Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Следует заметить, что р4 не равно здесь просто П~с, как в случае отсутствия сил (см. уравне- ") Следует заметить, что правая часть равенства (6.66) является постоянной величиной, равной — —,сз. Однако зто не является тля нас существен- 2 ным, так как лля нас важно только то, что функциональная зависимость ь' от и, обеспечивает получение нужных нам уравнений. Но зто означает, что выражение (6.56) не является елннственио возможным.
Действительно, ь' может иметь внд ту(и.,и.,), где у (х) — некоторая функция, удовлетворяющая условию 1 74 ( — сз) = +— 2 ( у" означает частную производную — ) . В формуле (6 56) мы полагалну (и.,и,,) = дУ'4 дх)' 1 = — и,,и„однако можно было бы выбрать и зависимость 2 / (и„и,) = — с гг — и,и„ получающуюся непосредственно из (6.48), если переменную интегрирования т заменить на -.. 232 (г.т.
6] СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТИОСИТЕЛЬНОСТИ ние (6.43)1, а имеет вид л где г р = — + — = — Е 4 — с с с где С вЂ” полная энергия, равная Т+ (тс. Таким образом, обобщйнный импульс, соответствующий временной координате, пропорционален здесь полной энергии. (С подобной связью мы встретимся позже в нерелятивистской механике.) Соотношение ментду пространственными составляющими количества движения и кинетической энергией Т может быть здесь получено тем же путем, каким было получено равенство (6.44). Пространственная часть равенства (6.58) может быть записана в виде ОА; ти,=рт — — ', е откуда оАУ тли,и, =- — т с = (р --- — ) —— с) сз и, следовательно, А ля тг=(р д ) сг тг 4, с) (6.
69) На основании изложенного в этой главе может возникнуть мысль, что каждому построению классической механики однозначно соответствует определенный релятивистский аналог. Однако это не так. Например, мы уже отмечали те трудности, которые возникают в релятивистской механике в связи с гравитационными силами, а также друггими силами «дальнодействия».
Кролле того, ретятивистское преобразование Лоренца относится лишь к равномерно движущимся системам и потому не моисет быть применено к системам, двинтущимся ускоренно, таким, например, как вращающиеся систел1ы координат. Переход к этим системам может быть сделан в специальной теории относительности лишь с трудом.
Точно так же в релятивистскую механику трудно ввести представление о связях, ибо связи должны в этом случае выражаться посредством инвариантов Лоренца. Но в случае, например, свяаей твардого тела это требование безусловно не выполняется, так как условия этих связей содержат только пространственные составляющие 4-векторов, определяющих частицы твйрдого тела. Следовательно, вся диналтика твердого тела не имеет соответствующей релятивистской аналогии.
ЗАДАЧИ 1. Локантите закон Эйнштейна для сложения двух параллельных скоростей (формула (б.20)). (Доказательство это проще всего получвть, рассматривая два последовательных преобразования Лоренца кал последовательные Повороты В ПЛОСКОСТИ ХаХ4). задачи 2. Получите преобразование Лоренца, в котором скорость образует с осью бесконечно малый угол М, применив для этого к (6.!5) преобразованне подобия.
Покажите с помопьью непосредственной проверки, что полученная матрица является ортогональной и что обратная ей матрица получается посредством замены о на — о. 3. Релятивистский закон сложения скоростей можно получить и другим ттутдм, если учесть, что вторая скорость получается из пространственных составлвощих 4-скорости, которые мо;кно преобразовать к начальной системе посредстном формул преобразование Лоренца. Пусть вторая система движется относительно первой со скоростью о', направленной вдоль оси е, а третья система движется относительно второй со скоростью о", каправленпой произвольным образом.
Показать, пользуясь указанным методом, что скорость, с которой третья система двиэкется относительно первой, определяется равенствами; [Г~ .,г ['! чиг !+; "„ „е '[/~ чуг )+ Ь'э." .„и ![/! .лг ,I ,э 2 Если скорость ои представляет изменение скорости о' в течение бесконечно чалого нремеии вследствие ускорения а, то этот вывод можно интерпретировать как вращение осей с углоной скоростью о' Х а мт = Это явление имеет важное значение в атомной физике и известно под названием прецессии Томаса.
5. Рассмотрите уравнение (6А6) и покажите, что сила параллельна ускорению только в том случае, когда скорость и ускорение параллельны либо перпендикулярны друг к другу. Проверьте для:тих случаев формулы (6.47). 6. Исходя из преобразования 4-ускорения, покалсите, что связь между ускорением а и ускорением а' относительно системы, в которой скорость точки в данный момент равна нулю, выражается формулами: / г / аа ау аэ :г ' ! йг ' ' (! „.г)чл' причбм ось е выбрана в направлении относительной скоростк. и и где,' =- о,/с и т. д. [Если вектор оч направлен вдоль оси е, то последняя из этих форчуз совпадает с формулой (6.20).) 4. Рассмотрите движение, описанное в задаче 3, в случае, когда вектор от леэкит в плоскости лх и весьма мал по сравнению с векторолт о'.
Покажите, что оси л и лэ будут казатьсв непараллельнычи (несмотря на то, что они направляются параллельно оси е'), показан, что относительная скорость двух систем будет казаться образующей разные углы с осями е и г". Покажите также, что угол между этими осями будет ранен 234 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ !гл. 61 7. В,""-распаде, рассмотренном в задаче 1 главы 1, масса электрона соответствует энергии покоя 0,511 Меж а масса нейтрино равна нулю. Каковы здесь полные энергии, уносимые электроном и нейтрино? Какая часть массы ядра переходит в кинетическую энергию (включая энергию покоя электрона)? 8. Мезон массы к, находящийся в состоянии покоя, распадается на мезон массы И и нейтрино нулевой массы. Показать, что кинетическая энергия движенив И-мезона (т.
е. без учбта энергии покоя) равна т= еэ. (к Р]э 2г. 9. Согласно классическому определению фотон представляет частицу, не имеющую массы, но обладающую количеством движения А)Е = Л ч)с н, следонательно, обладающую кинетической энергией йч. При соударении с покоящимся электроном массы т фотон отклоняется на некоторый угол б и днижется с новой энергией й С Показать, что связь между изменением энергии н углом б определяется формулой 6 )У вЂ” Е = 2).
з)па —, с 2' где ). = А тс — так называемая длина волны Комптона. Показать также, что кинетическая энергия, приобретаемая электроном после удара, равна I)1 б 2 (~.— ) )пэ —, Т? йэ О ' 1+ 2 ~ —.) з1пэ— 'хх) 2 1О. При релятивистском исследовании движения ракет уже нельзя пользоваться методом, о котором говорилось в задаче 3 главы 1, что частично обънсняется тем, что масса в этом случае не сохраняется. Вместо этого следует пользоваться законом о сохранении 4-импульса; изменение каждой составляющей 4-импульса ракеты за время ат должно быть при этом связано с величиной некоторой составляющей р, для газов, выбрасываемых за это время из ракеты.
Покажите, что если на ракету не действуют внешние силы, то дифференциальное уравнение, определяющее зависимость еб скорости от массы, будет иметь вид пах т — +а(1 — — )=О, Фт (, сэ) где а — постоянная скорость, с которой ныбрасываемые продукты горения движутся относительно ратгеты. Докажите, что решение этого уравнения можно представить в виде ( )' где та — начальная масса ракеты. Что происходит с той массой, которая и рассматриваемом случае теряется? 11.
Исходя из уравнения (6.40), покажите, что скорость заряженной частицы, движущейся в постоянном магнитном поле, остайтся неизменной. 'Покажите также, что траекторией заряженной частицы, движущейся в одно- годном магнитном поле, является винтовая линия. Докажите, что радиус РекомеидуемАя литеРАтуРА 235 кривизны ес р будет для данной частицы обратно пропорционален напряженности поля В и прямо пропорционален составляющей механического количества движения в направлении, перпендикулярном к В. (Поэтому произведение ВР может служить мерой количества движения данной частицы.) 12.
Частица, заряд которой равен д, а масса покоя равна ш, иносится с начальной скоростью пэ в однородное электрическое поле Е, перпендикулярное к еэ, Найти траекторию этой часпщы н показать, что при с †«оз она стремится к параболе. 13. Частица находится нод действием притягивающей силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Показать, что если учитывать релятивистские эффекты, то движение этой частицы можно считать происходящим по эллипсу, поворачивающемуся в своей плоскости. Вычислить скорость этого вращения для орбиты Меркурия.
(Она получаетсн равной около 7" за столетие, что намного меньше, чеч деиствительно наблюдаемая скорость, равная 4(У' за столетие; ее можно получить только с помощью общей теории относительности.) 14. Отправлялсь от уравнения (6.46), вывести следующий релятивистский аналог теоремы о вириалп для движений, ограниченных в пространстве и совершюотцихся со скоростями, не приближающимися сколь угодно близко к с, имеет место равенство Ге+ Т= — ~.
~, где Вэ — лзгранжиан в случае отсутствия внешних сил. Заметим, что ни Ве, нн Т не соответствуют кинетической энергии в нерелятнвпстской механике, но сумма их йэ+ Т играет ту же роль, что и удвоенная кинетическая энергия в нерелятивистской теореме о вирнале [сэг. уравнение (3,26)[. Рекомендуемая литература Р.
В е г я ш а п п, Ап 1пггобпсйоп го гйе тьеогу о1 Ке1а11чйу. Несомненно, это одна из лучших английских книг по методам теории относительности. К сожалению, тензорный аппарат этой книги построен с уче- том нултд общей теории относительности (занимающей вторую половину книги), что часто приводит к пре.кдевременно сложным для специальной тео- рии относительности обозначениям К В. С1п 6 э а у апб Н. Ма ей е п а н, Гоипбат)опэ о1 Рйуэ1сз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
