Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Мы видели, что циклическая координата отсутствует не только в Е, но и в Н. Поэтому теоремы о сохранении обобщенных импульсов, полученные нами в 9 2.6, можно было бы вывести не из уравнений Лагранжа, а из уравнений Гамильтона. Это относится и к тем соображениям о симметрии системы, которые были высказаны нами в главе 2. Пусть, например, некоторая система будет симметрична относительно фиксированной оси. Тогда можно будет сказать, что функция Н инвариантна относительно вращения вокруг этой оси и поэтому не может содерв<агь угла поворота.
Следовательно, этот угол является циклической координатой, и поэтому соответствуюпций еМу кинетический момент будет оставаться постоянным. О физическом смысле Н мы уже говорили в 9 2.6. Там было показано, что если Е (а согласно уравнению (7.13) также и Н) не является явной функцией Е то Н есть некоторая постоянная движения. Этот результат можно получить и непосредственно из уравнений (7.12), вычисляя с их помощью производную л!М да~ ' ' длз (7.18) Подставив сюда д! и р; из уравнений (7.12), получим: Отсюда дН дН дг.
дз д) дз' (7.!9) т. е. ие будет содержать циклических координат и их производных. На этом основании уравнения (7.!7), определяющие нециклические координаты, можно решать, не рассматривая вопроса о поведении циклических координат. Следовательно, мы здесь имеем такое же положение, как в уравнениях Гамильтона. Таким образом, метод Рауса можно рассматривать как основанный и па методе Лагранжа и на л1етоде Гамильтона (хотя частичное применение метода Гамильтона является менее естественным, чем полное его использование). 1гл. 7 гвлвнвния глин:и тонл Кроме того, в Э 2.6 было показано, что если потенциал це зависит от скорости, а уравнения гОл= гОХ(Ч„..., Ч„, ~), Н=..
У т- 1г(г), а Т будет равно 1 Т =-'= —,— тиа = — гв (га -1 геР). 2 2 Чтобы получить теперь уравнения Гамильтона, нужно выразить Н через обобщсвные импульсы, соответствующие координатам г и 1д Обобщйнные импульсы будут, очевидно, иметь следующие выражения; Р„= — Онпг = ГЧГ, Ра — — - тгт ~ --=- О1г'"'1. Отсюда следует, что г ==. —, Рг ГО Ра Огга и, следовательно, Таким образом, мы получили гамильтониан, не составляя сначала лагранжиана.
В данном случае мы будем иметь четыре уравнения Гамильтона. Два первых из них будут иметь вид: дН р дН Ра 0= — = —, дрг гл ' др, гага описывающие переход к обобщенным координатам, не содержат явно ~, то Н есть полная энергия Т+ 1г. (Эта теорема верна и в релятивистской механике; см. Э 6.5.) Следует, однако, иметь в виду, что условия, когда Н является некоторой постоянной и когда Н является полной энергией, не тождественны, ибо может случиться, что уравнения (1.36) будут содержать явно время, а Н не будет его содержать.
В этом случае Н будет некоторой константой движения, но не будда полной энергией. Во многих задачах механики выражения для обобщенных импульсов легко получить непосредственно из физических соображений. Если, кроме того, гамильтониан будет при этом полной энергией, то можно будет избежать многих формальных процедур, нужных для составления уравнений движения.
рассмотрим простой пример. Пусть требуется составить уравнения движения точки, находящейся в поле центральных сил. Функция Н будет тогда полной энергией () 7.5) твогвмы о сохглнвнии и еизичвский смысл глмильтонилнл 245 и не дадут нам ничего нового; два других запишутся в виде: дН Р1 д1г Р дг гага дг т. е.
будут совпадать с уравнениями (3.7) и (3.10). В качестве другого примера того же рода рассмотрим релятивистский гамильтониан частицы, потенциал которой не зависит от скорости (см. й 6Л). В данном случае гамильтониан также будет равен полной энергии, и поэтому можно будет написатгс Н= — Т-)-'г', где кинетическая энергия Т должна быть выражена через количество движения Р, что легко сделать с помощью равенства (6.44), согласно которому Тз = рясе+ шаг~.
Таким образом, будем иметь Н ~/ рзг2+ щзса ) 1/ (7. 20) Введение в метод Гамильтона потенциалов, зависящих от скорости, ие представляет никаких формальных трудностей, однако при этом априори не ясно, является ли Н полной энергией. Мы рассмотрим здесь лишь тот частный случай, когда действуюп1ие силы являются электромагнитными.
Лагранжиан (нерелятивистский) точки, движущейся в электромагнитном поле, имеет вид лшз 1.= —,— г)?+ — А ть 2 с Отсюда следует, что обобщйнные импульсы этой точки равны Р; = — шог+ — Ао Ч (7.21) Далее, по определению Н [см. уравнение (7.8)) имеем: Н Р и 7 шоз+ — 4 о — (. ъз е или Н = 2 — (гэ - - — А) + д'г. (7.22) Таким образом, гамильтониан равен в данном случае полной энергии частицы. Выраженный через обобщйнные импульсы (7.21), он будет иметь вид (гл 7 уРАВнения >'Амильтонз Аналогичный результат получается и для релятивистского гамильтониана частицы, движущейся в электромагнитном поле. Обобщйнные импульсы (6.52) будут здесь, так же как и в классическом дА> случае, содержать дополнительные слагаемые — ', которые в конечс ' ном счете исчезнут вследствие сокращения членов с векторным потенциалолн Поэтому гамильтониан здесь опять будет равен полной энергии Н= Т+.>)г>.
Для окончательного вычисления гамильтониана заметим, что четвйр- гН тая составляющая 4-импульса (слн уравнение (6.58)) равна здесь —, е ' а релятивистская кинетическая энергия может быть выражена равенством (6.59). Поэтому Н будет в данном случае иметь вид Н==1 (р — ~ — > ге+и>ге>+г)э. с ) (7.23) Интересно сравнигь галны>ь>оннапы (7.22) и (7.23) с соответствующими гамильтонианами в случае потенциалов, не зависящих от скорости. Если потенциал )г не зависит от скорости, то Н равно Н.=,Р'+ М, 2т а соответствующие восемь уравнений движения будут иметь вид: дН' ~х> дби дрл др> дт ' дх>, ду ' (7.25) где т — масса частицы.
Отсюда видно, что для того, чтобы эта формула совпадала с формулой (7.22), достаточно заменить >г на >>т, а импульс р на р — — А. Точно таким же путеи можно образос вать релятивистский гамильтониан (7.23) из гамильтониана (7.20); этот способ часто применяется в квантовой механике. Гамильтонианы (7.20) и (7.23) являются релятивистскими лишь в том смысле, что они приводят к правильным релятивистским уравнениям движения. Однако они не являются ковариантными.
Ковариантный гамильтониан Н' можно полу шть, применяя преобразования Лежандра к ковариантному лагранжиану 7.', рассмотренному в предыдущей главе. При этом вместо времени г следует пользоваться инвариантным временем -. и вместо обобщенного 3-импульса рассматривать обобщенный 4-импульс. В релятввистскнх обозначениях ковариантный гамильтониан частицы запишется в виде Н' = р„ил — 1.', (7,24) Э 7.3) твоввмы о сохглнгнии и фили щский смысл глмильтонилнл 245 В частном случае, когда действующие на частицу силы являются электромагнитными, лагранжиан Г равен 1 7, = — !ггигггг + — Агиг 2 с !сьг, уравнение (6.57)), а соответствующие импульсы равны р, =.— ти„.+ — А, и с )с44.
уравнение 16.58)). Тогда согласно 17.24) будем иметь ! д ! И =-ти,иг+ — А;и; — -;- тиги; — — — Аги, = — — ти,ию с''' 2 ' '' с 2 или, вводя скгда гг„полу4гаехг (7.26) Если пользоваться полученным ковариантным гамильтоннаном, то пространственная часть уравнений 17.25) приведет нас, очевидно, к пространственным уравнениям движения, Однако, кроме того, появятся еще два уравнения, получающиеся при ),= 4. Одно из них устанавливает тот факт, что р, пропорционально полной энергии. Действительно, полагая в первом уравнении(7.25) ), = — 4, будем иметь: гт дН' 14 с = — сс, с~ +7') с' г'Е Этот результат уже отме~галса нами ранее.
Другое из этих уравнений лгожно записать в виде 1 др4 1 дН' или дН,е дН' ")4с 1 32 дг ' дг Но из сравнения форлгул 17.26) и 17.23) следует, что дН' 7' дгН дс тса сгг ' и поэтому предыдущее равенство принимает вид дН дН дс дс' что мы уже имели раньше в равенстве (7.19), (гл. 7 УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНЛ Ковариантный гамильтониан, так же как ковариантный лагран>киан, можно образовать только в том случае, когда потенциалы всех действующих сил выражаются ковариантным образом. Мы знаем, однако, что это возможно не всегда и что в настоящее время электромагнитные силы представля>от единственный простой пример, когда ковариантная формулировка оказывается возможной.
Таким образом, мы видим, что принципиально релятивистская механика также может быть построена на основе метода Гамильтона. Однако для упрощения изложения мы большую часть последующих рассуждений будем проводить в рамках нерелятивистской механики. ф 7А. Вывод уравнений Гамильтона из вариационного принципа. Мы знаем, что уравнения Лагранжа являются следствием вариационного принципа Гамильтона (см. э 2.1).
Более того, вывод уравнений Лагранжа из этого принципа имеег определенное преимущество, так как он применим и к системам, выходягцим за рамки обычной механики. Поэтому целесообразно найти такой вариационный принцип, который приводит непосредственно к уравнениям Гамильтона. Мы увидим, что это можно сделать с помощью обь>чного принципа Гамильтона (7.2?) если воспользоваться равенством (?.8) и выразить в нем 7, через гамильтониан О. Проделав это, мы вместо равенства (7.27) получим и (7.28) или (7.28') Равенство (7.28) иногда называют жобифипи?>званным принципом Гамильтона.
Мы будем пользоваться им главным образом в связи с каноническими преобразованиями (см. гл. 8), сейчас же мы покажем, что этот принцип приводит к уравнениям движения в форме Гамильтона. Фигурируюгцая в равенстве (7.28) о-вариация была рассмотрена нами в 9 2.1. Термин «вариация интеграла» мы там понимали в смысле изменения интеграла при изменении траектории изображающей точки в пространстве конфигураций. При этом начальная и конечная точки такой траектории оставались неизменными (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
