В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Âðåçóëüòàòå âðåìÿ áóäåò èñêëþ÷åíî, à óðàâíåíèåì òðàåêòîðèè äâèæóùåãîñÿ ãðóçàáóäåò óðàâíåíèå ýëëèïñà:22s1 s2⎛ s1 ⎞ ⎛ s2 ⎞2⎜ s ⎟ + ⎜ s ⎟ − 2 s s cos (ϕ2 − ϕ1 ) = sin (ϕ2 − ϕ1 ) .01 02⎝ 01 ⎠ ⎝ 02 ⎠(19.23)Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå ãðóç áóäåò ñîâåðøàòü ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ïî ýëëèïòè÷åñêîé òðàåêòîðèè. Íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ âäîëü òðàåêòîðèèè îðèåíòàöèÿ ýëëèïñà îòíîñèòåëüíî îñåé Os1 è Os2 çàâèñÿò îò íà÷àëüíîé ðàçíîñòè ôàç Δϕ = ϕ2 − ϕ1.
Íà ðèñ. 19.8 èçîáðàæåíû òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ãðóçà ïðèðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ Δϕ. Âñå òðàåêòîðèè çàêëþ÷åíû â ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 2s01 è 2s02. Ïðè Δϕ = 0 è Δϕ = π ãðóç äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé ëèíèè. ÏðèΔϕ = π / 2 è Δϕ = 3π / 2 ïîëóîñè ýëëèïñà ñîâïàäàþò ñ Os1 è Os2 (ïðè s01 = s02ýëëèïñ âûðîæäàåòñÿ â îêðóæíîñòü). Ïðè ðàçíîñòè ôàç 0 < Δ ϕ < π ãðóç äâèæåòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à ïðè π < Δϕ < 2π ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.Òèïè÷íûì ïðèìåðîì äâóìåðíîãî îñöèëëÿòîðà (ìàÿòíèêà) ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîí â àòîìå, êîòîðûé äâèæåòñÿ âîêðóã ÿäðà ïî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå ñïåðèîäîì îáðàùåíèÿ T ≈ 10−15 ñ.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òàêîé ýëåêòðîí îäíîâðåìåííî ñîâåðøàåò äâà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîéω0 = 2π /T ∼ 1016 ñ−1.Åñëè ÷àñòîòû äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé íå ñîâïàäàþò, íîÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè: mω02 = nω01, ãäå m è n öåëûå ÷èñëà, òî òðàåêòîðèèäâèæåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé çàìêíóòûå êðèâûå, íàçûâàåìûå ôèãóðàìè Ëèññàæó (ðèñ.
19.9). Îòìåòèì, ÷òî îòíîøåíèå ÷àñòîò êîëåáàíèé ðàâíî îòíîøåíèþ÷èñåë òî÷åê êàñàíèÿ ôèãóðû Ëèññàæó ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà, â êîòîðûé îíàâïèñàíà. Åñëè êðàòíîñòü ìåæäó ÷àñòîòàìè îòñóòñòâóåò, òî òðàåêòîðèè íå ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè è ïîñòåïåííî çàïîëíÿþò âåñü ïðÿìîóãîëüíèê, íàïîìèíàÿíèòü â êëóáêå.340Ðèñ. 19.8341Ðèñ. 19.9Ôàçîâûé ïîðòðåò êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû.  ëþáîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå ñîäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ñìåùåíèå s (t) è ñêîðîñòü L (t) = ds /dt ìåíÿþòñÿ ñîâðåìåíåì. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü çíà÷åíèÿìè s è L. Íà ïëîñêîñòè (s, L) ýòî ñîñòîÿíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì èçîáðàæàþùåé òî÷êè P (ðèñ.
19.10). Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ïåðåìåùàåòñÿ ïî êðèâîé, êîòîðóþ íàçûâàþò ôàçîâîé òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ.Ïëîñêîñòü ïåðåìåííûõ s è L íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé ïëîñêîñòüþ. Ñåìåéñòâîôàçîâûõ òðàåêòîðèé îáðàçóåò ôàçîâûé ïîðòðåò êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Àíàëèçôàçîâîãî ïîðòðåòà äàåò õîòÿ è íå ïîëíóþ, íî îáøèðíóþ èíôîðìàöèþ î êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå. Ê ïîñòðîåíèþ òàêîãî ïîðòðåòà ïðèáåãàþò òîãäà, êîãäà íåóäàåòñÿ àíàëèòè÷åñêè ðåøèòü óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ñëîæíûå êîëåáàíèÿ. ïåðâóþ î÷åðåäü ýòî îòíîñèòñÿ ê íåëèíåéíûì êîëåáàíèÿì, àíàëèç êîòîðûõ çàòðóäíåí èç-çà îòñóòñòâèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Âíà÷àëå ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà ïðèìåðå ïðîñòåéøèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé âèäàds=s (t) = s0sin (ω0t + ϕ0).
Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü L (t ) =dtπ= s0 ω0 sin ω0t + ϕ0 +îïåðåæàåò ñìåùåíèå ïî ôàçå2íà π / 2, òî ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ áóäåò ýëëèïñîì. Òî÷êà P áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ýëëèïòè÷åñêîé òðàåêòîÐèñ. 19.10(342)ðèè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå [ïðè L > 0 ñìåùåíèå s óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïðè L < 0 óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 19.11)].Ïàðàìåòðû ýëëèïñà îïðåäåëÿþòñÿ ýíåðãèåé, çàïàñåííîé ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì.
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ñìåùåíèÿ:1 2 1 2ks = ks0 sin 2 (ω0 t + ϕ0 ) .(19.24)Ðèñ. 19.1122Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ñêîðîñòè:Eï =11mL 2 = k ω02 s02 cos2 (ω0t + ϕ0 ) .(19.25)22Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî k = mω02, ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî âçàèìîïðåâðàùåíèÿ îäíîãî âèäà ýíåðãèè â äðóãîé çà ïåðèîä ïðîèñõîäÿò äâàæäû. Ïðèýòîì ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé:Eê =1m (ω02 s 2 + L 2 ) .(19.26)2Ðàâåíñòâî (19.26) êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ýëëèïñà, êîòîðîå ìîæíîïåðåïèñàòü â áîëåå óäîáíîì âèäå:E0 = E ï + E ê =s2 +L 2 = 2E0 .22(19.27)ω0 mω0Ôàçîâûé ïîðòðåò ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî ýëëèïñîâ, êàæäîìó èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò ñâîå çíà÷åíèå ýíåðãèè E0,çàïàñåííîé îñöèëëÿòîðîì.
Ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà Î (ðèñ.19.11), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ îñîáîé òî÷êîé òèïà «öåíòð». Ñ óâåëè÷åíèåì ýíåðãèè E0 âîçðàñòàþò àìïëèòóäû êîëåáàíèé ñìåùåíèÿ (s0) è ñêîðîñòè (s0ω0). Êîëåáàíèÿ, êàê ïðàâèëî, ïåðåñòàþò áûòü ãàðìîíè÷åñêèìè, à ôàçîâûå òðàåêòîðèè ýëëèïñàìè.Ïðîàíàëèçèðóåì êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïðè ïðîèçâîëüíûõóãëàõ α îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîòî÷å÷íàÿ ìàññà m ïðèêðåïëåíà íå ê íèòè, à ê æåñòêîìó íåâåñîìîìó ñòåðæíþäëèíîé l (ðèñ. 19.12).
Ïåðâîå èç óðàâíåíèé (19.2) çàïèøåì â âèäåd 2α= −ω02 sin α.(19.28)dt 2Ýòî íåëèíåéíîå óðàâíåíèå íå èìååò àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ; ïîçäíåå ìûïðèâåäåì åãî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå. Îäíàêî ìíîãèå çàêîíîìåðíîñòè òàêèõêîëåáàíèé ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ôàçîâîãî ïîðòðåòà íàdαïëîñêîñòè (α; α& =). Ñ ýòîé öåëüþ óðàâíåíèå (19.28) íàäî ïðåîáðàçîâàòü êdtòàêîìó âèäó, ÷òîáû â íåì îñòàëèñü òîëüêî ýòè ïåðåìåííûå, à âðåìÿ áûëî áûèñêëþ÷åíî.
Äëÿ ýòîãî óãëîâîå óñêîðåíèå â ëåâîé ÷àñòè (19.28) ïðåîáðàçóåì êâèäód 2 α d α& d α& d α d α& & 1 d ( α& 2 )==⋅=⋅α =.dtd α dtdα2 dαdt 2(19.29)343Ïîäñòàâëÿÿ (19.29) â (19.28), ïîëó÷èì:1 (&2)d α = −ω02 sin α d α.2(19.30)Óðàâíåíèå (19.30) îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ïðèðàùåíèåêèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìàÿòíèêà ðàâíî óáûëè åãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Èíòåãðèðóÿ (19.30),íàõîäèìα& 2− ω02 cos α = const .2(19.31)Ïðèíèìàÿ, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ðàâíà íóëþ, êîíñòàíòó ìîæíî âûðàçèòü1Ðèñ. 19.12÷åðåç çàïàñåííóþ ìàÿòíèêîì ýíåðãèþ E 0 = ml 2 α& 02 (α& 0 2óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìàÿòíèêà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ):const =E0− ω02 .ml 2(19.32)Óðàâíåíèå ôàçîâîé òðàåêòîðèè (19.31) îêîí÷àòåëüíî çàïèøåòñÿ â âèäåE01 α& 2 (+ 1 − cos α ) =.2 ω02ml 2 ω02(19.33)Ïðè ýòîì êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè:Eê =1 2&2ml α ; E ï = ml 2 ω02 (1 − cos α ) .2(19.34)Äëÿ íàãëÿäíîñòè ïîñëåäóþùåãî èçëîæåíèÿ çàâèñèìîñòü Eï(α) ïðåäñòàâëåíàíà ðèñ.
19.13, à.Èñïîëüçóÿ (19.33), ïîñòðîèì ôàçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû (ðèñ. 19.13, á ). Îò÷åòëèâî âèäíû äâà òèïà ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, ñîîòâåòñòâóþùèå äâóì òèïàìäâèæåíèÿ. Çàìêíóòûå òðàåêòîðèè, îêðóæàþùèå îñîáûå òî÷êè òèïà «öåíòð» ñ· = 0, α = 2πn (n öåëîå ÷èñëî), ñîîòâåòñòâóþò êîëåáàíèÿìêîîðäèíàòàìè αìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî óñòîé÷èâîãî íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òàêèåêîëåáàíèÿ èìåþò ìåñòî â ñëó÷àå E0 < 2ml 2ω02 = 2mgl (ñì. ðèñ. 19.13, à).
Ïðè ýòîì,åñëè E0 = 2mgl, òî êîëåáàíèÿ áóäóò ãàðìîíè÷åñêèìè, à ôàçîâûå òðàåêòîðèè ýëëèïñàìè. Åñëè E0 X 2mgl, òî êîëåáàíèÿ áóäóò íåãàðìîíè÷åñêèìè. Ïðè óâåëè÷åíèè ýíåðãèè, à çíà÷èò, è àìïëèòóäû êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà èõ ïåðèîä áóäåò âîçðàñòàòü.· = 0, α = (2n − 1)π ñîîòÂåðõíåìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ ñ êîîðäèíàòàìè αâåòñòâóþò îñîáûå òî÷êè òèïà «ñåäëî». Ôàçîâûå êðèâûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç «ñåäëà», íàçûâàþòñÿ ñåïàðàòðèñàìè.
Èì ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèÿ Å0=2mgl.Åñëè, íàêîíåö, E0 > 2mgl, òî ïîëó÷àþòñÿ íåçàìêíóòûå (óáåãàþùèå) òðàåêòîðèè, ñîîòâåòñòâóþùèå âðàùàòåëüíîìó äâèæåíèþ ìàÿòíèêà. Òàêèì îáðàçîì,ñåïàðàòðèñû ðàçäåëÿþò ôàçîâóþ ïëîñêîñòü íà äâå îáëàñòè: îáëàñòü çàìêíóòûõòðàåêòîðèé è îáëàñòü òðàåêòîðèé, ïðèõîäÿùèõ èç áåñêîíå÷íîñòè è óõîäÿùèõ âáåñêîíå÷íîñòü.344Ðèñ. 19.13Îòìåòèì, ÷òî äëÿ íåãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé íåëüçÿ óïîòðåáëÿòü òåðìèí«êðóãîâàÿ ÷àñòîòà», ïîñêîëüêó, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, òàêèå êîëåáàíèÿÿâëÿþòñÿ, êàê ïðàâèëî, ñóïåðïîçèöèåé ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ðàçëè÷íûìè ÷àñòîòàìè.
Ïåðèîä æå ÿâëÿåòñÿ ïî-ïðåæíåìó îäíîé èç ãëàâíûõ õàðàêòåðèñòèê êîëåáàíèé.Ôàçîâûé ïîðòðåò íå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü, êàê áûñòðî äâèæåòñÿ òî÷êà Ð ïîòðàåêòîðèè. Ïåðèîä íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ìîæíîïîëó÷èòü íà îñíîâå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (19.28).Íåãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïðè áîëüøèõ àìïëèòóäàõ, êàê óæå îòìå÷àëîñü, íå áóäóòãàðìîíè÷åñêèìè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà sin α è ïðè áîëüøèõ α ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå òîé «ëèíåéíîé» ñèëû (ïðîïîðöèîíàëüíîé α), êîòîðàÿ âîçâðàùàåò êîëåáëþùóþñÿ ìàññó â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ çà íåèçìåííîå âðåìÿ, ðàâíîå ÷åòâåðòè ïåðèîäà êîëåáàíèé.
Òàêàÿ «ëèíåéíàÿ» ñèëà îáåñïå÷èâàåò íåçàâèñèìîñòü ýòîãî âðåìåíè îò àìïëèòóäû α0, ò. å.èçîõðîííîñòü êîëåáàíèé.Äëÿ àíàëèçà êîëåáàíèé ïðè áîëüøèõ àìïëèòóäàõ α0 çàïèøåì ðàçëîæåíèåsin α â ðÿä:1 3α +K ,(19.35)6â êîòîðîì îòáðîøåíû ÷ëåíû áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ïðîïîðöèîíàëüíûå α5,α7 è ò. ä. Ïîäñòàíîâêà (19.35) â (19.28) ïðèâîäèò ê íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþêîëåáàíèé:sin α = α −ω02 3d 2α2+ωα=α .(19.36)06dt 2Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ óæå íå áóäåò ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
