— математическае основы матричной алгебры. Метод изложения несколько отличается от нашего, но так же широко применяется матричная алгебра. Л. О.
1ЧеЬз!ег, Рупап!!сз. Глава ч' втой книги содержит немного устаревший метод нзложення теории колебаний, однако она может оказаться полезной при изучении систем с рассеиванием энергии. Кроме того, здесь хорошо изложены вынужденные колебания и вопросы перехода к непрерывным спстемам. Наиболее ценными являются сведения, изложенные в конце книги, где коротко рассматриваются квадратичные формы н преобразования к главным осям.
При изложения вопроса об одновременной диагонализацип матриц Т н 1г автор не пользуется матричной алгеброй, но успешно преодолевает трудности, связанные с наличием кратных корней. Е. Т. %'Ь 1 1 !ай ег, Апа!уйса! Оупаш!сэ. Глава Н!! этой книгп посвящена теорнн колебаний, н здесь дайтся чйткое доказательство того, что матрнцы Т и У могут быть днагоналнзированы одновременно. Этот вопрос изложен здесь значительно яснее, чем в книге Риком вид>'вь>ля д!>твглт> Рл 369 Вебстера. Наиболее цепными являются последние параграфы этой главы посвященные влиянию связей и колебаниям вблизи режима установившегося движения.
Г> 94 главы У1Н посвящен колебаниям прн наличии диссипативных снл и содерж>ж изложение этого вопроса лишь для систем с двумя степенямн свободы, Л1. Во с Ь е г, !пцобпсйоп !о Н!ййег Л!яеЬга. Глава ХП1 этого курса посвящена диагоналпзацни квадратичных форм с помощью метода, подобного изложенному у Вебстера и Уитте>сера. Представляют также шперес первые главы этой книги, где излагается вопрос о решении систем линейных уравнений. Э. Т! и> оэ Ь си К о апб Э. Н. Т о вид, Лбчапсеб 1>упав>!сз. Эта книга является инженерным учебником, и общая теория пззо.кена в ней довольно элементарно. Однако колебания систем с двумя и тремя степенями свободы изложены подробно, и многие нз рассмотренных примеров полностью решены.
Эти сравнительно простые системы дают ясное представление о таких понятиях, как главные колебания, резонанс н т. д., что часто остабтся менее ясным при абстрактном изложении. В книге рассмотрены также некоторые специальные вопросы, такие, ьак приближенное решение векового уравнения, илп теория малых колебишй системы вблизи установившегося режима движения. Ьогб й а у1е!д Ь, ТЬеогу о1 Яоппс1. Эта монография является одной из классических книг по физике.
В ней содерж>итси много теорем н различных примеров по всем вопросам теории колебаний, ббльшая часть которой была развита самим Рэлеем (в частности, введение диссипатнвной функции). Изложение ведбгся последовательно и ясно и, кроме того, излагаются некоторые редко рассматриваемые вопросы, такие, например, как влияние связей и некоторые свойства собственных *щстот. Как н Вебстер, Рзлей опирается на работу Рауса, который в трудах адбашз Р>1зе Ешау,э 1877, и э!!!д!б Пупаш!сзэ впервые дал снстенаткческое язложение теории малых колебаний.
Е. А. 0 н >1!е и> ! п, ТЬе Ма1Ьеша!1сз о1 С!гоп!! Апа1уэ!з. Эта книга убедительно доказывает важность теории малых колебаний в современной электротехнике. Значительное внимание уделяется в ней квадратичным формам и преобразованиям к главным осям. Изложение вопросов, связанных с использованием матричной алгебры, проводятся на высоком уровне и отличается изяществом. О, Негз Ь е г я, !пйагеб зпб !!ашап прес!га о1 Ро!уа!ош!с Мо!есп1ез. В книге имеется много примеров применения классической теории малых колебаний к вопросам строения молекулы. В ней подробно рассмотрены вопросы об использовании констант дни>кения и свойств симметрии пря решении задачи о колебании систем с большим числом степеней свободы, что уменьшает трудносп>, связанные с решением векового уравнения в этом случае, В книге рассматриваются многие модели молекул н да>отса соответствующие решения, иллюстрируемые кривыми различных главных колебаний.
ГЛАВА 11 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ И ПОЛЕЙ Все рассмотренные методы механики справедливы лишь для систем с конечным или счвтным числои степеней свободы. Однако известны механические задачи, связанные с исследованием непрерывных систем, например задача о колебании упругого тела. Здесь мы имеем дело с непрерывной системой, каждая точка которой принимает участие в колебаниях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
