В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Åñëè èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿω02 = g /l; ω02 = k/m,(19.5)òî óðàâíåíèÿ (19.4) ïðèìóò âèä óðàâíåíèÿ íåçàòóõàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, èëè óðàâíåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðàd 2s= −ω02 s.dt 2(19.6)Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (19.6) ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâî ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèés (t ) = s0 sin (ω0t + ϕ0),(19.7)â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ, äâàæäû ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ôóíêöèþ s (t ) ïî âðåìåíè:ds= s0 ω0 cos (ω0t + ϕ0 ) ;dtd 2s= −s0 ω02 sin (ω0t + ϕ0 ) = −ω02 s.dt 2Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (19.4),åãî ðåøåíèåì ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè (19.7) ñ óãëîâîé ÷àñòîòîé ω0,ðàâíîé êîðíþ êâàäðàòíîìó èç àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà ïðè s.
Çíà÷åíèÿ ýòèõ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè (ïðè t = 0)îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíîé ôàçîé ϕ0 (ñì. íèæå) è àìïëèòóäîé êîëåáàíèé s0. Ó îäíîéè òîé æå ñèñòåìû ýòè çíà÷åíèÿ ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè ïðè ðàçíûõ ñïîñîáàõâîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé.×òîáû âîçáóäèòü ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ, íàäî âíà÷àëå (ïðè t = 0) ëèáîîòêëîíèòü òåëî [çàäàòü íà÷àëüíîå ñìåùåíèå s (0)], ëèáî òîëêíóòü åãî [çàäàòüds ( )íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü0 = L (0 ) ], ëèáî ñäåëàòü è òî, è äðóãîå îäíîâðåìåííî.dtÇíàíèå íà÷àëüíûõ óñëîâèé (ñìåùåíèÿ è ñêîðîñòè) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü àìïëèòóäó s0 è íà÷àëüíóþ ôàçó êîëåáàíèé ϕ0 èç óðàâíåíèé:s(0) = s (t)|t = 0 = s0 sin (ω0t + ϕ0)|t = 0 = s0 sin ϕ0;L (0 ) = dsdtt =0= s0 ω0 cos (ω0t + ϕ0 ) t=0 = s0 ω0 cos ϕ0 .(19.8)(19.9)335Ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé èìååò âèäs0 =s 2 (0 ) +L 2 (0 ) ; ϕ = arctg ω0 s (0 ) .0L (0 )ω02(19.10)Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè íàëè÷èè íà÷àëüíîãî òîë÷êà àìïëèòóäà êîëåáàíèés0, ðàâíàÿ ìàêñèìàëüíîìó ñìåùåíèþ òåëà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ìîæåòïðåâûøàòü íà÷àëüíîå ñìåùåíèå s (0).Íàðÿäó ñ óãëîâîé ÷àñòîòîé ω0 êîëåáàíèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ ÷àñòîòîé ν0 = ω0/2π,ðàâíîé ÷èñëó êîëåáàíèé â åäèíèöó âðåìåíè, è ïåðèîäîì êîëåáàíèé T = 1/ν0,ðàâíûì äëèòåëüíîñòè îäíîãî êîëåáàíèÿ.
Ïåðèîä ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé (ðàâíî êàê è ÷àñòîòû ω0 è ν0) íå çàâèñèò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé è ðàâåíT = 2π l g ; T = 2π m k .(19.11)Äðóãèì ïðèìåðîì ÿâëÿþòñÿ êîëåáàíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (ðèñ. 19.2) òåëà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ìàññîé m, çàêðåïëåííîãî íà ãîðèçîíòàëüíîé îñè,ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ðèñóíêà è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O ′. Öåíòðìàññ òåëà íàõîäèòñÿ â òî÷êå O, óäàëåííîé îò îñè íà ðàññòîÿíèå à. Ïðè îòêëîíåíèè ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè íà íåáîëüøîé óãîë α îí áóäåò ñîâåðøàòü ñâîáîäíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè, ïðèëîæåííîé êöåíòðó ìàññ.
Óðàâíåíèå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäåJd 2α= M = −mga sin α,dt 2(19.12)ãäå J ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ.Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè âðàùåíèè, íàïðèìåð, ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè óãîëα óâåëè÷èâàåòñÿ, òî ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè Ì âûçûâàåò óìåíüøåíèå ýòîãî óãëàè, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè α > 0 ìîìåíò M < 0. Ýòî è îòðàæàåò çíàê ìèíóñ â ïðàâîé÷àñòè (19.12).Äëÿ ìàëûõ óãëîâ îòêëîíåíèÿ óðàâíåíèå (19.12)ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèémgad 2α=−α,Jdt 2(19.13)èç êîòîðîãî ñðàçó ÿñíî, ÷òî ÷àñòîòà ω0 è ïåðèîä Òêîëåáàíèé ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:ω0 =mgaJ; T = 2π.Jmga(19.14)Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî (19.14) è ìàòåìàòè÷åñêîãî (19.11) ìàÿòíèêîâ, ëåãêî âèäåòü, ÷òî îáà ïåðèîäà ñîâïàäàþò, åñëèÐèñ.
19.2336J= l.ma(19.15)Ïîýòîìó ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê õàðàêòåðèçóåòñÿ ïðèâåäåííîé äëèíîé (19.15), êîòîðàÿ ðàâíà äëèíå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ òàêèì æå ïåðèîäîì êîëåáàíèé.Ïåðèîä êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (à ñëåäîâàòåëüíî, è åãî ïðèâåäåííàÿ äëèíà l ) íåìîíîòîííî çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ à. Ýòî ëåãêî çàìåòèòü,åñëè, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ãþéãåíñà Øòåéíåðà, ìîìåíò èíåðöèè Jâûðàçèòü ÷åðåç ìîìåíò èíåðöèè J0 îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíîé ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ: J = J0 + ma2. Òîãäà ïåðèîä êîëåáàíèé(19.14) áóäåò ðàâåíT = 2πJ 0 + ma 2.mga(19.16)Èçìåíåíèå ïåðèîäà êîëåáàíèé ïðè óäàëåíèè îñè âðàùåíèÿ îò öåíòðà ìàññO â îáå ñòîðîíû íà ðàññòîÿíèå à ïîêàçàíî íà ðèñ.
19.3. Âèäíî, ÷òî îäèí è òîòæå ïåðèîä êîëåáàíèé ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ îòíîñèòåëüíî ëþáîé èç ÷åòûðåõîñåé, ðàñïîëîæåííûõ ïîïàðíî ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò öåíòðà ìàññ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóììà ðàññòîÿíèé a1+ è a2+ ðàâíà ïðèâåäåííîé äëèíå ôèçè÷åñêîãîìàÿòíèêà: l = a1+ + a2+.  ñèëó ñèììåòðèè ãðàôèêà ÿñíî, ÷òîl = a2+ + a1−.(19.17)Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò äëÿ ëþáîé îñè âðàùåíèÿ O + îïðåäåëèòü ñîïðÿæåííóþ îñü O −. Ïåðèîäû êîëåáàíèé îòíîñèòåëüíî ýòèõ îñåé îäèíàêîâû, àðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè ðàâíî ïðèâåäåííîé äëèíå ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Íàðèñ. 19.4 èçîáðàæåíû ïîëîæåíèÿ îñåé O + è O −, ïðè ýòîì îñü âðàùåíèÿ, óäàëåííàÿ íà ðàññòîÿíèå a2−, ïðè òàêîé ôîðìå ìàÿòíèêà íàõîäèòñÿ âíå åãî.Ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê ïðèìåíÿþò äëÿ èçìåðåíèÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Ñ ýòîé öåëüþ îïðåäåëÿþò çàâèñèìîñòü ïåðèîäà êîëåáàíèé ìàÿòíèêà îòïîëîæåíèÿ îñè âðàùåíèÿ è ïî ýòîé ýêñïåðèìåíòàëüíîé çàâèñèìîñòè íàõîäÿò,â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (19.17), ïðèâåäåííóþ äëèíó.
Îïðåäåëåííàÿ òàêèìîáðàçîì ïðèâåäåííàÿ äëèíà â ñî÷åòàíèè ñ èçìåðåííûì ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþïåðèîäîì êîëåáàíèé îòíîñèòåëüíî îáåèõ îñåé ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü óñêîðåíèåñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè òàêîì ñïîñîáå èçìåðåíèé íåòðåáóåòñÿ îïðåäåëÿòü ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâ ïîâûøàåòòî÷íîñòü èçìåðåíèé.Ðèñ. 19.3Ðèñ.
19.4337Ìåòîä âåêòîðíûõ äèàãðàìì. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (19.7) äîïóñêàþò íàãëÿäíóþ ãðàôè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Åå ñìûñë ñîñòîèò â òîì, ÷òî êàæäîìóãàðìîíè÷åñêîìó êîëåáàíèþ ñ óãëîâîé ÷àñòîòîé ω0 ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå âðàùàþùèéñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω0 âåêòîð, äëèíà êîòîðîãî ðàâíààìïëèòóäå s0, à åãî íà÷àëüíîå (ñòàðòîâîå) ïîëîæåíèå çàäàåòñÿ óãëîì ϕ0, ñîâïàäàþùèì ñ íà÷àëüíîé ôàçîé (ðèñ. 19.5).Âåðòèêàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà s0 èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì: s (t) = s0 sin ϕ (t ).Ìãíîâåííîå ïîëîæåíèå âåêòîðà s0 îïðåäåëÿåòñÿ óãëîì ϕ (t ), êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ôàçîé:ϕ (t ) = ω0t + ϕ0.(19.18)Ïðè óãëîâîé ñêîðîñòè (óãëîâîé ÷àñòîòå) ω0 âåêòîð ñîâåðøàåò ν0 = ω0 /2πîáîðîòîâ (öèêëîâ) â ñåêóíäó, à ïðîäîëæèòåëüíîñòü îäíîãî îáîðîòà (ïåðèîä)ñîñòàâëÿåò T = 2π/ω0.Ñ ïîìîùüþ âåêòîðíûõ äèàãðàìì ëåãêî îñóùåñòâèòü ñëîæåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.
Òàê, åñëè íåîáõîäèìî ñëîæèòü äâà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿ ñîäèíàêîâûìè ÷àñòîòàìè:s (t) = s1(t) + s2(t) = s01 sin (ω0t + ϕ1) + s02 sin (ω0t + ϕ2) = s0 sin (ω0t + ϕ0),òî àìïëèòóäó s0 è íà÷àëüíóþ ôàçó ϕ0 ñóììàðíîãî êîëåáàíèÿ s (t) ñ òîé æå÷àñòîòîé ω0 ìîæíî ðàññ÷èòàòü èç ðèñ. 19.6, íà êîòîðîì ïîêàçàíî ñëîæåíèåâåêòîðîâ s01 è s02 â ìîìåíò âðåìåíè t = 0:s0 =( s01 cos ϕ1 + s02 cos ϕ2 )2 + ( s01 sin ϕ1 + s02 sin ϕ2 )2 ;ϕ0 = arctgs01 sin ϕ1 + s02 sin ϕ2.s01 cos ϕ1 + s02 cos ϕ2ßñíî, ÷òî âåðòèêàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà s0 áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ òîé æå ÷àñòîòîé ω0, ïîñêîëüêó âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âåêòîðîâ s01 è s02 íå èçìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.
Êàê âèäíî èç ýòîé äèàãðàììû, ñóììàðíîå êîëåáàíèå s (t) îïåðåæàåò ïî ôàçå êîëåáàíèå s1(t) è îòñòàåò ïîÐèñ. 19.5338Ðèñ. 19.6Ðèñ. 19.7ôàçå îò êîëåáàíèÿ s2(t). Ïîëíàÿ ôàçà äëÿ êàæäîãî èç òðåõ êîëåáàíèé â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îòëè÷àåòñÿ îò èõ íà÷àëüíûõ ôàç íà îäíó è òó æåâåëè÷èíó ω0t, êîòîðóþ ïðè ïîñòðîåíèè âåêòîðíûõ äèàãðàìì íå ó÷èòûâàþò.Ñëîæåíèå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé. Ðàññìîòðèì êîëåáàòåëüíóþñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç íåáîëüøîãî ãðóçà ìàññîé m è ÷åòûðåõ ñâÿçàííûõ ñ íèìíåâåñîìûõ ïðóæèí (ðèñ. 19.7) óñëîæíåííûé âàðèàíò ïðèâåäåííîãî âûøåïðóæèííîãî ìàÿòíèêà.Åñëè ãðóç äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè (íà ðèñóíêåïîêàçàí âèä ñâåðõó), òî åãî ïîëîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ êîîðäèíàòàìè: s1(t)è s2(t). Òàêàÿ ñèñòåìà îáëàäàåò äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Áóäåì ñ÷èòàòü ñìåùåíèÿ ìàëûìè, ÷òîáû, âî-ïåðâûõ, âûïîëíÿëñÿ çàêîí Ãóêà, è, âî-âòîðûõ, ïðèñìåùåíèè âäîëü íàïðàâëåíèÿ s1 äåôîðìàöèè ïðóæèí ñ æåñòêîñòüþ k2 íå ïðèâîäèëè ê ñêîëüêî-íèáóäü çàìåòíîìó âêëàäó â âîçâðàùàþùóþ ñèëó F1 = −2k1s1.Àíàëîãè÷íî, ïðè ñìåùåíèè â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè s2 âîçâðàùàþùàÿ ñèëà F2 = −2k2s2. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ êîëåáàíèÿ â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ ïðîèñõîäÿò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà:s1(t) = s01 sin (ω01t + ϕ1); s2(t) = s02 sin (ω02t + ϕ2).(19.19)Çäåñü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè:ω01 = 2k1 m; ω02 = 2k2 m,(19.20)à àìïëèòóäû è íà÷àëüíûå ôàçû îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.Ïðè âîçáóæäåíèè êîëåáàíèé â òàêîé ñèñòåìå ïðè ïðîèçâîëüíîì ñîîòíîøåíèè ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ω01 è ω02 òðàåêòîðèÿ êîëåáëþùåãîñÿ ãðóçà ìîæåò áûòüâåñüìà ñëîæíîé.
Åå, â ïðèíöèïå, ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîò ôàêò, ÷òî ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå ãðóçà ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåéäâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íåçàâèñèìûõ êîëåáàíèé.339Ðàññìîòðèì âíà÷àëå äâèæåíèå ãðóçà â ñëó÷àå ω01 = ω02 = ω0 (æåñòêîñòè âñåõïðóæèí îäèíàêîâû). ×òîáû ïîëó÷èòü òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ, èñêëþ÷èì èç (19.19)òåêóùåå âðåìÿ. Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì (19.19) â âèäås1= sin ω0 t cos ϕ1 + cos ω0 t sin ϕ1 ;s01s2= sin ω0t cos ϕ2 + cos ω0t sin ϕ2 .s02(19.21)Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå (19.21) íà cos ϕ2, à âòîðîå íà cos ϕ1 è âû÷òåìâòîðîå óðàâíåíèå èç ïåðâîãî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èìs1scos ϕ2 − 2 cos ϕ1 = cos ω0t sin (ϕ1 − ϕ2 ) .s01s02(19.22à)Òåïåðü óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà sin ϕ2, à âòîðîå íà sin ϕ1, ïîâòîðèìâû÷èòàíèå è ïîëó÷èìs1ssin ϕ2 − 2 sin ϕ1 = sin ω0t sin (ϕ2 − ϕ1 ) .s01s02(19.22á)Íàêîíåö, âîçâåäåì â êâàäðàò êàæäîå èç ðàâåíñòâ (19.22) è ñëîæèì èõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
