В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 81
Текст из файла (страница 81)
 îáùåì ñëó÷àå âîëíîâîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå è èìååò áîëåå ñëîæíûéâèä:⎛ ∂2s ∂2s ∂2s∂2s= c2 ⎜ 2 + 2 + 22∂t∂y∂z⎝ ∂x⎞⎟.⎠(22.32)Ïîä s ìîæåò ïîäðàçóìåâàòüñÿ ëþáàÿ âåëè÷èíà: ñìåùåíèå, ñêîðîñòü, ïëîòíîñòü, äàâëåíèå, ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ýëåêòðè÷åñêîå íàïðÿæåíèå, íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî è èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëåé è äð.Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî åñëè óäàåòñÿ ïîëó÷èòü âîëíîâîå óðàâíåíèå (âûâåñòè åãî) äëÿ êàêîãî-ëèáî ïðîöåññà, òî ñòîÿùèé ïåðåä âòîðûìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïðîèçâîäíûìè ìíîæèòåëü ðàâåí êâàäðàòó ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ñðåäå áåç äèñïåðñèè.
Ýòîò ôàêò ÷àñòî èñïîëüçóþò äëÿ íàõîæäåíèÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ðàçëè÷íîé ïðèðîäû. Íèæå ýòîò ïðèåì áóäåò èñïîëüçîâàí ïðè ðàññìîòðåíèè âîëí â òâåðäûõ òåëàõ, æèäêîñòÿõ è ãàçàõ.Îòðàæåíèå âîëíû íà êîíöå øíóðà. Ìû óæå óïîìèíàëè â íà÷àëå ýòîé ëåêöèè,÷òî âîëíà, äîñòèãíóâ êîíöà øíóðà, îòðàæàåòñÿ. Õàðàêòåð ýòîãî îòðàæåíèÿ çàâèñèò îò óñëîâèé çàêðåïëåíèÿ êîíöà øíóðà (ãðàíè÷íûõ óñëîâèé).Ðàññìîòðèì âíà÷àëå áîëåå ïîäðîáíî ïðîöåññ îòðàæåíèÿ èìïóëüñà îò çàêðåïëåííîãî êîíöà øíóðà. Íà ðèñ.
22.9 ïîêàçàíû ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòàäèè îòðàæåíèÿ èìïóëüñà òðåóãîëüíîé ôîðìû. Øòðèõîâûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíû ïàäàþùèé (áåãóùèé âïðàâî) è îòðàæåííûé (áåãóùèé âëåâî) èìïóëüñû, ñóïåðïîçèöèÿ êîòîðûõ äàåò ðåàëüíûé (íàáëþäàåìûé) èìïóëüñ, èçîáðàæåííûé ñïëîøíîé ëèíèåé. Äëÿ ìîìåíòîâ âðåìåíè t ≤ 0 ïàäàþùèé èìïóëüñ òàêæå èçîáðàæåíñïëîøíîé ëèíèåé. Åñëè äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà ðàâíà τè, òî åãî ïðîòÿæåííîñòüâäîëü øíóðà ðàâíà c0τè. Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 îí äîáåæèò äî êîíöà399Ðèñ.
22.9øíóðà.  ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè øíóð áóäåò âîçäåéñòâîâàòü íà êðîíøòåéí, ê êîòîðîìó ïðèêðåïëåí åãî êîíåö, ñ ïåðåìåííîé ñèëîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ èìïóëüñà. Ýòà ñèëà â ìîìåíò âðåìåíè t > 0íà÷èíàåò òÿíóòü êðîíøòåéí ââåðõ.  òå÷åíèå âðåìåíè 0 < t < τè / 2 îíà îñòàåòñÿïîñòîÿííîé, è â ìîìåíò âðåìåíè t = τè / 2 ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ. Ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà ñ òàêîé æå ñèëîé êðîíøòåéí äåéñòâóåò âíèç íà êîíåöøíóðà.  ìîìåíò âðåìåíè t = τè / 2 øíóð ñòàíîâèòñÿ ïðÿìûì. Îäíàêî ÷àñòü øíóðà äëèíîé cτè/ 2 ïðîäîëæàåò äâèãàòüñÿ âíèç ïî èíåðöèè. Ïðè t > τè/ 2 øíóðòÿíåò êðîíøòåéí âíèç, è ýòî äåéñòâèå ïðåêðàùàåòñÿ ïðè t = τè.
Åñòåñòâåííî,÷òî êðîíøòåéí âîçäåéñòâóåò íà êîíåö øíóðà ñ ñèëîé, íàïðàâëåííîé ââåðõ,òîðìîçÿ äâèæåíèå åãî ýëåìåíòîâ âíèç. Îêîí÷àòåëüíî ïîïåðå÷íîå äåéñòâèåøíóðà íà êðîíøòåéí ïðåêðàòèòñÿ ïðè t > τè, êîãäà ñôîðìèðóåòñÿ îòðàæåííûé èìïóëüñ, èìåþùèé ïðîòèâîïîëîæíóþ (ïî îòíîøåíèþ ê ïàäàþùåìó)ïîëÿðíîñòü.Åñëè ïî øíóðó áåæèò ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà, òî ïî äîñòèæåíèè åþ çàêðåïëåííîãî êîíöà øíóðà âîçíèêàåò îáðàùåííàÿ îòðàæåííàÿ âîëíà. ×òîáû ó÷åñòüèçìåíåíèå åå ïîëÿðíîñòè, â àðãóìåíò óðàâíåíèÿ îòðàæåííîé âîëíû äîáàâëÿþò ôàçîâûé ñäâèã ϕîòð = π.  ýòîì ñëó÷àå ïðè îòðàæåíèè ôàçà âîëíû ñêà÷êîìèçìåíÿåòñÿ íà π, èëè «òåðÿåòñÿ ïîëâîëíû».  îáùåì ñëó÷àå ïðè ïðîèçâîëüíûõãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ ñäâèã ôàçû ϕîòð ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â èíòåðâàëå 0 ≤ ϕîòð ≤ π.Ïîÿñíèì ñêàçàííîå íà ïðîñòåéøåì ïðèìåðå.Ïóñòü ïî øíóðó áåæèò ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà (ðèñ.
22.10, ñïëîøíàÿ êðèâàÿ).Ó åãî êîíöà ïðè x = l îíà áóäåò îòðàæàòüñÿ (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ). Ñìåùåíèå ëþáîãî ó÷àñòêà øíóðà, èìåþùåãî êîîðäèíàòó x ≤ l, îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóïåðïîçèöèÿ áåãóùåé è îòðàæåííîé âîëí:s (x, t) = s0 sin (ωt − kx) ++ s0 sin [ωt − k (2l − x) + ϕîòð]. (22.33)Ðèñ.
22.10400 (22.33) ó÷òåíî, ÷òî îòðàæåííàÿ âîëíà, âî-ïåðâûõ, ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå «òóäàè îáðàòíî», ðàâíîå l + (l − x) = 2l − x, è, âî-âòîðûõ, ïðèîáðåòàåò ñäâèã ôàçû ϕîòðïðè åå îòðàæåíèè. Ïðîâåäåì ñóììèðîâàíèå â (22.33) è ïîëó÷èìϕîòð ⎤ϕîòð ⎤⎡⎡s ( x , t ) = 2 s0 cos ⎢ k (l − x ) +sin ⎢ ωt − kl +.⎣⎣2 ⎥⎦2 ⎥⎦(22.34)Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî àìïëèòóäà âîëíû s0 îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè è íå èçìåíÿåòñÿ ïðè îòðàæåíèè. Âûðàæåíèå (22.34) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ñòîÿ÷åé âîëíû. Îñíîâíûå åå îñîáåííîñòè çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:1.
 ñòîÿ÷åé âîëíå âñå ó÷àñòêè øíóðà êîëåáëþòñÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé ω èâ ôàçå, îäíàêî àìïëèòóäà ýòèõ êîëåáàíèé èçìåíÿåòñÿ âäîëü øíóðà, ò. å. ñòîÿ÷àÿâîëíà ÿâëÿåòñÿ ìîäîé êîëåáàíèé.2. Àìïëèòóäà êîëåáàíèé â ñòîÿ÷åé âîëíå, ñîãëàñíî (22.34), ðàâíàA (x) = 2s0 cos [k(l − x) + ϕîòð / 2].(22.35)Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî íåêîòîðûå ó÷àñòêè øíóðà êîëåáëþòñÿ ñàìïëèòóäîé, ðàâíîé 2s0. Ýòî òàê íàçûâàåìûå «ïó÷íîñòè» ñòîÿ÷åé âîëíû.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóùåñòâóþò ó÷àñòêè, êîòîðûå îñòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, òàê êàêäëÿ íèõ àìïëèòóäà À = 0. Ýòî «óçëû» ñòîÿ÷åé âîëíû.Íà ðèñ 22.11 èçîáðàæåíû ñìåùåíèÿ ôðàãìåíòà ñòðóíû äëÿ òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè t1, t2 è t3. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäóäâóìÿ ñîñåäíèìè óçëàìè ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ïó÷íîñòÿìè è ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó Δx = π / k = λ / 2.3. Âñå ÷àñòè øíóðà, ëåæàùèå ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè óçëàìè, ñîâåðøàþòêîëåáàíèÿ â ôàçå. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç óçåë ôàçà êîëåáàíèé ñêà÷êîì èçìåíÿåòñÿ íà π, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ çíàêà A (x).4. Íà êîíöå øíóðà (x = l ) àìïëèòóäàA (l ) = 2s0 cosϕîòð.2(22.36)Äëÿ çàêðåïëåííîãî êîíöà øíóðà A (l ) = 0 è ϕîòð = π.
Íà ðèñ. 22.10 ïîêàçàíó÷àñòîê â ïîëâîëíû, êîòîðûé «òåðÿåòñÿ» ïðè òàêîì îòðàæåíèè. Îòðàæåííàÿâîëíà ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíûì îòðàæåíèåì ó÷àñòêà êðèâîé â îáëàñòè õ ≥ l + λ / 2,ïîêàçàííîãî ïóíêòèðîì.Ðàññìîòðèì òåïåðü îòðàæåíèå âîëíû îò ñâîáîäíîãî êîíöà øíóðà. Òåõíè÷åñêè ýòî ìîæíî ðåàëèçîâàòü, åñëè êîíåö øíóðà ïðèâÿçàòü ê òîíêîé è ëåãêîéíèòè, êîòîðàÿ ñëóæèò ëèøü äëÿ ñîçäàíèÿ íàòÿæåíèÿ øíóðà ñ ñèëîé F.Ïðîöåññ îòðàæåíèÿ òðåóãîëüíîãî èìïóëüñà îò ñâîáîäíîãî êîíöà øíóðà ïîêàçàí íà ðèñ. 22.12. Îáðàùàþò íà ñåáÿâíèìàíèå äâà îáñòîÿòåëüñòâà:1. Îòðàæåííûé èìïóëüñ ñîõðàíÿåò òóæå ïîëÿðíîñòü, ÷òî è ïàäàþùèé.
Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè äâèæåíèè ñâîáîäíûéêîíåö áóäåò òÿíóòü ââåðõ ïðèëåãàþùèå êíåìó ñëåâà ó÷àñòêè øíóðà, è â ðåçóëüòàòåáóäåò âîçáóæäåí îòðàæåííûé èìïóëüñ, âêîòîðîì ýëåìåíòû øíóðà òàêæå ñìåùåÐèñ. 22.11401Ðèñ. 22.12íû ââåðõ.  ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû îòðàæåííàÿ âîëíà íàõîäèòñÿ â ôàçåñ ïàäàþùåé. Îáðàçóþùàÿñÿ ñòîÿ÷àÿ âîëíà áóäåò îïèñûâàòüñÿ óðàâíåíèåì(22.34), â êîòîðîì ϕîòð = 0.2. Êîíåö øíóðà ñîâåðøàåò «âçìàõ», âåëè÷èíà êîòîðîãî âäâîå ïðåâûøàåòàìïëèòóäó èìïóëüñà â åãî ñåðåäèíå. Äëÿ ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû íà êîíöå øíóðà(x = l ) îáðàçóåòñÿ ïó÷íîñòü ñòîÿ÷åé âîëíû. Ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (22.36), âêîòîðîé ϕîòð = 0.Âîçáóæäåíèå ñòîÿ÷èõ âîëí â øíóðå. Ìîäû êîëåáàíèé.
Ïóñòü êðîíøòåéí, êêîòîðîìó ïðèâÿçàí ëåâûé êîíåö øíóðà, ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿs (t ) = ξ0 sin ωt, ãäå ξ0 î÷åíü ìàëàÿ àìïëèòóäà.  ñâÿçè ñ ýòèì ëåâûé êîíåöøíóðà ìîæíî ñ÷èòàòü çàêðåïëåííûì. Ïî øíóðó ïîáåæèò ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà(ðèñ. 22.13), êîòîðàÿ ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ïðàâîãî çàêðåïëåííîãî êîíöà ïðèîáðåòåò ñäâèã ôàçû, ðàâíûé π. Äîáåæàâ äî ëåâîãî êîíöà, îíà åùå ðàç îòðàçèòñÿ,à ñäâèã ôàçû ñòàíåò ðàâíûì 2π.Äâóêðàòíî îòðàæåííàÿ âîëíà íàëîæèòñÿ íà ïîñòîÿííî áåãóùóþ âïðàâî ãàðìîíè÷åñêóþ âîëíó.
Åñëè ñäâèã ôàçû êîëåáàíèé ó ýòèõ âîëí áóäåò êðàòíûìâåëè÷èíå 2π, òî ðåçóëüòàòîì íàëîæåíèÿ áóäåò âîëíà, àìïëèòóäà êîòîðîé ïðåâûøàåò àìïëèòóäó ξ0 èñõîäíîé áåãóùåé âîëíû. Òàêèì îáðàçîì, áåãóùàÿ âîëíàóñèëèòñÿ. Îäíàêî ïîòåðè ýíåðãèè òàêæå óâåëè÷àòñÿ ñ ðîñòîì àìïëèòóäû. Ïîýòîìó êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ: â ñèñòåìó áóäåò çàêà÷àíî íåêîòîðîå êîëè÷åñòâîýíåðãèè, à äàëüíåéøèé ïðèòîê åå áóäåò ðàâåí äèññèïàöèè.Îïðåäåëèì ÷àñòîòó ω, ñ êîòîðîé ñëåäóåò äâèãàòü ëåâûé êðîíøòåéí, ÷òîáûîáåñïå÷èòü ìàêñèìàëüíîå óñèëåíèå âîëíû. Áåãóùàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íàáîð ñëåäóþùèõ äðóã çà äðóãîì ñî ñêîðîñòüþ c0 èìïóëüñîâ ðàçíîé ïîëÿðíîñòè. Ïðîñëåäèìçà óñèëåíèåì ëþáîãî èç íèõ (íàïðèìåð,çàøòðèõîâàííîãî íà ðèñ. 22.13).
Âðåìÿäâèæåíèÿ èìïóëüñà (äëÿ îïðåäåëåííîñòè, òî÷êè À â åãî íà÷àëå) ïî øíóðóòóäà è îáðàòíî ðàâíî Δt = 2l /c0. Ó÷òåìäàëåå, ÷òî ïîñëå äâóõ îòðàæåíèé ýòîòèìïóëüñ äâà ðàçà îáðàòèòñÿ. Äëÿ åãîóñèëåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû â ìîìåíòÐèñ. 22.13402t = Δt ëåâûé êîíåö øíóðà ïðîõîäèë ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ è äâèãàëñÿ ïðè ýòîìââåðõ:s (Δt ) = ξ0sin ((ωΔt ) = 0;.s(Δt ) = ξ0ω cos (ωΔt) = + ξ0ω.(22.37)Ïîýòîìó ÷àñòîòà ω äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ:ωp Δt = 2πp,(22.38)πc0p.l(22.39)ãäå p = I, II, III, ... . Îòñþäàωp =Êîíôèãóðàöèþ êîëåáëþùåéñÿ ñ ÷àñòîòàìè (22.39) ñòðóíû ëåãêî èçîáðàçèòü ãðàôè÷åñêè â òîì ñëó÷àå, êîãäà àìïëèòóäû áåãóùåé è îòðàæåííîé âîëí íåìåíÿþòñÿ âäîëü øíóðà è ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî áóäóò ñòîÿ÷èåâîëíû, ðàññìîòðåííûå âûøå è ñîîòâåòñòâóþùèå îäèíàêîâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì: íà îáîèõ êîíöàõ øíóðà äîëæíû áûòü óçëû ñìåùåíèÿ.
Äëÿ ïðèìåðà íàðèñ. 22.14 èçîáðàæåíû òðè âîçìîæíûå êîíôèãóðàöèè øíóðà â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ñìåùåíèÿ ýëåìåíòîâ øíóðà ìàêñèìàëüíû. Êîëåáàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì êîíôèãóðàöèÿì, ÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè êîëåáàíèÿìè (ìîäàìè),à ÷àñòîòû ωI, ωII, ωIII íîðìàëüíûìè ÷àñòîòàìè. Åñëè äåéñòâèå âíåøíåé ñèëûïðåêðàòèòñÿ, òî ýòè êîëåáàíèÿ áóäóò ïðîäîëæàòüñÿ êàê ñîáñòâåííûå, ïîêà íåçàòóõíóò.Óñëîâèå (22.39) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå íàãëÿäíîì âèäå, åñëè ïåðåéòè îò÷àñòîòû ωp ê äëèíå âîëíû λp = 2πc0 / ωp :l = pλp.2(22.40)Ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè íîðìàëüíûõ êîëåáàíèÿõ íà äëèíå øíóðà äîëæíî óêëàäûâàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí.Òåïåðü ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî êàæäàÿ èç ìîäìîæåò áûòü âîçáóæäåíà, åñëè ïðèêëàäûâàòü ñèëó íóæíîé ÷àñòîòû ê ëþáîìó ó÷àñòêó øíóðà, çà èñêëþ÷åíèåì òåõ, êîòîðûå ñîâïàäàþò ñ óçëàìè äàííîé ìîäû.Èçìåíèì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ è ñäåëàåì îáà êîíöà øíóðà ñâîáîäíûìè(ïðèâÿæåì èõ ê íàòÿíóòûì ëåãêèì íèòÿì).
Ïîäñ÷èòàåì ÷àñòîòû âûíóæäàþùåéñèëû, íà êîòîðûõ âîçáóæäàþòñÿ ñòîÿ÷èåâîëíû (ìîäû). Ó÷òåì, ÷òî ïîñëå äâóõ îòðàæåíèé èìïóëüñ íå ìåíÿåò ñâîþ ïîëÿðíîñòü, ïîýòîìó óñëîâèå (22.40) îñòàíåòñÿ ïðåæíèì. Íà ðèñ. 22.15 ïîêàçàíû êîíôèãóðàöèè ìîä äëÿ øíóðà ñî ñâîáîäíûìè êîíöàìè. Âèäíî, ÷òî ïðè íîðìàëüíûõ êîëåáàíèÿõ íà äëèíå øíóðàÐèñ. 22.14403Ðèñ. 22.15Ðèñ. 22.16òàêæå äîëæíî óêëàäûâàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí, íî ïðè óñëîâèè, ÷òîáû íàêîíöàõ øíóðà áûëè ïó÷íîñòè.Çàêðåïèì òåïåðü òîëüêî ëåâûé êîíåö øíóðà è áóäåì äâèãàòü êðîíøòåéí ñìàëîé àìïëèòóäîé ξ0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
