В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Áëàãîäàðÿ ýòîìó ïàðàìåòð ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (êà÷åëåé) ðàññòîÿíèå l ìåæäó îñüþ âðàùåíèÿ è öåíòðîì ìàññ ìåíÿåòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî íàâåëè÷èíó ± Δl (Δl = l ). Âåëè÷èíà Δl äîëæíà áûòü òàêîé, ÷òîáû îáåñïå÷èòü áàëàíñýíåðãèè ñèñòåìû: ïîòåðè ýíåðãèè ìàÿòíèêà çà ïåðèîä äîëæíû êîìïåíñèðîâàòüñÿ çà ñ÷åò ðàáîòû, ñîâåðøàåìîé ïðè ïðèñåäàíèè è âñòàâàíèè.Çàïèøåì óñëîâèå ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà äëÿ ïðîñòåéøåãî ñëó÷àÿ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ äëèíîé íèòè l, êîòîðàÿ ìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó ± Δl (ðèñ.
20.8). Ýòî ìîæíî îñóùåñòâèòü, åñëè ïðîïóñòèòü íèòü ìàÿòíèêà÷åðåç îòâåðñòèå â òî÷êå P (òî÷êå ïîäâåñà) è çàòåì, ïðèêëàäûâàÿ âíåøíþþñèëó F ê êîíöó íèòè, ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿòü åå äëèíó.366Ðàññìîòðèì óñòàíîâèâøèåñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà ñ íåáîëüøèìè àìïëèòóäàìè è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàòóõàíèå ìàëî (δ = ω0). Ïîñêîëüêó Δl = l, òîïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà α îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåìïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó:α (t) = α0 sin ωt,(20.49)⎛α2 ⎞ãäå, ñîãëàñíî (19.42), ω ≈ ω0 ⎜ 1 − 0 ⎟ , a ω0 = g l .⎝16 ⎠ ìîìåíò íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ íà óãîë α0 ñèëàíàòÿæåíèÿ íèòè ðàâíà N1 = mg cos α0. Óäëèíÿÿ íèòü íàâåëè÷èíó Δl, âíåøíÿÿ ñèëà F1 = N1 ñîâåðøàåò îòðèöàòåëüíóþ ðàáîòó A − = −mg cos α0 ⋅ Δl.
Ðàñêëàäûâàÿ cosα0 â ðÿäcos α0 ≈ 1 −α022+α0424Ðèñ. 20.8+ K , ïîëó÷èì⎛α2 α4 ⎞(20.50)A− ≈ −mg ⎜1 − 0 + 0 ⎟ Δl .⎝2 24 ⎠Ïðè ïðîõîæäåíèè ìàÿòíèêîì ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (α = 0) F2 = N2 = mg ++ mL02/l, ãäå L0 = α0ωl. Ïîýòîìó ïîëîæèòåëüíàÿ ðàáîòà ïðè óêîðà÷èâàíèè íèòè ñòî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà α04 ðàâíà:⎛α4A + = (mg + mα 02 ω2l ) Δ l ≈ mg ⎜ 1 + α 02 − 0⎝8⎞⎟ Δl,⎠(20.51)ãäå ó÷òåíî, ÷òî ω02l = g.Ïîëíàÿ ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ âíåøíåé ñèëîé F çà ïåðèîä, áóäåò ïîëîæèòåëüíîé è ðàâíîé:A = 2 ( A + + A − ) = 3mg α 02 Δl −⎛mg α 04α2 ⎞Δl = 3mg α 02 Δl ⎜1 − 0 ⎟ .39 ⎠⎝(20.52)Ïîòåðè ýíåðãèè çà ïåðèîä ÷èñëåííî ðàâíû ðàáîòå ñèëû òðåíèÿ:TT00Aòð = ∫ FòðL dt = − ∫ Γ L 2dt ,(20.53)ãäå Fòð = −ΓL.Ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ (20.49) ñêîðîñòü· ) = lα0ω cos ωt.L (t ) = lα(t(20.54)Ïîäñòàâëÿÿ (20.54) â (20.53) è âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷èìTAòð = −Γ l 2 α 02 ω2 ∫ cos 2 ω tdt = −Γ l 2 α 02 ω20⎛α2 ⎞ TT≈ −Γα 02 gl ⎜1 − 0 ⎟ 0 ,⎝216 ⎠ 2(20.55)ïîñêîëüêó ωT = ω0T0 = 2π.367Óñëîâèå áàëàíñà ýíåðãèè ñîñòîèò â ðàâåíñòâå íóëþ ñóììû ðàáîò: A + Aòð = 0,èëè⎛T ⎛α2 ⎞α2 ⎞3mg α 02 Δl ⎜1 − 0 ⎟ = Γα 02 gl 0 ⎜1 − 0 ⎟ .9 ⎠2 ⎝16 ⎠⎝(20.56)π,δT0ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû α0 óñòàíîâèâøèõñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé:Ïðîâîäÿ ñîêðàùåíèÿ è èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ äîáðîòíîñòè Q =α0 ≈π121−.3Q ( Δ l l )7(20.57)Îòíîøåíèå Δl/l íàçûâàþò ãëóáèíîé ìîäóëÿöèè ïàðàìåòðà l.
Èç (20.57) âèäíî,÷òî äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé ãëóáèíà ìîäóëÿöèè äîëæíà ïðåâûñèòü íåêîòîðîå ìèíèìàëüíîå (ïîðîãîâîå) çíà÷åíèå, ïðèáëèçèòåëüíîðàâíîå âåëè÷èíå, îáðàòíîé äîáðîòíîñòè:Δl/l > 1/Q .(20.58)×åì áîëüøå äîáðîòíîñòü ñèñòåìû, òåì ìåíüøå ïîðîãîâàÿ ãëóáèíà ìîäóëÿöèè. Ñ ïîâûøåíèåì âåëè÷èíû Δl/l àìïëèòóäà êîëåáàíèé α0, êàê ýòî ñëåäóåòèç ôîðìóëû (20.57), áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ. Îäíàêî ïðè áîëüøèõ àìïëèòóäàõ(α0 > 1) ôîðìóëà (20.57) â ñèëó ñäåëàííûõ ïðèáëèæåíèé ñòàíîâèòñÿ íåïðèìåíèìîé.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêîå âîçáóæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííîíåëèíåéíûì ýôôåêòîì.
Ýòî âèäíî, â ÷àñòíîñòè, èç óðàâíåíèÿ (20.56): åñëèïðåíåáðå÷ü â íåì ìàëûìè ñëàãàåìûìè ∼ α02, êîòîðûå îïèñûâàþò íåëèíåéíîñòü,Δlπ=. Ôèçè÷åñêèl3Qýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè òàêîì çíà÷åíèè ãëóáèíû ìîäóëÿöèè ýíåðãåòè÷åñêèéáàëàíñ â ñèñòåìå îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè ëþáûõ àìïëèòóäàõ α0, ÷òî íåâåðíî.Çàìåòèì, ÷òî âîçáóæäåíèå ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé ìîæåò ïðîèñõîäèòüíå òîëüêî íà óäâîåííîé ÷àñòîòå ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû, êîãäà ïàðàìåòð ìåíÿåòñÿ îäèí ðàç çà êàæäûé ïîëóïåðèîä, íî è ïðè áîëåå ðåäêîì âîçäåéñòâèè: ÷åðåç îäèí, äâà, òðè è ò. ä. ïîëóïåðèîäîâ êîëåáàíèé, ò.
å. íà ÷àñòîòàõ2ω0 /n, ãäå n ëþáîå öåëîå ÷èñëî. Âîçáóæäåíèå òàêæå âîçìîæíî âíóòðè íåêîòîðîé îáëàñòè âáëèçè êàæäîé èç ýòèõ ÷àñòîò, íî ïîðîãîâûå çíà÷åíèÿ ãëóáèíû ìîäóëÿöèè äëÿ ðàçíûõ ÷àñòîò áóäóò ðàçëè÷íû.Àâòîêîëåáàíèÿ. Íàáëþäàÿ êîëåáàíèÿ ëèñòüåâ äåðåâüåâ, äîðîæíûõ çíàêîâíàä ïðîåçæåé ÷àñòüþ óëèö, ïîëîòíèù íà âåòðó, ìû ïîíèìàåì, ÷òî âî âñåõïåðå÷èñëåííûõ ñëó÷àÿõ íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò çà ñ÷åò ýíåðãèèïîñòîÿííî äóþùåãî âåòðà. Ïðè ýòîì ñàìà êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà ïðîèçâîäèòîòáîð ýíåðãèè âåòðà â íóæíûé ìîìåíò âðåìåíè è â êîëè÷åñòâå, òðåáóåìîìäëÿ êîìïåíñàöèè íåèçáåæíî ïðèñóòñòâóþùèõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ïîòåðü.
Êîëåáàíèÿ â ýòèõ ñèñòåìàõ íà÷èíàþòñÿ ñàìîïðîèçâîëüíî çà ñ÷åò íà÷àëüíûõ ôëóêòóàöèé (äðîæàíèé) êîëåáëþùèõñÿ ïðåäìåòîâ. ×àñòîòà è àìïëèòóäà óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïàðàìåòðàìè ñàìîé ñèñòåìû, òàê èòî α0 èç óðàâíåíèÿ âûïàäàåò, è ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå368Ðèñ. 20.9ïàðàìåòðàìè åå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ âåòðîì. Òàêèå êîëåáàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè àâòîêîëåáàíèé, à ñàìè ñèñòåìû ïðèìåðàìè àâòîêîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì àâòîêîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû ñëóæàò ìåõàíè÷åñêèå ÷àñû ñ ìàÿòíèêîì è ãèðÿìè. Ýòè ÷àñû ïåðèîäè÷åñêè «÷åðïàþò» ýíåðãèþ ïðè îïóñêàíèè ãèðü, ïîäâåøåííûõ íà öåïî÷êå, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç øåñòåðíþ ÷àñîâîãî ìåõàíèçìà.Ïðèíöèï ðàáîòû âñåõ àâòîêîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì ìîæíî ïîíÿòü, îáðàòèâøèñü ê ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 20.9, à.
Ïåðèîäè÷åñêèì ïîñòóïëåíèåìýíåðãèè â êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó îò èñòî÷íèêà ýíåðãèè ïî êàíàëó À óïðàâëÿåò ñàìà êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà ïîñðåäñòâîì îáðàòíîé ñâÿçè. Ñõåìàòè÷åñêè ýòîèçîáðàæåíî â âèäå íåêîòîðîãî çàïèðàþùåãî êàíàë À óñòðîéñòâà (êëþ÷à), êîòîðûé óïðàâëÿåòñÿ ñàìîé ñèñòåìîé. Òàê, â çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòè êîëåáëþùåãîñÿ ëèñòà íà âåòðó áóäåò ðàçëè÷íîé ìîùíîñòü ñèë àýðîäèíàìè÷åñêîãî äàâëåíèÿ.  êîíñòðóêöèè ÷àñîâîãî ìåõàíèçìà (ðèñ. 20.9, á ) ïðèñóòñòâóåò ñïåöèàëüíîå óñòðîéñòâî àíêåð, âûïîëíÿþùèé ðîëü êëþ÷à. Àíêåðïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîðîìûñëî è ïðèâîäèòñÿ â äåéñòâèå ñàìèì ìàÿòíèêîì ÷àñîâ.
Ïðè îïðåäåëåííûõ ïîëîæåíèÿõ îí «îòïèðàåò» îäíó èç øåñòåðåí ÷àñîâîãîìåõàíèçìà.  ýòîò ìîìåíò âðåìåíè øåñòåðíÿ ïðîâîðà÷èâàåòñÿ çà ñ÷åò ìîìåíòàñèë, ïðèëîæåííîãî ñî ñòîðîíû íàòÿíóòîé öåïè ñ ãðóçîì. Ãðóç ïðè ýòîì íåìíîãî îïóñêàåòñÿ. Êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïîñòóïàþùåé â ÷àñîâîé ìåõàíèçì, ðàâíîèçìåíåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ãðóçà â ïîëå ñèëû òÿæåñòè.Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ëþáàÿ àâòîêîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà íåëèíåéíà.
Íà ñõåìåýòî îòðàæåíî íàëè÷èåì â ñèñòåìå îáðàòíîé ñâÿçè íåëèíåéíîãî îãðàíè÷èòåëÿñèãíàëà, óïðàâëÿþùåãî êëþ÷îì. Íåëèíåéíîñòü ñèñòåìû ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì,÷òî ïðè íà÷àëüíîì íàðàñòàíèè àìïëèòóäû êîëåáàíèé, ïîðîæäåííûõ ôëóêòóàöèÿìè, ïîñòóïëåíèå ýíåðãèè â ñèñòåìó çà êàæäûé ïîñëåäóþùèé ïåðèîä êîëåáàíèé óâåëè÷èâàåòñÿ íåëèíåéíî, ò.
å. ïðèðîñò ïîñòóïàþùåé ýíåðãèè ñòàíîâèòñÿ âñå ìåíüøå è ìåíüøå. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè óñòàíîâèâøåéñÿ àìïëèòóäåêîëåáàíèé ïðèòîê ýíåðãèè è åå ïîòåðè áóäóò ðàâíû.Ìàÿòíèê íà âðàùàþùåìñÿ âàëó (ìàÿòíèê Ôðóäà). Äëÿ áîëåå óãëóáëåííîãîèçó÷åíèÿ ïðèíöèïà äåéñòâèÿ àâòîêîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû ïðîàíàëèçèðóåì êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, ïîäâåñ êîòîðîãî ñêðåïëåí ñ ìóôòîé 1, íàäåòîé íà ãîðèçîíòàëüíûé âàë 2 (ðèñ. 20.10).369Ðèñ.
20.11Ðèñ. 20.10Ðèñ. 20.12Ïóñòü âàë âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.Åñëè óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè β(t) èçìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, òî ñèëà ñóõîãî òðåíèÿ â ïîäâåñå,íåëèíåéíî çàâèñÿùàÿ.. îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ìóôòû è âàëà Ω − β, òàêæå áóäåò èçìåíÿòüñÿ (β óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìóôòû). Ìîìåíò ýòîé ñèëû Ìòð áóäåò îêàçûâàòü ïåðèîäè÷åñêîå âîçäåéñòâèå íà ìàÿòíèê, ïîääåðæèâàÿ åãî êîëåáàíèÿ. Íà ðèñ. 20.11 ïîêàçàíà íåëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü Ìòð îò îòíîñèòåëüíîé óãëîâîé ñêîðîñòè ìóôòû è âàëà.
Íà èçîáðàæåííîé êðèâîé èìååòñÿ òî÷êà ïåðåãèáà P. .Ïîäáåðåì òàêóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âàëà Ω, ÷òîáû â îòñóòñòâèå êîëåáàíèé (β = 0) ïîïàñòü â ýòó òî÷êó.  ýòîìñëó÷àå ê ìóôòå ìàÿòíèêà áóäåò ïðèëîæåí ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ Ìòð = .M0. Äëÿäàëüíåéøåãî àíàëèçà áîëåå óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàâèñèìîñòüþ Ìòð (β), èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 20.12.
Ñëåäóåò .ïîä÷åðêíóòü, ÷òî íà÷àëüíîå (ëèíåéíîå) íàðàñòàíèå Ìòð ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ β îáåñïå÷èâàåò óñëîâèå äëÿ ñàìîïðîèçâîëüíîãî íàðàñòàíèÿ êîëåáàíèé èç ôëóêòóàöèè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî íàëè÷èþ ïîëîæèòåëüíîéîáðàòíîé ñâÿçè, à ïîñëåäóþùåå çàìåäëåíèå ðîñòà Ìòð ïðè óâåëè÷åíèè.β ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ íàðàñòàíèÿ êîëåáàíèé:àìïëè.òóäà ñìåùåíèÿ ìàÿòíèêà (à çíà÷èò è àìïëèòóäà åãî ñêîðîñòè βmax) äîñòèãíåòìàêñèìàëüíîãî (óñòàíîâèâøåãîñÿ) çíà÷åíèÿ, ÷òî ýêâèâàëåíòíî íàëè÷èþ íåëèíåéíîãî îãðàíè÷èòåëÿ.Îòêëîíèì îñòîðîæíî ìàÿòíèê îò âåðòèêàëè íà òàêîé óãîë β0, ÷òîáû ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ, äåéñòâóþùèé íà íåïîäâèæíûé ìàÿòíèê, M0 = Ìòð(0), áûëóðàâíîâåøåí ìîìåíòîì ñèëû òÿæåñòè M(β0) = mga sin β0:Ìòð(0) = M(β0), èëè M0 = mga sin β0,(20.59)ãäå m ìàññà ìàÿòíèêà; a ðàññòîÿíèå îò îñè âàëà äî öåíòðà ìàññ ìàÿòíèêà.370Íà ïåðâûé âçãëÿä, ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ìàÿòíèê òàê è îñòàíåòñÿ âèñåòüïîä óãëîì β0 ê âåðòèêàëè.
Íà ñàìîì äåëå ýòî ïîëîæåíèå áóäåò íåóñòîé÷èâûì.Ïðåäñòàâèì, ÷òî â ðåçóëüòàòåíè÷òîæíîãî òîë÷êà ìàÿòíèê ïðèîáðåòåò íåáîëü.øóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü β > 0. Ïðè ýòîì âîçðàñòóò ìîìåíòû ñèë òÿæåñòè Ì èòðåíèÿ Ì. òð, è óñëîâèå (20.59) ìîæåò íàðóøèòüñÿ. Åñëè íà÷àëüíûé íàêëîí êðèâîé Ìòð(β) íà ðèñ.20.12 äîñòàòî÷íî âåëèê (ñèëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿîáðàòíàÿ..ñâÿçü), òî Ìòð(β) > M(β0).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü β áóäåò íàðàñòàòü.Îäíàêî çàòåì. ýòî íàðàñòàíèå ïðåêðàòèòñÿ, òàê êàê èç-çà íåëèíåéíîãî çàãèáàêðèâîé Ìòð(β) ðàâåíñòâî ìîìåíòîâ îïÿòü âîññòàíîâèòñÿ (ñðàáîòàåò ìåõàíèçìíåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ):.Ìòð (βmax) = M(β).(20.60).Óñëîâèþ (20.60) ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà R + íà êðèâîé Ìòð(β). Ïîñëå ýòîãî óãëîâàÿ ñêîðîñòü íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ,ïîñêîëüêó ñ ðîñòîì óãëà β ìîìåíò M(β).ïðîäîëæàåò ðàñòè, à Ìòð(β) óáûâàòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïóñòÿ êàêîå-òî âðåìÿìàÿòíèê îñòàíîâèòñÿ, à óãîë åãî îòêëîíåíèÿ äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ βmax.
Ïîñêîëüêó â ýòîò ìîìåíò M(βmax) > Ìòð = M0, òî ìàÿòíèê íà÷íåò äâèãàòüñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ, àìîìåíò ñèëû òðåíèÿ áóäåò òàêæå óìåíüøàòüñÿ, íî áûñòðåå, ÷åì ìîìåíò ñèëûòÿæåñòè (îïÿòü ñðàáàòûâàåò ïîëîæèòåëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü). Ñíà÷àëà ýòî äâèæåíèå áóäåò óñêîðåííûì, ïîêà M > Ìòð (äî òî÷êè R − íà ðèñ. 2.12), à çàòåì, ïðèM < Ìòð çàìåäëåííûì. Îñòàíîâèâøèñü ïðè íåêîòîðîì óãëå íàêëîíà βmin,ìàÿòíèê îïÿòü äâèæåòñÿ âëåâî, òàê êàê âñå åùå M < Ìòð. Íàêîíåö, îí äîñòèãàåòñòàðòîâîé ïîçèöèè, îäíàêî ïðèîáðåòåííàÿ èì ñêîðîñòü áóäåò áîëüøå ñêîðîñòè íà÷àëüíîãî òîë÷êà.
Òàêèì îáðàçîì, â òå÷åíèå îäíîãî ïåðèîäà êîëåáàíèéóâåëè÷èëàñü ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà çà ñ÷åò åå çàèìñòâîâàíèÿ îò óñòðîéñòâà, âðàùàþùåãî âàë.. ïîñëåäóþùèå ïåðèîäû êîëåáàíèé òî÷êè R + è R − íà êðèâîé Mòð(β) áóäóòñäâèãàòüñÿ â ðàçíûå ñòîðîíû, îäíàêî èç-çà íåëèíåéíîñòè êðèâîé ýòîò ñäâèãïðåêðàòèòñÿ (ñðàáàòûâàåò ìåõàíèçì íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ), è êîëåáàíèÿóñòàíîâÿòñÿ.×òîáû êîëè÷åñòâåííî ïðîàíàëèçèðîâàòü àâòîêîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, çàïèøåìóðàâíåíèå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà ñ ìîìåíòîì èíåðöèè J:...J β = Mòð(β) − mga sinβ.(20.61) ýòîì óðàâíåíèè ìû ïîêà ïðåíåáðåæåì ìîìåíòîì ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ,äåéñòâóþùåé íà äâèæóùèéñÿ ìàÿòíèê.
Ìîìåíòñèëû ñóõîãî òðåíèÿ â ïîäâåñå,.íåëèíåéíî çàâèñÿùèé îò óãëîâîé ñêîðîñòè β (ñì. ðèñ. 20.12), ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü âûðàæåíèåì:...Mòð(β) = M0 + k1β - k2β3,(20.62)ãäå k1 è k2 ðàçìåðíûå êîýôôèöèåíòû, îïðåäåëÿþùèå îáðàòíóþ ñâÿçü è íåëèíåéíîå îãðàíè÷åíèå ñîîòâåòñòâåííî.Åñëè êîëåáàíèå îïèñûâàòü óãëîì îòêëîíåíèÿ α îò ïîëîæåíèÿ íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, çàäàâàåìîãî óãëîì β0 (α = β − β0), òîmga sin β = mga(sin β0 cos α + cos β0 sin α).(20.63)371Äëÿ ìàëûõcosα ≈ 1, sinα ≈ α.
Åñëè ó÷åñòü. óãëîâ.äàëåå, ÷òî β = α, òî óðàâíåíèå (20.61) ïðèìåòâèä....J α + mga cos β0 α = k1 α − k2 α3.(20.64)Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì è íå èìååò àíàÐèñ. 20.13ëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.  òåîðèè êîëåáàíèé ñóùåñòâóþò ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå ðåøèòü åãîïðèáëèæåííî, èññëåäîâàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíî ñàìîâîçáóæäåíèå êîëåáàíèé, è íàéòè àìïëèòóäó (α0)óñò è ÷àñòîòó ω óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
