Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 46
Текст из файла (страница 46)
1х ргшени о рассматриваемой задачи можно подойти двумя путями. Первый из них состоят В следующем. Прежде всего заметим, что Все известные силы имеют лишь несколько физических источников: либо они являются гравитационными, либо электромагнитными, либо, возможно, ядерными. Целью правильно построенной теории этих сил является дать для ннх соответствующие выражения, и если они буду~ даны в ковариантной форме, то тем самым станут ясными правила преобразования составляющих этих сил.
К сожалению, однако, мы не имеем коварнантно построенных теорий для всех перечисленных сил, а что касается ядерных сил, то здесь мы вообще не имеем какой-либо теории, заслуживающей того, чтобы о ней говорить. И лишь только классическая теория электромагнетизма, можно надеяться, даст нам ковариантные выражения для сил, так как преобразования Лоренца были построены как раз так, чтобы сохранялась ннваоиантность электромагнитных процессов. Но этого для нас достаточно, так как правила преобразования должны быть, конечно, одинаковыми для сил любой природы. Если все силы преобразовываются по одному правилу, то утверждение чточка нахо- СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл.
6 дится в равновесии под действием двух сил» должно быть справедливым во всех лоренцовых системах. В й 1.5 мы видели, что э.тектромагнитная сила, действующая на частицу, равна 4' ~д,-. ~" —, О А) + — г'~ (6. 31) и тогда будем иметь (6. 33) Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразовывается как пространственная часть 4-вектора. Поэтому Р; равно произведению ~/1 — ра на пространственную часть 4-вектора, который следует отождествить с силой Минковского К„. Следовательно, связь между обычной силой и силой Минковского должна выражаться равенством Г =К ~'1 — Бв, (6.34) которое следует считать справедливым для сил любой природы. Из изложенного следует также, что на заряженную частицу действует сила Минковского, равная рассмотрим теперь другой вывод уравнения движения. На этот раз мы не будем польаоваться физической теорией, выходящей за рамки механики, а просто определим силу как скорость изменения количества движения в лоренцовой системе.
Тогда будем иметь лрг а а) (6.35) Однако фигурирующее здесь количество движения нельзя считать Равным лгпо а нУжно РассматРивать как некотоРое РелЯтивистское обобщение этого понятия, сводящееся к лго; при ~-+О. Льюис и Толмэн*) получили выражение для релятивистского количества дви- в) См. ранее цитированную кингу Бергмана, стр. 87. где О и А — скалярный и векторный электромагнитные потенциалы.
Можно показать, что инвариантность скорости света требует, чтобы вектор А и скаляр Гй преобразовывались как пространственная и временная части некоторого 4-вектора, который мы будем обозна- 1 чать через А . В соответствии с этим выра>кение Π— — О. А может е быть записано в ковариантной форме Π— — О А = — — р' 1 — Бви,АО 1 1 с е й 6.4) УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 223 жения, не обрашаясь к равенству (6.30). Они исходили из того, чтс» следствием равенства (6.35) является сохранение количества движения при отсутствии внешних сил. Поэтому они рассматривали упруГий удар двух частип н нашли такую форму для рн при которой имеет место такое сохранение. Если уравнение движения записывать в форме (6.30), то силу К; и релятивистское количество движения р, можно будет получить, представляя (6.30) в форме, схожей с (6.35).
Пз определения 4-скорости и из соотношения между -. и Г следует, что пространственную часть уравнения (6.30) можно записать в виде Сравнивая теперь это равенство с равенством (6.35), мы видим, чт>у для того, чтобы была справедливой теорема о количестве движения, достаточно положить и и/т и,, — (ти,) = — ( — и.,и,) = К.,и„. ил\ 2 (6.3?) Но так как квадрат вектора и, есть величина постоянная, равная — с' [см.
уравнение (6.25)), а т также постоянно, то будем иметь К,и.,= — + ' -=О. г в >с К> 1 —;;а )Т> — з> Следовательно, четвертая составляюшая силы Минковского будет равна К =— (6.38) с )Т> — »й а четвертое уравнение (6.30) будет иметь вид тса иг уТ вЂ” ра Кинети»>еску>о энергию Т мы определим таким образом, чтобы Р и (скорость, с которой действуюшая на точку сила совершает Ра = (6.36) 1 1 — йа и связать гта и К, соотношением (6.34). Заметим, что при 3 — » 9 правая часть равенства (6.36) переходит в тпи Таким образом, исходя из различных соображений, мы пришли к одному и тому же результату.
Ло сих пор мы рассматривали только пространственную часть, уравнения движения и ничего не говорили о физическом смысле четвдртой составляющей силы Минковского. Ее можно получить. умножая (6,30) скалярно на 4-скорость. Проделав это, буде»> иметь. специальная тговия относительности [гл. б лт работу) была равна производной —. Таким образом, будем имет~ щ ит — =гт о. лг (6.40) Это определение согласуется с тем нерелятивистским определением кинетической энергии, которое даатся известной формулой 1 Т= —, тоз. Сравнивая теперь равенства (6.40) и (6.39), мы видим, 2 что релятивистскую кинетическую энергию следует считать равной (6.
41) лыа Т=— )г[ Зз (6.43) р„= ти„. Отсюда следует, что если количество движения р, остаатся постоянным, то определяемая формулой (6.4!) энергия Т также будет постоянной. В противном случае можно было бы перейти к другой системе, и тогла по формулам преобразования Лоренца мы получили бы новые составляющие р',, выражающиеся через рг и Т, откула следует, что количество движения уже не было бы постоянным, Таким образом, законы о сохранении количества двигкения и кинетической энергии более уже не разделяются; в специальной теории относительности они образуют один закон — закон о постоянстве 4-вектора рг Таким образом, член тс', известный под названием энергии полол, приобретает важное физическое значение. В нерелятивистской формулировке законов сохранения, ланной в главе 1, сохранение количества движения могло иметь место без сохранения кинетической 1(огла 3г мало по сравнению с единицей, формула (6.41) переходит в формулу за1 тиз Т -+ тсг (1+ '— ) = тсз+ —, 2) 2 (6.42) не согласующу1ося с ожидаемой нерелятивистской формулой Т= — то- 1 и отличающук>ся от нее дополнительным членом тса.
На первый взгляд, однако, может показаться, что этот член не имеет существенного значения, так как, не нарушая равенства (6.40), мы можем добавить к правой части (6.41) любую константу, в частности равную — тс'. Но тогда правая часть формулы (6.42) обратится в -,— то, и мы получим совпадение с нерелятивистским вырагкением 2 кинетической энергии. Однако Т предпочтительнее вой же определять согласно формуле (6.41), ибо тогда количество движения р [см. уравнение (6.36)) и гТУс будут образовывать 4-вгятор пространства Минковского.
Это будет вектор рл опрелеляемый ра- венством э 6.41 УРЛВНЕНИЕ ДВ>!ЖЕНИЯ И УРЛВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 225 энергии. Однако релятивистская кинетическая энергия (6.41) должна при этом все же сохраняться, что может быть только в том случае, когда изменяется энергия покоя, т. е. масса покоя. Связь между изменением массы покоя н вызванным им изменением энергии дается следующей известной формулой Эйнштейна: ЬЕ = (Ьт) с'. В литературе приводится много примеров сохранения релятивистской суммы — тоа+ тс . Одной из известных иллюстраций такого 2 2 рода является пример с неупругим ударом двух тел, движущихся с нерелятивнстскими скоростями.
Здесь количество движения сохрам! 1 няетсн, а кинетическая энергии Р—,тох не сохраняется, и обычно ама 2 ~оворят, что энергия, потерянная при этом ударе, превращается в тепло. Однако релятивистская кинетическая энергия должна в этом случае сохраняться, что может иметь место лишь при увеличении массы покоя этой системы, пропорциональном количеству выделяющегося тепла. Практически это увеличение будет, конечно, очень мало, так как один джоуль энергии соответствует массе в 1,1)с',1О ы г. Современная физика дает нам целый ряд примеров значительно большего изменения массы.
Одним нз них является случай, когда две частицы конечной массы образуются из энергии фотона, масса которого равна нулю. Наиболее ярким примером перехода массы в энергию ") является взрыв атомной бомбы. Количество движения при таком взрыве сохраняется, но кинетическая энергия движения значительно увеличивается. Полная энергия Т остайтся прн этом постоянной, так как при взрыве уменьшается масса покоя заряда бомбы. Следует, однако, заметить, что, несмотря на фантастическое количество выделяющейся при этом энергии, потеря массы этой бомбы не превышает 0,1о!о от ее первоначальной массы. Между энергией Т и количеством движения р имеется простая связь. Так как величина 4-вектора количества движения является постоянной, то Т2 р р = — -тхса=р' —— Р гв откуда Т' = р'с'+ т'с', (6.44) Формула (6.44) является релятивистским аналогом классической формулы Т=рв/2т (если не считать того, что Т здесь содержит и энергию покоя).
в) утверждение, что масса переходит в энергию, не следует, конечно, понимать как исчезновение материи. Прн всех физических процессах выполняютсн н закон сохранения массы, н закон сохранения энергии. (Прам. перев,) СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (гл. 6 226 Массу т мы рассматривали как некоторую скалярную характеристику материальной точки, не изменяющуюся при преобразованиях Лоренца.
Это — так называемая масса покоя. Однако иногда вводится и другая масса, которую мы будем называть релятивистской и обозначать через ла„. Под этой массой понимается величина ла (6.46) Единственная цель, с которой вводится эта лаасса, состоит в том, чтобы сделать возможной запись количества движения в форме Р = Па«па й тва Га =— а(( ~~ ! (аа (6.46) Согласно этому уравнению сила не определяется ускорением точки, и даже направления этих векторов будут в общем случае различными. Однако в случае, когда векторы ускорения и скорости параллельны или перпендикулярны друг к другу, сила гт будет параллельна ускорению (см. задачи в конце этой главы). Коэффициенты пропорциональности будут в этих специальных случаях иметь следующий вид: т лаа —— (! — Р«а) " (6.4а) Они известны как продольная и поперечная массы. Следует, однако, заметить, что «ьаассы» ла„, гла и та употребляются в последнее время всй реже и реже, так как они делают менее ясным ковариантный характер законов механики и скорее затемняют, нежели раскрывают физическую суча(ность этого понятия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
