В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Ñ ó÷åòîì(18.6) (h ≈ R) ýòà ðàáîòà ïðè ïåðåìåùåíèè åäèíè÷íîãî îáúåìà íà ðàññòîÿíèå lîïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì:A = fxl ≈ηLl.R2(18.7)Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ åäèíè÷íîãîîáúåìà æèäêîñòè ñ ïëîòíîñòüþ ρT = ρL 2/ 2.(18.8)Ðèñ. 18.4309Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïðåíåáðåæåíèÿ âÿçêîñòüþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäåηLρL 2l =.22R(18.9)Ïîñêîëüêó îöåíêà ïðîâîäèòñÿ ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû, òî ìîæíî ïîëîæèòül ≈ R è îïóñòèòü ÷èñëîâîé êîýôôèöèåíò â (18.9).  èòîãå ïîëó÷èìρLR/η ? 1.(18.10)Re = ρLR/η(18.11)Áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíàíàçûâàåòñÿ ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà.
×åì ìåíüøå Re, òåì áîëüøóþ ðîëü â äâèæåíèèæèäêîñòè èãðàþò ñèëû âÿçêîñòè. Åñëè, íàïðèìåð, õàðàêòåðíûé ðàçìåð òðóáû,ïî êîòîðîé òå÷åò æèäêîñòü èëè ãàç, î÷åíü ìàë, òî äàæå ïðè íåáîëüøîé âÿçêîñòè Re áóäåò íåçíà÷èòåëüíî, è ñèëû òðåíèÿ áóäóò èãðàòü ñóùåñòâåííóþ ðîëü.Íàîáîðîò, åñëè ðàçìåð òðóáû âåëèê, òî äàæå ïðè çíà÷èòåëüíîé âÿçêîñòè ñèëûòðåíèÿ íå èãðàþò îïðåäåëÿþùåé ðîëè.Òàêèì îáðàçîì, òåêóùóþ æèäêîñòü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåâÿçêóþ, åñëè÷èñëî Ðåéíîëüäñà äëÿ òàêîãî òå÷åíèÿ Re ? 1. Îäíàêî è â ýòîì ñëó÷àå âÿçêîñòüèãðàåò îïðåäåëåííóþ âñïîìîãàòåëüíóþ ðîëü.
Ïðè íå î÷åíü âûñîêèõ ñêîðîñòÿõòå÷åíèÿ ñèëû âÿçêîñòè «ãàñÿò» êîìïîíåíòû ñêîðîñòè æèäêîñòè, ïîïåðå÷íûå êïîòîêó, ïðåïÿòñòâóÿ òåì ñàìûì âîçíèêíîâåíèþ íåóñòîé÷èâîãî òå÷åíèÿ è îáåñïå÷èâàÿ ëàìèíàðíîñòü ïîòîêà.Ïðèâåäåì íåêîòîðûå îöåíêè äëÿ òå÷åíèÿ æèäêîñòè ïî êðóãëîé òðóáå ðàäèóñîì R.
Åñëè R = 1 ñì, à ñêîðîñòü òå÷åíèÿ L = 1 ñì/ñ, òî äëÿ âîäû (ρ = 103 êã/ì3,η = 1,15 ⋅ 10−3 Ïà ⋅ ñ ïðè t = 15 °Ñ) Re = 86. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëû âÿçêîñòè íåñóùåñòâåííû, è âîäó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåâÿçêóþ æèäêîñòü. Îäíàêî ýòîïðèáëèæåíèå ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì, åñëè ðàäèóñ òðóáû óìåíüøèòü íà äâàïîðÿäêà, è Re = 0,86 < 1.
Ïðè òàêîì òå÷åíèè ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé è ñêîðîñòåé â ïîòîêå óæå íå ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ Áåðíóëëè. Åùå â áîëüøåé ñòåïåíèýòî îòíîñèòñÿ ê âÿçêîìó ãëèöåðèíó (η = 1,4 Ïà ⋅ ñ). Ïðè òå÷åíèè âîçäóõà ïî òðóáå(ρ = 1,3 êã/ì3, η = 1,8 ⋅ 10−5 Ïà ⋅ ñ) ÷èñëî Ðåéíîëüäñà ïðèáëèçèòåëüíî íà ïîðÿäîêìåíüøå åãî çíà÷åíèÿ äëÿ âîäû. Ýòî óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ñèëû âÿçêîñòè ïðèòå÷åíèè âîçäóõà è äðóãèõ ãàçîâ èãðàþò áëüøóþ ðîëü, ÷åì ïðè òå÷åíèè âîäû.Ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé îïûò. Ïîäñîåäèíèì òîíêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñòåêëÿííóþ òðóáó (ñ âïàÿííûìè â íåå âåðòèêàëüíûìè ìàíîìåòðè÷åñêèìè òðóáêàìè) ïðè ïîìîùè ðåçèíîâîãî øëàíãà ê âîäîïðîâîäíîìó êðàíó (ðèñ.
18.5). Ïðè íåáîëüøîé ñêîðîñòè òå÷åíèÿ õîðîøî âèäíî ïîíèæåíèå óðîâíÿâîäû â ìàíîìåòðè÷åñêèõ òðóáêàõ â íàïðàâëåíèè òå÷åíèÿ (h1 > h2 > h3). Ýòîóêàçûâàåò íà íàëè÷èå ãðàäèåíòà äàâëåíèÿ âäîëü îñè òðóáêè ñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå æèäêîñòè óìåíüøàåòñÿ ïî ïîòîêó. Ïðè ðàâíîìåðíîì ïðÿìîëèíåéíîìòå÷åíèè ñèëû äàâëåíèÿ óðàâíîâåøèâàþòñÿ ñèëàìè âÿçêîñòè.
Óðàâíåíèå Íàâüå Ñòîêñà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ çàïèøåòñÿ â âèäå−grad p + ηΔv = 0.(18.12)Ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ïîòîêà âÿçêîé æèäêîñòèìîæíî íàáëþäàòü ïðè åå âûòåêàíèè èç âåðòèêàëüíîé òðóáêè ÷åðåç óçêîå îò310Ðèñ. 18.5Ðèñ. 18.7Ðèñ. 18.6âåðñòèå (ðèñ. 18.6). Åñëè, íàïðèìåð, ïðè çàêðûòîì êðàíå Ê â òðóáêó íàëèòüâíà÷àëå íåïîäêðàøåííûé ãëèöåðèí, à çàòåì ñâåðõó îñòîðîæíî äîáàâèòü ïîäêðàøåííûé, òî â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ãðàíèöà ðàçäåëà à áóäåò ãîðèçîíòàëüíîé. Åñëè êðàí Ê îòêðûòü, òî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ãðàíèöà ðàçäåëàïðèìåò ôîðìó, ïîõîæóþ íà ïàðàáîëîèä, ÷òî óêàçûâàåò íà ñóùåñòâîâàíèåðàñïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòåé â ñå÷åíèè òðóáêè.
Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî íàéòè,ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå (18.12), çàïèñàííîå â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (x, r). Îäíàêî ìîæíî ïîñòóïèòü ïðîùå. Ïðèðàâíÿåì íóëþ ñóììó ñèë âÿçêîñòè è äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà öèëèíäðè÷åñêèé îáúåì æèäêîñòè ðàäèóñîì rè äëèíîé dx (ðèñ. 18.7):dL⎡⎣ p ( x ) − p ( x + dx )⎤⎦ πr 2 + η2πrdx= 0.dr(18.13)Îòìåòèì, ÷òî ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë äàâëåíèÿ íàïðàâëåíà ïî ïîòîêó (âäîëüîñè x), à ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðèëîæåííàÿ ê áîêîâîé ïîâåðõíîñòè âûäåëåídLíîãî öèëèíäðà ïðîòèâ ïîòîêà, ïîñêîëüêó< 0.
Ïðîèçâåäÿ ñîêðàùåíèå èdrðàçäåëèâ (18.13) íà dx, ïîëó÷àåì:−Âåëè÷èíà ãðàäèåíòàdp2 dL+η= 0.dxr dr(18.14)dpâ (18.14) íå çàâèñèò îò ðàäèóñà r, ÷òî ïîçâîëÿåòdxëåãêî ïðîèíòåãðèðîâàòü (18.14):rLdprdr = 2η∫ d L .dx R∫0(18.15)311Ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ çàïèñàíû çäåñü ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ó ñòåíîê òðóáûñêîðîñòü ðàâíà íóëþ.  èòîãå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé:dp ( 2R − r 2 ).L (r ) = − 1(18.16)4η dxdp> 0 è íådxçàâèñèò îò x.
Ïàðàáîëè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé (18.16) â îäíîì èç ñå÷åíèé òðóáû èçîáðàæåíî íà ðèñ. 18.7. Ïîòîê âåêòîðà ñêîðîñòè ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå òðóáû, èëè îáúåì æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé ÷åðåç ñå÷åíèå â åäèíèöó âðåìåíè (íà ïðàêòèêå óïîòðåáëÿþò òåðìèí «îáúåìíûé ðàñõîä æèäêîñòè»), îêàçûâàåòñÿ ðàâíûìÄàâëåíèå ðàâíîìåðíî ïàäàåò â íàïðàâëåíèè îñè x, ïîýòîìó −RQV = ∫ L dS = ∫ L (r ) 2πrdr =0πR 48η⎛ dp ⎞⎜−⎟.⎝ dx ⎠(18.17)Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé îáúåìíûé ðàñõîä æèäêîñòè îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëåÏóàçåéëÿQV =πR 4 p1 − p2.l8η(18.18)Çäåñü ðàñõîä âîäû QV ïðîïîðöèîíàëåí ðàçíîñòè äàâëåíèé p1 − p2 íà êîíöàõòðóáû äëèíîé l.
Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ñóùåñòâåííóþ çàâèñèìîñòü ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè òðóáû îò åå ðàäèóñà R. Ïðè çàäàííîì äàâëåíèè íà âõîäåâîäîïðîâîäíîé ñåòè óâåëè÷åíèå äèàìåòðà òðóá âäâîå ïðèâîäèò ê ïîâûøåíèþèõ ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè â 16 ðàç!Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Ïóàçåéëÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü âÿçêîñòü æèäêîñòè. Òàê,â îïûòå ñ ãîðèçîíòàëüíîé ñòåêëÿííîé òðóáêîé (ñì. ðèñ. 18.5) ëåãêî èçìåðèòüðàçíîñòü äàâëåíèé è ðàñõîä æèäêîñòè è ïðè èçâåñòíîì ðàäèóñå òðóáêè ðàññ÷èòàòü âÿçêîñòü æèäêîñòè. Îäíàêî áîëåå óäîáíî îïðåäåëÿòü âÿçêîñòü æèäêîñòè ïîìåòîäó Ñòîêñà, èçìåðÿÿ âðåìÿ ïàäåíèÿ øàðèêà â ýòîé æèäêîñòè (ñì. íèæå).Ïàðàáîëè÷åñêèé ïðîôèëü ñêîðîñòè ñëîåâ áóäåò è ïðè òå÷åíèè æèäêîñòèìåæäó äâóìÿ ïëàñòèíàìè, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 18.4.
Åñëè ýòîò ðèñóíîêðàçðåçàòü ïîñåðåäèíå íà âûñîòå h/ 2 è íàêëîíèòü íèæíþþ ïëàñòèíó ïîä óãëîìα, òî ìû ïîëó÷èì êàðòèíó òå÷åíèÿ âîäû â ðåêå ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè(ðèñ. 18.8). Ïðè ðàñ÷åòå ïðîôèëÿ ñêîðîñòåé òå÷åíèÿ âìåñòî ãðàäèåíòà äàâëåíèÿdpìîæíî èñïîëüçîâàòü êîìïîíåíòó ñèëû òÿæåñòè fx = ρg sin α.dxËàìèíàðíîå è òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå.Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê âîïðîñó îá óñòîé÷èâîñòè òå÷åíèÿ æèäêîñòè ïî òðóáàì.Ñ ýòîé öåëüþ ïîñòàâèì ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò. Ïóñòü æèäêîñòü âûòåêàåò èç ñîñóäà ÷åðåç ãîðèçîíòàëüíóþ ñòåêëÿííóþòðóáêó (ðèñ.
18.9). Äëÿ êîíòðîëÿ çà õàðàêòåðîì òå÷åíèÿ áóäåì ïðè ïîìîùè êàïèëëÿðà K âïóñêàòü âî âõîäíîå ñå÷åíèå òðóáêè òó æå, íî îêðàøåííóþ æèäêîñòü.Ðèñ. 18.8312 ñëó÷àå ìàëîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðóáêè è íåî÷åíü áîëüøîé ñêîðîñòè òå÷åíèÿ îêðàøåííàÿ æèäêîñòü äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî ñòðîãî âäîëü îñè òðóáêè (ðèñ. 18.10, à)*. Òàêîå òå÷åíèå íàçûâàþò ëàìèíàðíûì, èëè ñëîèñòûì. Ïðè ëàìèíàðíîì òå÷åíèè ñèëûâÿçêîñòè ñãëàæèâàþò áîêîâûå äâèæåíèÿ æèäêîñòè,âîçíèêàþùèå âñëåäñòâèå ôëóêòóàöèé è ðàçëè÷íûõíåðîâíîñòåé ñòåíîê òðóáû.
Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè ýòè áîêîâûå äâèæåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ âñå áîëååçàìåòíûìè (ðèñ. 18.10, á ), è çàòåì îñóùåñòâëÿåòñÿÐèñ. 18.9ïåðåõîä ê òóðáóëåíòíîìó òå÷åíèþ (ðèñ. 18.10, â). Ïðèòóðáóëåíòíîì òå÷åíèè ñêîðîñòü â êàæäîé òî÷êå íåîñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, à ïðåòåðïåâàåò áûñòðûå áåñïîðÿäî÷íûå èçìåíåíèÿ êàêïî âåëè÷èíå, òàê è ïî íàïðàâëåíèþ.
Ïåðåõîä îò ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ ê òóðáóëåíòíîìó ïðîèñõîäèò ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè ÷èñëà ÐåéíîëüäñàRe =ρL R= Re êð ,η(18.19)ãäå Reêð êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ÷èñëà Ðåéíîëüäñà, â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíèçàâèñÿùåå îò ôîðìû âõîäíîé ÷àñòè òðóáû è îïðåäåëÿåìîå îïûòíûì ïóòåì. ñëó÷àå çàêðóãëåííîãî êîíöà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 18.9, òå÷åíèå îñòàåòñÿëàìèíàðíûì âïëîòü äî áîëüøèõ çíà÷åíèé ÷èñëà Ðåéíîëüäñà.
Îáëàñòü êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ëåæèò ìåæäó 1200 (íåçàêðóãëåííûé âõîä) è 20 000 (çàêðóãëåííûé âõîä). Ïîýòîìó â ëèòåðàòóðå ïðèâîäÿòñÿ âåñüìà ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ Reêð.àáâÐèñ. 18.10* Ðèñóíêè 18.10, 18.13, 18.22, 24.12 âçÿòû èç Àëüáîìà òå÷åíèé æèäêîñòè è ãàçà (Ì. Âàí-Äàéê. Ì.: Ìèð, 1986).313Ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ òóðáóëåíòíîìòå÷åíèè, êàê áûëî óêàçàíî âûøå, ñêîðîñòü â êàæäîé òî÷êå ñëó÷àéíûì îáðàçîì ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì, îäíàêî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ìv í íàïðàâëåíà âäîëü îñèòðóáû. Îíà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïî ñåÐèñ.
18.11÷åíèþ òðóáû, è òîëüêî â î÷åíü òîíêîìïîãðàíè÷íîì ñëîå ó åå ñòåíîê ïàäàåò äî íóëÿ (ðèñ. 18.11).Íà ïðàêòèêå äëÿ ðàñ÷åòà òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ æèäêîñòè ïî òðóáå èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëàp1 − p2 = k ρ L2l,R(18.20)ãäå k áåçðàçìåðíûé ãèäðàâëè÷åñêèé êîýôôèöèåíò.Ñðåäíÿÿ æå ïî ñå÷åíèþ ñêîðîñòü ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ èç ôîðìóëû Ïóàçåéëÿ (18.18) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîéL =QVR 2 p1 − p2=.2l8ηπR(18.21)Ðàçíîñòü äàâëåíèé êàê ôóíêöèÿ ñêîðîñòè îïðåäåëÿåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëîép1 − p2 =8ηL l .RR(18.22)Åñëè ñðàâíèòü ïåðåïàäû äàâëåíèé äëÿ òóðáóëåíòíîãî (18.20) è ëàìèíàðíîãî (18.22) òå÷åíèé, òî ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïîâûøåíèå ñêîðîñòè ïðîêà÷êèæèäêîñòè ïî òðóáàì ïðè òóðáóëåíòíîì òå÷åíèè ïîòðåáóåò çíà÷èòåëüíî áîëüøåãî óâåëè÷åíèÿ ïåðåïàäà äàâëåíèé, ÷åì ïðè ëàìèíàðíîì. Èçâåñòåí èñòîðè÷åñêèé ôàêò, êîãäà íåôòåïðîâîä, ïðîëîæåííûé â Ðîññèè, áûë ñïðîåêòèðîâàííà îñíîâå ôîðìóëû (18.20).
Îäíàêî ïðè ïðèëîæåííîé ðàçíîñòè äàâëåíèé ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü íåôòåïðîâîäà îêàçàëàñü âûøå ðàñ÷åòíîé. Îøèáêà ïðîåêòà (ê ñ÷àñòüþ, óäà÷íàÿ) ñîñòîÿëà â òîì, ÷òî íåñìîòðÿ íà áîëüøîé äèàìåòðòðóá, òå÷åíèå âÿçêîé íåôòè ïî íèì áûëî ëàìèíàðíûì, è ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü íåôòåïðîâîäà äîëæíà áûëà áû ðàññ÷èòûâàòüñÿ ïî ôîðìóëå (18.22).Ôîðìóëû (18.20) è (18.22) ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíó, åñëè ïðèíÿòü, ÷òîáåçðàçìåðíûé ãèäðàâëè÷åñêèé êîýôôèöèåíò â(18.20) çàâèñèò îò ÷èñëà Ðåéíîëüäñà:k = k0 + 8/Re.Ðèñ. 18.12314Òîãäà ïðè Re > Reêð òå÷åíèå òóðáóëåíòíîå èêîýôôèöèåíò k ≈ k0. Íàïðîòèâ, ïðè Re ≤ 1k ≈ 8/Re è ôîðìóëà (18.20) ïåðåõîäèò â (18.22).Íà ðèñ. 18.12 èçîáðàæåí ãðàôèê çàâèñèìîñòèïåðåïàäà äàâëåíèÿ â òðóáàõ îò ñêîðîñòè òå÷åíèÿ.
Îäíàêî, åñëè äâèãàòü òðóáó îòíîñèòåëüíîíåïîäâèæíîé æèäêîñòè, òî êðèâóþ íà ðèñ. 18.12â íåêîòîðîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî èíòåðïðåòè-ðîâàòü êàê çàâèñèìîñòü ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà åäèíèöó ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðóáû, îò ñêîðîñòè åå äâèæåíèÿ. Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè, à ïðè áîëüøèõ êâàäðàòóñêîðîñòè.Ïðè ñâîáîäíîì ëàìèíàðíîì òå÷åíèè æèäêîñòè èëè ãàçà (â îòñóòñòâèå íàïðàâëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé) ðàçâèâàþòñÿ íåóñòîé÷èâîñòè, è ëàìèíàðíîå òå÷åíèå ïåðåõîäèò â òóðáóëåíòíîå. Íà ðèñ.
18.13 ïîêàçàí ëàìèíàðíûé ïîòîê âîçäóõà, âûòåêàþùåãî èç êðóãëîé òðóáû ïðè ÷èñëå Re = 10000. Âî âíåøíåé îáëàñòèñòðóè ðàçâèâàþòñÿ êîëåáàíèÿ, çàòåì ïîÿâëÿþòñÿ âèõðåâûå êîëüöà, ïîñëå ÷åãîâñÿ ñòðóÿ ñòàíîâèòñÿ òóðáóëåíòíîé. Äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè íåò ÿñíîãî ïîíèìàíèÿ âñåõ ñòàäèé ðàçâèòèÿ òóðáóëåíòíîñòè. Êëàññè÷åñêàÿ ëèíåéíàÿ òåîðèÿóñòîé÷èâîñòè äàåò êà÷åñòâåííî âåðíîå îïèñàíèå íà÷àëüíîé ñòàäèè ðàçðóøåíèÿ ëàìèíàðíîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
