В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 80
Текст из файла (страница 80)
 ýòîì ÷àñòîòíîì îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ñèëüíàÿ äèñïåðñèÿ ñâåòà.èîíà m ≈ 6 ⋅ 10−26 êã, òî ωN = 2394Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëí â ïðîòÿæåííûõ ñðåäàõ ïðîáëåìû «íàñòðîéêè»÷àñòîòû ω âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, ïîðîæäàþùåãî âîëíó, íà ÷àñòîòó ωp îäíîéèç ìîä ñðåäû íå ñóùåñòâóåò. Âîçäåéñòâèå âíåøíåé ñèëû, äàæå ñêîëü óãîäíîáëèçêîé ê ãàðìîíè÷åñêîé, íà ñàìîì äåëå âñåãäà áóäåò êâàçèãàðìîíè÷åñêèì,õàðàêòåðèçóåìûì óçêèì èíòåðâàëîì ÷àñòîò Δω = ω. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ïðîòÿæåííîé ñðåäû ê ÷àñòîòå ω áóäóò áëèçêè ÷àñòîòû ωp ìîä ñ áîëüøèìè íîìåðàìè ð (p ? 1).
Ðàçíîñòü ÷àñòîò äâóõ ñîñåäíèõ ìîä Δωp = ωp+1 − ωp, êàê ýòî ëåãêîâèäåòü èç ðèñ. 22.5, áóäåò íàñòîëüêî ìàëîé, ÷òî Δωp = Δω. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿëþáîé ÷àñòîòû ω âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, ïðèêëàäûâàåìîãî ê ãðàíèöå ñðåäû, âíåé áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âîëíà, êîòîðóþ â ðÿäå ñëó÷àåâ ìîæíî ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü ãàðìîíè÷åñêîé:s (x, t ) = s0 sin (ωt − kx).(22.16)Ãðóïïà âîëí. Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü. Ïîä äåéñòâèåì êâàçèãàðìîíè÷åñêîãî âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ â ñðåäå áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ êâàçèãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà.Ïîýòîìó âìåñòî (22.16) ñëåäóåò çàïèñàòü óðàâíåíèå âîëíû â âèäås (x, t ) = s0 (x, t ) sin [ω0t − k0x + ϕ0 (x, t )].(22.17)Çäåñü àìïëèòóäà s0(x, t ) è ôàçà ϕ0(x, t ) ÿâëÿþòñÿ ìåäëåííî ìåíÿþùèìèñÿôóíêöèÿìè âðåìåíè íà íåêîòîðîì ìàñøòàáå âðåìåíè τ [ñðàâíèòå ñ ôîðìóëîé(21.19)]. Åñòåñòâåííî, ÷òî òàêàÿ âîëíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðóïïó ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí, ÷àñòîòû êîòîðûõ çàêëþ÷åíû â ïðåäåëàõ èíòåðâàëà Δω ≈ 2π / τ âáëèçèîñíîâíîé ÷àñòîòû ω0.
Êàæäàÿ èç âîëí ãðóïïû â ñðåäå ñ äèñïåðñèåé èìååò ñîáñòâåííóþ ôàçîâóþ ñêîðîñòü.  ñðåäå ñ íîðìàëüíîé äèñïåðñèåé âîëíû ñ áîëüøåé ÷àñòîòîé áóäóò äâèãàòüñÿ ìåäëåííåå, ÷åì âîëíû ñ ìåíüøåé ÷àñòîòîé. Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ ãðóïïû âîëí, è åñëèòàêàÿ ñêîðîñòü ñóùåñòâóåò, òî êàê åå âû÷èñëèòü? Êàêîé ôèçè÷åñêèé ñìûñëèìååò ýòà ñêîðîñòü è â ÷åì åå îòëè÷èå îò ôàçîâîé ñêîðîñòè?×òîáû îòâåòèòü íà ýòè âîïðîñû, ðàññìîòðèì äëÿ ïðîñòîòû ãðóïïó èç äâóõâîëí ñ îäèíàêîâûìè àìïëèòóäàìè s0 è áëèçêèìè ÷àñòîòàìè ω1 è ω2, áåãóùèõâ ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Îõ.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Δω = ω2 − ω1 = ω0 == (ω1 + ω2)/ 2. Ñ òàêîé ñèòóàöèåé ìû óæå âñòðå÷àëèñü ïðè àíàëèçå áèåíèé äâóõñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ. Çàäàäèì ñâîéñòâà ñðåäû äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì ω = ω(k ). Ñ åãî ïîìîùüþ âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ k1 è k2 äâóõ âîëíîâûõ ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòîòàì ω1 è ω2. Òîãäà óðàâíåíèå ãðóïïû âîëí ïðèìåòâèäs ( x, t ) = s0 sin (ω1t − k1 x ) + s0 sin (ω2t − k2 x ) =ΔωΔk ⎞t−x ⎟ sin (ω0 t − k0 x ) ,= 2s0 cos ⎛⎜2 ⎠⎝ 2(22.18)ãäå Δk = k2 − k1, k0 = (k1 + k2)/2.Íà ðèñ.
22.6 èçîáðàæåíà ãðóïïà èç äâóõ âîëí â íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûéìîìåíò âðåìåíè t0. Âûäåëèì äâå òî÷êè: Ì è R. Ïåðâàÿ èç íèõ îòâå÷àåò ôèêñèðîâàííîìó çíà÷åíèþ ôàçû ϕM = ω0t − k0xM, ïðè êîòîðîé sin ϕM = 1. Î÷åâèäíî, ÷òîñêîðîñòü ýòîé òî÷êè, îïðåäåëÿåìàÿ èç óñëîâèÿ dϕM = ω0dt − k0dxM = 0, ðàâíà395Ðèñ. 22.6c=ωdxM= 0dtk0(22.19)è ñîâïàäàåò ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ âîëíû ñ ÷àñòîòîé ω0.Àìïëèòóäà êâàçèãàðìîíè÷åñêîé âîëíû (22.18) îïðåäåëÿåòñÿ êàêΔωΔk ⎞s0 ( x, t ) = 2s0 cos ⎛⎜t−x ⎟,22 ⎠⎝(22.20)è åå ðàñïðåäåëåíèå íà ðèñ. 22.6 èçîáðàæåíî øòðèõîâîé ëèíèåé â âèäå ìåäëåííî èçìåíÿþùåéñÿ âäîëü îñè Îõ îãèáàþùåé âîëíû îñíîâíîé ÷àñòîòû ω0. Òî÷êàR íà âåðøèíå ýòîé îãèáàþùåé áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ, îòëè÷àþùåéñÿîò ñ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ êîîðäèíàòû xR ýòîé òî÷êè, êàê ýòî ñëåäóåò èç (22.20),ìîæåì çàïèñàòü óñëîâèå:ΔωΔkt−x = const .22 R(22.21)Çà âðåìÿ dt òî÷êà R ñìåñòèòñÿ íà ðàññòîÿíèå dxR, êîòîðîå íàõîäèòñÿ èçðàâåíñòâàΔωΔkdt −dxR = 0.22(22.22)Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âåðøèíû îãèáàþùåé áóäåò ðàâíàu=dxRΔω=.dtΔk(22.23)Ýòà ñêîðîñòü õàðàêòåðèçóåò äâèæåíèå ãðóïïû âîëí è íàçûâàåòñÿ ãðóïïîâîéñêîðîñòüþ.
Åå ñìûñë ñòàíåò åùå áîëåå ïîíÿòíûì, åñëè â ïðåäåëàõ èíòåðâàëàΔω â ãðóïïå áóäóò íàõîäèòüñÿ âîëíû ñ áëèçêî ðàñïîëîæåííûìè ÷àñòîòàìè,êàê, íàïðèìåð, èçîáðàæåíî íà ðèñ. 22.7, à. Ñàìà ãðóïïà èìååò âèä îäíîãî èìïóëüñà äëèòåëüíîñòüþ τè, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ âäîëü îñè Îõ (ðèñ. 22.7, á ).Èìïóëüñ áóäåò äâèãàòüñÿ ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ u = Δω /Δk. Íà äèñïåðñèîííîéêðèâîé (ðèñ.
22.7, â) ýòà ñêîðîñòü ðàâíà óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó êàñàòåëüíîé âòî÷êå À. «Ñèíóñîèäà» âíóòðè èìïóëüñà áóäåò åãî îáãîíÿòü è äâèãàòüñÿ ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ c = ω0 /k0. ×èñëåííî ýòà ñêîðîñòü áóäåò ðàâíà óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó îòðåçêà, ïðîâåäåííîãî èç íà÷àëà êîîðäèíàò â òî÷êó À.  ñðåäå áåç äèñïåðñèè äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ëèíèåé ω = ck.
Ïîýòîìó396Ðèñ. 22.7c=ω0 Δω== u,Δkk0(22.24)ò. å. ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè ñîâïàäàþò.  ñðåäå ñ íîðìàëüíîé äèñïåðñèåé, êàê ýòî âèäíî èç ðèñ. 22.7, â, u < c.  ñðåäå ñ àíîìàëüíîé äèñïåðñèåé êðèâàÿω = ω(k ) äîëæíà çàãèáàòüñÿ ââåðõ è, ôîðìàëüíî, u > c. Îäíàêî îáû÷íî ýòàçàâèñèìîñòü íàñòîëüêî íåëèíåéíà, ÷òî ïîíÿòèå ãðóïïîâîé ñêîðîñòè òåðÿåòñìûñë.
Äåéñòâèòåëüíî, êîãäà èìïóëüñ, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 22.7, á, ïðîéäåòî÷åíü áîëüøîå ðàññòîÿíèå â äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå, òî ôîðìà åãî èñêàçèòñÿ,è îí ðàñòÿíåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå.  ñðåäå ñ ñèëüíîé àíîìàëüíîé äèñïåðñèåé ýòîèñêàæåíèå ïðîèñõîäèò óæå íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ, ïîýòîìó ãîâîðèòü î ðàñïðîñòðàíåíèè èìïóëüñà êàê öåëîãî ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ u íåêîððåêòíî.Äèñïåðñèîííîå óøèðåíèå èìïóëüñîâ íåãàòèâíî ñêàçûâàåòñÿ, íàïðèìåð, íàñêîðîñòè ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ïîñðåäñòâîì êîðîòêèõ ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ,áåãóùèõ ïî âîëîêîííî-îïòè÷åñêèì ëèíèÿì ñâÿçè, äëèíà êîòîðûõ äîñòèãàåòíåñêîëüêèõ òûñÿ÷ êèëîìåòðîâ. Äâà ñëåäóþùèõ äðóã çà äðóãîì èìïóëüñà ìîãóòðàñøèðèòüñÿ íàñòîëüêî, ÷òî ñîëüþòñÿ â îäèí (ñòàíóò íåðàçëè÷èìûìè).
Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðèåìíèê, óñòàíîâëåííûé â êîíöå ëèíèè, «âîñïðèìåò» äâà èìïóëüñà êàê îäèí, è ÷àñòü ïåðåäàâàåìîé èíôîðìàöèè áóäåò óòåðÿíà.Âîëíû â ñïëîøíîì øíóðå. Âîëíîâîå óðàâíåíèå. Óðàâíåíèå áåãóùåé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû â îäíîðîäíîì øíóðå, ãäå äèñïåðñèÿ îòñóòñòâóåò (ω = c0k), ïîàíàëîãèè ñ (22.16) èìååò âèä:s ( x, t ) = s 0 sin (ω t m kx ) = s 0 sin ⎡⎣ω (t m x c 0 )⎤⎦ .(22.25)Çíàê «−» ñîîòâåòñòâóåò âîëíå, áåãóùåé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñèOx, à çíàê «+» â îòðèöàòåëüíîì.  áîëåå îáùåì ñëó÷àå ðàñïðîñòðàíåíèÿïðîèçâîëüíîãî èìïóëüñà (ãðóïïû âîëí), äâèãàþùåãîñÿ ñ òîé æå ñêîðîñòüþ c0,óðàâíåíèå âîëíû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:s (x, t) = s (t m x /c0),(22.26)ãäå s (θ) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ àðãóìåíòà θ = t m x / c0.397Ïîêàæåì, ÷òî çàêîí äâèæåíèÿ (22.26) è,êîíå÷íî, åãî ÷àñòíûé ñëó÷àé (22.25) ÿâëÿþòñÿðåøåíèÿìè íåêîòîðîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ,êîòîðîå íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì óðàâíåíèåì.
Ýòîâîëíîâîå óðàâíåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì èç óðàâíåíèÿ (21.47), çàìåíÿÿ àíà Δõ.Íà ðèñ. 22.8 ïîêàçàí ôðàãìåíò êîëåáëþùåãîÐèñ. 22.8ñÿ øíóðà. Íà ýòîì ôðàãìåíòå èçîáðàæåíû òðèýëåìåíòà øíóðà äëèíîé Δx è ìàññîé Δm êàæäûé.Ñìåùåíèÿ ýòèõ ýëåìåíòîâ â íåêîòîðûé ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíûsn − 1 = s (x − Δx, t), sn = s (x, t ), sn + 1 = s (x + Δx, t ).
Óñêîðåíèå öåíòðàëüíîãî ýëåìåíòà∂ 2 s ( x, t ). Îíî çàïèñàíî â âèäå âòîðîé ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè s (x, t)∂t 2ïî âðåìåíè. Ó÷òåì äàëåå, ÷òîs&&n =limΔx →0sn +1 − sn∂s=Δx∂xx+Δx2;(22.27)limΔx →0sn − sn −1 ∂s=Δx∂xÎáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ñèëà F ⋅∂s∂xx +Δx 2x−Δx2.ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé íà íàïðàâëå-íèå ñìåùåíèÿ s ñèëû F, ïðèëîæåííîé ê öåíòðàëüíîìó ýëåìåíòó ñïðàâà (â òî÷êå∂s.∂x x −Δx 2Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ýòèõ ñèë, î÷åâèäíî, îïðåäåëÿåòñÿ ïðèðàùåíèåì ïåðâîé ïðî-x + Δx / 2). Ñëåâà (â òî÷êå x − Δx / 2) ïðîåêöèÿ ýòîé ñèëû ðàâíà −F ⋅èçâîäíîé∂síà äëèíå ìàëîãî ýëåìåíòà Δx.
Ïîýòîìó∂x∂2sF ⎛ ∂s=2Δm ⎜⎝ ∂x∂tx +Δx 2−∂s∂xx −Δx⎞⎟.2⎠(22.28)Åñëè òåïåðü ó÷åñòü, ÷òî Δm = ρ1Δx (ρ1 ïëîòíîñòü åäèíèöû äëèíû, èëèëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü øíóðà), òî (22.28) ïðè Δõ → 0 ïðèìåò âèä âîëíîâîãîóðàâíåíèÿ:∂2s F ∂2s=.∂t 2 ρ1 ∂x 2(22.29)Ýòî âîëíîâîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà, â êîòîðîì óñêîðåíèå åäèíèöû äëèíû øíóðà è äåéñòâóþùàÿ íàíåãî ñèëà çàïèñàíû â âèäå âòîðûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñìåùåíèÿ s ñîîòâåò398ñòâåííî ïî âðåìåíè è êîîðäèíàòå. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îíî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãîïîðÿäêà.
Åãî ðåøåíèå õîðîøî èçâåñòíî: èì ìîæåò áûòü ëþáàÿ ôóíêöèÿ s (θ),àðãóìåíò êîòîðîé «ñêîíñòðóèðîâàí» â âèäå (22.26), à ñêîðîñòü c0 = F ρ1 . Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì âòîðûå ïðîèçâîäíûå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè ñî ñëîæíûì àðãóìåíòîì θ = t m x / c0:ds ∂θ ds ⎛ 1∂s ds ∂θ ds∂s====m;∂t d θ ∂t d θ ∂x d θ ∂x d θ ⎜⎝ c0⎞;⎟⎠(22.30)2∂2s d 2s∂2sd 2s ⎛ 1 ⎞m==;.∂t 2 d θ2∂x 2 d θ2 ⎜⎝ c0 ⎟⎠(22.31)Ïîäñòàâëÿÿ âòîðûå ïðîèçâîäíûå èç (22.31) â (22.29), ïðèõîäèì ê âûâîäó,÷òî ïðè c0 = F ρ1 óðàâíåíèå (22.29) òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿåòñÿ, ò. å. ôóíêöèÿ s (θ) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ åãî ðåøåíèåì.Âîëíîâîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ôóíäàìåíòàëüíûõ óðàâíåíèé.  ðàçíûõ îáëàñòÿõ ôèçèêè îíî ïîëó÷àåòñÿ êàê ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ çàêîíîâ, îïèñûâàþùèõ ïîâåäåíèå ñèñòåì ðàçëè÷íîé ïðèðîäû (ìåõàíè÷åñêèõ, ýëåêòðîìàãíèòíûõ è äð.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
