В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàññà m èñïûòûâàåò äåéñòâèå ëèøü âíåø.íåé ñèëû F (t ), à ñèëû óïðóãîñòè ks è âÿçêîãî òðåíèÿ Γs ìàëû. Äåéñòâèòåëüíî, çà ïîëîâèíó êîðîòêîãî ïåðèîäà êîëåáàíèé, êîãäà ìàññà äâèæåòñÿ â îä.íîì íàïðàâëåíèè, îíà íå óñïåâàåò íè íàáðàòü çàìåòíóþ ñêîðîñòü s, íè ñìåñòèòüñÿ íà äîñòàòî÷íóþ âåëè÷èíó s îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïîýòîìó â óðàâ.íåíèè (20.10) ìîæíî îïóñòèòü ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå s è s, è çàïèñàòü åãî âäðóãîì ïðèáëèæåííîì âèäå:s&& =356F0sin ωt .m(20.14)Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå äâà ðàçà, íàõîäèì çàêîí äâèæåíèÿ êîëåáëþùåéñÿ ìàññû:s (t ) = −F0Fsin ωt = 0 2 sin (ωt − π ) .mω2mω(20.15)Èç (20.15) ñëåäóåò, ÷òî ñìåùåíèå îòñòàåò ïî ôàçå îò âíåøíåé ñèëû íàπ (ϕ0 = −π), à àìïëèòóäà, êàê ìû è ïðåäïîëàãàëè, óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû. ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
20.2, â òàêîì ðåæèìå ëåâûé ïîäâèæíûé êîíåö ïðóæèíû è ìàññà m âñåãäà äâèæóòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ:ω02 ( )k ξ0ω=−ξ t .tsinω2mω2s (t ) = −(20.16)Ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåùåíèå ìàññû m â ω2/ω 20 ? 1 ðàç ìåíüøå ñìåùåíèÿ ëåâîãî êîíöà ïðóæèíû, ò. å. ïðàêòè÷åñêè íå áóäåò çàìåòíûì.Ðåçîíàíñíûé ðåæèì. Åñëè ÷àñòîòà ω ≈ ω0, òî âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò íà ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå êîëåáàíèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî..s + ω02s = 0.(20.17)Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (20.10) ñ ó÷åòîì (20.17) ïðèíèìàåò âèä:2δs& =F0sin ω0t .m(20.18)Èíòåãðèðóÿ åãî, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñìåùåíèÿ:s (t ) =F0sin (ω0t − π 2 ) .2δmω0(20.19)Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå óäîáíî ïåðåïèñàòü â âèäås (t ) =F0Q sin (ω0t − π 2 ) ,k(20.20)ãäå Q = π äîáðîòíîñòü ìàÿòíèêà.δTÅñëè äîáðîòíîñòü Q ? 1, òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé ìîæåò âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàòü àìïëèòóäó ìåäëåííûõ êâàçèñòàòè÷åñêèõ êîëåáàíèé [ñðàâíèì ñ (20.12)].Ïîýòîìó òàêîé ðåæèì íàçûâàþò ðåçîíàíñíûì..Âåëèêè òàêæå àìïëèòóäû ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ.
Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü s, êàêñëåäóåò èç (20.18), èçìåíÿåòñÿ â ôàçå ñ âíåøíåé ñèëîé, òî ýòî âåñüìà áëàãîïðèÿòíî äëÿ «ïîäêà÷êè» ýíåðãèè â êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó. Ðàáîòà âíåøíåéñèëû çà ïåðèîä êîëåáàíèé ðàâíà:TTF2F 2TA = ∫ F (t ) s& (t ) dt = 0 ∫ sin 2 ω0tdt = 02δ m 04δ m0(20.21)è çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ðàáîòó ýòîé ñèëû â îáîèõ ðàññìîòðåííûõ âûøåðåæèìàõ. Òàêàÿ áîëüøàÿ ðàáîòà íåîáõîäèìà äëÿ êîìïåíñàöèè çíà÷èòåëüíûõïîòåðü ýíåðãèè èç-çà âÿçêîãî òðåíèÿ.357Äëÿ áîëüøåé íàãëÿäíîñòè ïîñëåäíåãî ðåçóëüòàòà îáðàòèìñÿ ê ñõåìå ñ ïîäâèæíûì ëåâûì êîíöîì ïðóæèíû, ãäå, êàê ýòî âèäíî èç ðåøåíèÿ (20.20),s (t ) = ξ0Q sin (ω0t − π / 2).(20.22)Àìïëèòóäà ñìåùåíèÿ ïðàâîãî êîíöà ïðóæèíû â Q ðàç ïðåâîñõîäèò àìïëèòóäó ñìåùåíèÿ ëåâîãî êîíöà.
Ïðè ïðîõîæäåíèè ìàññîé m ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ s = 0, êîãäà åå ñêîðîñòü ìàêñèìàëüíà, ëåâûé êîíåö ïðóæèíû ñìåùåí íàìàêñèìàëüíóþ âåëè÷èíó ξ0 â íàïðàâëåíèè ñêîðîñòè äâèæóùåéñÿ ìàññû.  ýòîòìîìåíò âðåìåíè ìîùíîñòü ñèëû óïðóãîñòè ïðóæèíû èìååò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå ïðè çàäàííîé âåëè÷èíå ξ0.  ïîñëåäóþùèåìîìåíòû âðåìåíè ýòà ìîùíîñòü áóäåò îñòàâàòüñÿ ïîëîæèòåëüíîé, ÷òî, åñòåñòâåííî, îáåñïå÷èâàåò íàèáîëåå ýôôåêòèâíóþ ïåðåäà÷ó ýíåðãèè äâèæóùåìóñÿñ òðåíèåì òåëó.Åñëè ñèëà (20.5) èçìåíÿåòñÿ ñ ïðîèçâîëüíîé ÷àñòîòîé ω, òî àìïëèòóäà s0 èôàçà ϕ0, âõîäÿùèå â ðåøåíèå (20.7), ìîãóò áûòü íàéäåíû, êàê áûëî ñêàçàíîâûøå, ïîäñòàíîâêîé ðåøåíèÿ (20.7) â óðàâíåíèå (20.10). Òàêóþ ïîäñòàíîâêóìîæíî îñóùåñòâèòü íàèáîëåå ïðîñòî, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä, øèðîêî ïðèìåíÿåìûì â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ôèçèêè: òåîðèèêîëåáàíèé, òåîðèè âîëí, ýëåêòðîìàãíåòèçìå, îïòèêå è äð.Ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä.
Åñëè â ôîðìóëå Ýéëåðà (19.53): e iϕ = cos ϕ ++ i sin ϕ ïîä ϕ ïîíèìàòü ôàçó ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèéϕ = ωt + ϕ0,(20.23)òî êàæäîìó òàêîìó êîëåáàíèþ s (t ) ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîìïëåêñíîå ÷èñëîs^(t ) = s0 e iϕ = s0e iϕ0 e iωt = s0 cos (ωt + ϕ0) + is0 sin (ωt + ϕ0).(20.24)Èç (20.24) âèäíî, ÷òî ðåøåíèå (20.7) ÿâëÿåòñÿ ìíèìîé ÷àñòüþ ýòîãî êîìïëåêñíîãî âûðàæåíèÿ:s (t ) = s0 sin (ωt + ϕ0) = Ims^0 e iωt,(20.25)ãäå s^0 = s0 e iϕ0 êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà, êîòîðàÿ íåñåò èíôîðìàöèþ îá àìïëèòóäå s0 è íà÷àëüíîé ôàçå ϕ0 êîëåáàíèé.Íàäî îòìåòèòü, ÷òî ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ÿâëÿåòñÿ, ôàêòè÷åñêè,àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì ìåòîäà âåêòîðíûõ äèàãðàìì.
Åñëè â ïîñëåäíåììåòîäå êîëåáàíèå ñ ÷àñòîòîé ω ïîëíîñòüþ çàäàåòñÿ âåêòîðîì s0, òî â ìåòîäåêîìïëåêñíûõ àìïëèòóä êîëåáàíèå çàäàåòñÿ ÷èñëîì s^0 íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ïîñêîëüêó ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè óäîáíî è ïðîñòî ïðîèçâîäèòü ìàòåìàòè÷åñêèå îïåðàöèè, òî ìû èñïîëüçóåì ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äëÿ ïîëó÷åíèÿðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé (20.10).Àìïëèòóäíûå è ôàçîâûå õàðàêòåðèñòèêè. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(20.10) â êîìïëåêñíîì âèäå:s^(t ) = s^0 e iωt.(20.26)Âûíóæäàþùóþ ñèëó â ïðàâîé ÷àñòè (20.10) òàêæå çàïèøåì â êîìïëåêñíîéôîðìå:µ (t ) = Fµ 0e i ωt ,F358(20.27)µ 0 = F äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, ïîñêîëüêó ìû ïðåäïîëîæèëè äëÿ ïðîñòîãäå F0òû, ÷òî íà÷àëüíàÿ ôàçà â âûðàæåíèè äëÿ ñèëû (20.5) ðàâíà íóëþ.Òîãäà óðàâíåíèå (20.10) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:µ&&s$ + 2δs$& + ω2 s$ = F 0 e i ωt .0m(20.28)Êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó s^0 = s0 eiϕ0 ëåãêî íàõîäèì ïîäñòàíîâêîé (20.26) â(20.28):(−ω2 + 2i δω + ω02 ) s$ 0e i ωt=µ0Fe i ωt ,m(20.29)îòêóäàs$ 0 =m(ω02µ0F.− ω2 + 2i δω)(20.30)Èç (20.30) íåòðóäíî íàéòè àìïëèòóäó êîëåáàíèé s0 = | s^0|:s0 =F0m(ω02 − ω2 )2+ 4δ2 ω2(20.31)è ôàçó ϕ0 = arg s^0:tg ϕ0 =Im s$ 02δω= 2,ω − ω02Re s$ 0(20.32)ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèå âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ (20.25).Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû s0 îò ÷àñòîòû ω, çàäàâàåìóþ ôîðìóëîé (20.31), íàçûâàþò àìïëèòóäíîé õàðàêòåðèñòèêîé, à çàâèñèìîñòü ϕ0 (ω), îïèñûâàåìóþ ôîðìóëîé (20.32), ôàçîâîé õàðàêòåðèñòèêîé.
Íà ðèñ.20.3 èçîáðàæåíû àìïëèòóäíûå õàðàêòåðèñòèêè (àìïëèòóäíûå ðåçîíàíñíûå êðèâûå), êîòîðûå îòîáðàæàþò íàðàñòàíèå àìïëèòóäû s0 ïðè ïðèáëèæåíèè ω ê ω0. Ýòî ÿâëåíèå ïîëó÷èëîíàçâàíèå ðåçîíàíñà ñìåùåíèé. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû, â Q ðàç ïðåâûøàþùåå ñòàòè÷åñêîå ñìåùåíèå F0 /k, äîñòèãàåòñÿ íà ÷àñòîòåωs =ω02 − 2δ2 ,(20.33)êîòîðàÿ íåñêîëüêî ìåíüøå êàê ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû ω0, òàê è ÷àñòîòû çàòóõàþùèõ êîëåáàíèéω02 − δ2 .Ñ óìåíüøåíèåì çàòóõàíèÿ δ ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ ñòàíîâèòñÿ áîëåå «îñòðîé».Äëÿ ÷àñòîò ω, ëåæàùèõ âáëèçè ω0, ôîðìóëà (20.31) ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíîóïðîùåíà.
Òàê, ìîæíî ïîëîæèòü(ω02 − ω2)2 = (ω0 − ω)2(ω0 + ω)2 ≈ (ω0 − ω)2 ⋅ 4ω02;4δ2ω2 ≈ 4δ2ω02.(20.34)359Ðèñ. 20.3Ñ ó÷åòîì ïðèáëèæåíèé (20.34) ôîðìóëà (20.31) ïðèìåò âèäs0 (ω) =F0Qk12⎡⎣(ω0 − ω) δ ⎤⎦ + 1.(20.35)Áåçðàçìåðíóþ ôóíêöèþL(ω) =12⎣⎡(ω0 − ω) δ ⎦⎤ + 1(20.36)íàçûâàþò ëîðåíöåâîé, à ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè ëîðåíöåâûì êîíòóðîì. ØèðèíóΔω ýòîãî êîíòóðà, õàðàêòåðèçóþùóþ îñòðîòó ðåçîíàíñà, íàõîäÿò èç óñëîâèÿóáûâàíèÿ âäâîå ýíåðãèè êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû, ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòóàìïëèòóäû s0(ω), ÷òî ýêâèâàëåíòíî ïðèáëèæåííîìó ñîîòíîøåíèþ1( Δω22 δ) + 1=1≈ 0, 7,2(20.37)êîòîðîå ïîÿñíÿåòñÿ ðèñ.
20.4. Ïðè ýòîì óñëîâèè Δω/2 = δ, ò. å. Δω = 2δ. Øèðèíàëîðåíöåâà êîíòóðà õàðàêòåðèçóåò ïîëîñó ïðîïóñêàíèÿ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû, ò. å. òàêóþ îáëàñòü ÷àñòîò âíåøíåé ñèëû, äëÿ êîòîðûõ ñèñòåìà ýôôåêòèâíîîòêëèêàåòñÿ íà ãàðìîíè÷åñêîå âíåøíåå âîçäåéñòâèå. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî äîáðîòíîñòü ñèñòåìû ðàâíàQ=ωπ= 0,δTΔω(20.38)ò. å. îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ.Ôàçîâûå õàðàêòåðèñòèêè (ôàçîâûå ðåçîíàíñíûå êðèâûå) äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõêîýôôèöèåíòîâ çàòóõàíèÿ èçîáðàæåíû íà ðèñ.
20.5. Ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå çàâèñèìîñòè ϕ0 (ω) ìû ïîäðîáíî îáñóäèëè äëÿ òðåõ ðàçëè÷íûõ ðåæèìîâ âûíóæ360Ðèñ. 20.4Ðèñ. 20.5äåííûõ êîëåáàíèé. Îòìåòèì ëèøü, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì çàòóõàíèÿ δ êðèâàÿ ϕ0 (ω)ñòàíîâèòñÿ áîëåå «÷óâñòâèòåëüíîé» ê èçìåíåíèþ ÷àñòîòû âáëèçè ðåçîíàíñà.Íàðÿäó ñ ðåçîíàíñîì ñìåùåíèé ìîæíî ãîâîðèòü î ðåçîíàíñå ñêîðîñòåé s· è..ðåçîíàíñå óñêîðåíèé s.Ñêîðîñòü è óñêîðåíèå êîëåáàþùåãîñÿ òåëà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:.s = s0 ω sin (ωt + ϕ0 + π/ 2);(20.39)..s = s0 ω2 sin (ωt + ϕ0 + π),ò.
å. ðåçîíàíñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äëÿ ñêîðîñòè ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì (20.31)íà ω, à äëÿ óñêîðåíèÿ íà ω2:L 0 = s0 ω =2F02⎛ ω2 − ω2 ⎞m ⎜ 0⎟ + 4δ 2ω ⎠⎝a0 = s0 ω =;(20.40)F02⎛ ω2⎞δ2m ⎜ 02 − 1 ⎟ + 4 2ω⎝ω⎠.Íà ðèñ. 20.6 ïîêàçàíû ÷àñòîòíûå çàâèñèìîñòè àìïëèòóä ñêîðîñòè L0 = s0 ω(ðèñ. 20.6, à) è óñêîðåíèÿ à0 = s0 ω2 (ðèñ. 20.6, á ). Õàðàêòåðíî, ÷òî ðåçîíàíññêîðîñòè ïðîèñõîäèò íà ÷àñòîòå ωs. = ω0, à ðåçîíàíñ óñêîðåíèÿ ïðè ωs.. > ω0.Îòìåòèì, ÷òî âñå ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé:ωs ωs..
= ωs2. = ω02.(20.41)Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïî ïðè÷èíàì, ðàññìîòðåííûì ðàíåå, â îáëàñòè íèçêèõ ÷àñòîò ìàëû êàê óñêîðåíèå, òàê è ñêîðîñòü.  îáëàñòè âûñîêèõ ÷àñòîòóñêîðåíèå êîíå÷íî (s0ω2 → F0 /m) è îáåñïå÷èâàåòñÿ ëèøü âíåøíåé ñèëîé.Îäíàêî ñêîðîñòü ïî-ïðåæíåìó íåçíà÷èòåëüíà, ïîñêîëüêó òåëî íå óñïåâàåòðàçîãíàòüñÿ.361Ðèñ. 20.6Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà íàðèñîâàòü ôàçîâûå õàðàêòåðèñòèêè äëÿ ñêîðîñòè èóñêîðåíèÿ, ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (20.39) è (20.40), ïîñêîëüêó îíè ïîëó÷àþòñÿïðîñòûì ñäâèãîì ôàçîâîé õàðàêòåðèñòèêè äëÿ ñìåùåíèÿ, èçîáðàæåííîé íàðèñ. 20.5, ââåðõ ñîîòâåòñòâåííî íà π / 2 è íà π. çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì âîïðîñ î ïîäâîäå ýíåðãèè ê îñöèëëÿòîðó ïðèïðîèçâîëüíîé ÷àñòîòå âûíóæäàþùåé ñèëû. Ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä ìîùíîñòü ýòîéñèëû ðàâíàN =1TT1∫ F (t ) s& (t ) dt = T0T⎛π⎞∫ F0 sin ωt ⋅ L0 sin ⎜⎝ ωt + ϕ0 + 2 ⎟⎠ dt =0TT11= F0L 0 ∫ sin ωt sin (ωt + ψ0 ) dt = F0L 0 ∫ sin 2 ωt cos ψ0dt +TT00+T11F L sin ωt cos ωt sin ψ0dt = F0L 0 cos ψ0 ,2T 0 0 ∫0ãäå ψ0 = ϕ0 + π / 2 ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó ñêîðîñòüþ è ñèëîé.Ìû âèäèì, ÷òî ìàêñèìóì ïîäâîäèìîé ê îñöèëëÿòîðó ìîùíîñòè äîñòèãàåòñÿ íà ÷àñòîòå ω0, ïîñêîëüêó ïðè ýòîì ìàêñèìàëüíû è àìïëèòóäà ñêîðîñòè L0,è cos ψ0 (ψ0 = 0).
Ïðè äðóãèõ ÷àñòîòàõ âûíóæäàþùåé ñèëû ýòà ìîùíîñòü áûñòðîóìåíüøàåòñÿ è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, êàê ïðè ω → 0, òàê è ïðè ω → ∞.Áàëëèñòè÷åñêèé ðåæèì êîëåáàíèé. Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ ñèñòåìû, ê êîòîðîé ïðèëîæåíà ïðîèçâîëüíàÿ ñèëà F (t ), äåéñòâóþùàÿ â òå÷åíèå ïðîìåæóòêàâðåìåíè Δt, çíà÷èòåëüíî ìåíüøåãî ïåðèîäà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé: Δt = T.Îòêëèê ñèñòåìû íà òàêîå âîçäåéñòâèå áóäåò ïðîïîðöèîíàëåí èìïóëüñó äåéñòâóþùåé ñèëûP =Δt∫ F (t ) dt .(20.42)0 ñàìîì äåëå, ïðè êðàòêîâðåìåííîì âîçäåéñòâèè (â òå÷åíèå âðåìåíè Δt)êîëåáëþùàÿñÿ ìàññà íå óñïåâàåò çàìåòíî ñìåñòèòüñÿ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, îäíàêî áóäåò îáëàäàòü óñêîðåíèåìs&& = F (t ) m .362(20.43)Ïðè çàïèñè (20.43) ìû ïðåíåáðåãëè ñèëîé âÿçêîãî òðåíèÿ.Ïî îêîí÷àíèè äåéñòâèÿ ñèëû ìàññà ïðèîáðåòåò ñêîðîñòüL0 = s& =ΔtP&& = ,∫ sdtm(20.44)0ïðîïîðöèîíàëüíóþ èìïóëüñó ñèëû. Äàëåå îíà áóäåò ñîâåðøàòü ñîáñòâåííûåãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîés0 =L0ω0=P.mω0(20.45)Åñëè ïàðàìåòðû m è ω0 èçâåñòíû, òî ìîæíî îïðåäåëèòü P, èçìåðÿÿ àìïëèòóäó ïåðâîãî êîëåáàíèÿ ïîñëå âîçäåéñòâèÿ. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïðîöåäóðó èçìåðåíèÿ çàðÿäà, ïðîòåêàþùåãî ïî ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñ èñïîëüçîâàíèåì áàëëèñòè÷åñêîãî ãàëüâàíîìåòðà. ýòîì ãàëüâàíîìåòðå íàõîäèòñÿ ðàìêà, êîòîðàÿ ìîæåò ñîâåðøàòü êðóòèëüíûåêîëåáàíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
