В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà îáå ñòåíêè, íàïðàâëåíà âñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ íàïðàâëåíèþ èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè. Ïîä äåéñòâèåìýòîé ñèëû, íàçûâàåìîé òàêæå ðåàêòèâíîé, òåëåæêà ñ ïîñòàâëåííûì íà íååñîñóäîì ìîæåò ïðèéòè â äâèæåíèå. Âåëè÷èíó ýòîé ñèëû ëåãêî ïîäñ÷èòàòü,èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òîððè÷åëëè. Ïî III çàêîíó Íüþòîíà èñêîìàÿ ñèëà ðàâíà ïîâåëè÷èíå ñèëå, ñ êîòîðîé ñòåíêè ñîñóäà äåéñòâóþò íà æèäêîñòü, âûçûâàÿ èçìåíåíèå åå èìïóëüñà â íàïðàâëåíèè èñòå÷åíèÿ. Ïîñêîëüêó ìàññà æèäêîñòè,âûòåêàþùåé â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç îòâåðñòèå ñ ñå÷åíèåì S, ðàâíà ρvS, òîèçìåíåíèå èìïóëüñà â åäèíèöó âðåìåíè ñîñòàâèò âåëè÷èíó ρv 2S. Ïîýòîìó ðåàêòèâíàÿ ñèëàF = ρv 2S = 2ρgHS.(17.19)Ýòà ôîðìóëà âïåðâûå áûëà ïîëó÷åíà È.
Áåðíóëëè.Åñëè áû ìû îøèáî÷íî ïðèíÿëè, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ñ ãëóáèíîé óïðàâîé ñòåíêè òàêîå æå, êàê ó ëåâîé, òî ðåàêòèâíàÿ ñèëà ïîëó÷èëàñü áû âäâîåìåíüøåé:F ′ = ρgH S,(17.20)ãäå ρgH ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå íà ãëóáèíå H ; S ïëîùàäü îòâåðñòèÿ âïðàâîé ñòåíêå.Îòìåòèì, ÷òî ìîæíî äîáèòüñÿ îäèíàêîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèé ó îáåèõ ñòåíîê, åñëè êîíåö òðóáêè ñ îñòðîé êðîìêîé îòîäâèíóòü îò ïðàâîé ñòåíêèâãëóáü ñîñóäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 17.9.  ýòîì ñëó÷àå ðåàêòèâíàÿ ñèëà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (17.20).  (17.19) âìåñòî ñå÷åíèÿ òðóáêè S íàäî ïîäñòàâèòüñå÷åíèå ñòðóè â òðóáêå Sñ = kS, ãäå êîýôôèöèåíò èñòå÷åíèÿ k ≈ 1 / 2. ßñíî, ÷òîïðè òàêîì èñòå÷åíèè òðóáêà áóäåò çàïîëíåíà æèäêîñòüþ ïðèáëèçèòåëüíî íàïîëîâèíó.Ðåàêòèâíóþ ñèëó ìîæíî óâåëè÷èòü, åñëè ïîâûñèòü ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè.
Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü çàìêíóòûé ñâåðõó ñîñóä, à íàä ñâîáîä295íîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè ñîçäàòü äàâëåíèå p1 > p0. Òîãäà ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿïîëó÷àåòñÿ ðàâíîép1 − p0 ⎞⎛(17.21),ρ ⎟⎠⎝à ðåàêòèâíàÿ ñèëà âîçðàñòàåò ëèíåéíî ñ ïîâûøåíèåì èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿΔp = p1 − p0 íàä ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè.Ãèäðîðåçàíèå. Åñëè ñîçäàòü î÷åíü âûñîêîå èçáûòî÷íîå äàâëåíèå, íàïðèìåð,Δp ≈ 5000 àòì = 500 ÌÏà, òî ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ âîäû v ≈ 1000 ì/ñ.
Åñëè òàêóþñòðóþ íàïðàâèòü íà êàêîé-ëèáî òâåðäûé ìàòåðèàë, òî åãî ïîâåðõíîñòü áóäåòïîäâåðæåíà ãèäðîäèíàìè÷åñêîìó äàâëåíèþ pä = ρv 2/ 2 = 500 ÌÏà. Òàêîå îãðîìíîå äàâëåíèå â ðÿäå ñëó÷àåâ ìîæåò ïðåâûøàòü ïðåäåë ïðî÷íîñòè σì íåêîòîðûõìàòåðèàëîâ, è ïîñëåäíèå áóäóò ðàçðóøàòüñÿ ïîä äåéñòâèåì ñòðóè.Ñî âòîðîé ïîëîâèíû 80-õ ãîäîâ ÕÕ â. ïîëó÷èëî ðàçâèòèå íîâîå íàïðàâëåíèåâ îáðàáîòêå ìàòåðèàëîâ ãèäðîðåçàíèå.
 ýòîé òåõíîëîãèè âîäÿíîé íîæ âûñîêîñêîðîñòíàÿ ñòðóÿ âîäû ñ äèàìåòðîì èãëû ëåãêî ðåæåò ìàòåðèàëûòîëùèíîé â íåñêîëüêî ñàíòèìåòðîâ ñî ñêîðîñòüþ ðåçàíèÿ íåñêîëüêî äåñÿòêîâñàíòèìåòðîâ â ìèíóòó. Äëÿ ðåçêè ìåòàëëîâ, òâåðäûõ ñïëàâîâ, áåòîíà è äðóãèõìàòåðèàëîâ â ñòðóþ äîáàâëÿþò àáðàçèâíûé ïîðîøîê. Ýòî çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èâàåò ãèäðîäèíàìè÷åñêîå äàâëåíèå, ïîâûøàåò ïðîèçâîäèòåëüíîñòü è âîçìîæíîñòè ãèäðîðåçàíèÿ.Ñîñóä Ìàðèîòòà.
Ýòîò ñîñóä ïîçâîëÿåò îáåñïå÷èòü ïîñòîÿííóþ ñêîðîñòüèñòå÷åíèÿ æèäêîñòè ÷åðåç ìàëîå îòâåðñòèå, íåñìîòðÿ íà ïîíèæåíèÿ åå óðîâíÿ.Äëÿ ýòîãî â ñîñóä ÷åðåç ãåðìåòè÷íóþ ïðîáêó â åãî ãîðëîâèíå ââîäèòñÿ òðóáî÷êà, ñîîáùàþùàÿñÿ ñ àòìîñôåðîé (ðèñ. 17.10). Ïîêà óðîâåíü æèäêîñòè â ñîñóäåâûøå íèæíåãî êîíöà òðóáêè, ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ÷åðåç íèæíåå îòâåðñòèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Òîððè÷åëëèv = 2 ⎜ gH +v = 2 gh , ãäå h âûñîòà íèæíåãî êîí-Ðèñ.
17.10296öà òðóáêè íàä îòâåðñòèåì. Ýòî ñâÿçàíî ñòåì, ÷òî ïðè âûòåêàíèè æèäêîñòè èç ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîãî ñîñóäà äàâëåíèå ïîäïðîáêîé áóäåò ìåíüøå àòìîñôåðíîãî, âîçäóõ áóäåò çàñàñûâàòüñÿ â ñîñóä ÷åðåç òðóáêó, à äàâëåíèå â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ñîâïàäàþùåé ñ íèæíèì êîíöîìòðóáêè, áóäåò ðàâíî àòìîñôåðíîìó. Ñêîðîñòü âûòåêàíèÿ ëåãêî ðåãóëèðóåòñÿ âåðòèêàëüíûì ïåðåìåùåíèåì òðóáêè. Åñëèêîíåö òðóáêè íàõîäèòñÿ íà óðîâíå îòâåðñòèÿ èëè íèæå åãî, òî æèäêîñòü íå âûòåêàåò âîâñå, êàê, íàïðèìåð, ÷åðåç âåðõíååîòâåðñòèå, èçîáðàæåííîå íà ðèñ. 17.10.Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà óñëîâèÿ íåñæèìàåìîñòè. Ïîíÿòèå î äèâåðãåíöèèâåêòîðà. Ðàâåíñòâî (17.2), ÿâëÿþùååñÿóñëîâèåì íåñæèìàåìîñòè, ñâÿçûâàåòñêîðîñòè äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè â äâóõ ðàçëè÷íûõ ñå÷åíèÿõ.
Ìåæäó òåì, êàêíà ýòî íåîäíîêðàòíî îáðàùàëîñü âíèìàíèå â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ, â ôèçèêåâàæíî îïåðèðîâàòü ñ ðàâåíñòâàìè èëè óðàâíåíèÿìè, îòíåñåííûìè ê îäíîéòî÷êå ïðîñòðàíñòâà.Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äåôîðìàöèþ äâèæóùåãîñÿ êóáè÷åñêîãî ýëåìåíòà æèäêîñòè. Åñëè åãî îáúåì ÷åðåç ìàëûé îòðåçîê âðåìåíè δt íå èçìåíÿåòñÿ, òî ñóììàäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ òåíçîðà äåôîðìàöèè ðàâíà íóëþ, ò. å.∂ux ∂uy ∂uz++= 0,∂x∂y∂zãäå ux, uy è uz ñìåùåíèÿ ãðàíåé êóáèêà â íàïðàâëåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ îñåéêîîðäèíàò.Ýòè ñìåùåíèÿ ñâÿçàíû ñî ñêîðîñòÿìè äâèæåíèÿ ãðàíåé (à òî÷íåå, ÷àñòèöæèäêîñòè, íàõîäÿùèõñÿ â äàííûé ìîìåíò íà ýòèõ ãðàíÿõ):ux = vx δt, uy = vy δt, uz = vz δt.Èñïîëüçóÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ëîêàëüíîå (îòíîñÿùååñÿ ê îäíîé òî÷êåïðîñòðàíñòâà) óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè â âèäå∂v x ∂v y ∂v z++= 0.∂x∂y∂z(17.22)Ýòî ñîîòíîøåíèå íàçûâàþò òàêæå óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. ôèçèêå äëÿ îïèñàíèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé, à â íàøåì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò îâåêòîðíîì ïîëå ñêîðîñòåé v = v (x, y, z, t ), èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå äèâåðãåíöèè(èñòîêà) ïîëÿ â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.
 äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàòâûðàæåíèå äëÿ diL v èìååò âèädiv v =∂v x ∂v y ∂v z.++∂x∂y∂z(17.23)Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò è âðåìåíè èëåãêî ðàññ÷èòûâàåòñÿ, åñëè èçâåñòíû êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïîëÿ (â íàøåìñëó÷àå vx, vy è vz).Óñëîâèå (17.22) ïîñòîÿíñòâà îáúåìà íåñæèìàåìîé æèäêîñòè çàïèñûâàåòñÿêðàòêî:diL v = 0.(17.24)Óðàâíåíèå (17.24) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêèíåñæèìàåìîé æèäêîñòè.Çàìåòèì, ÷òî èìååòñÿ ìíîæåñòâî âåêòîðíûõ ïîëåé, êàê, íàïðèìåð, ýëåêòðè÷åñêîå E = E(x, y, z, t ), ìàãíèòíîå B = B(x, y, z, t ) è äðóãèå, ïðè îïèñàíèèêîòîðûõ òàêæå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå äèâåðãåíöèè. Õîòÿ diL E è diL Bè âû÷èñëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ (17.23), îïðåäåëÿþòñÿ îíè, îäíàêî, èç äðóãèõñîîáðàæåíèé, ïîñêîëüêó â ýëåêòðîäèíàìèêå íå èäåò ðå÷ü î äâèæåíèè è äåôîðìàöèè ýëåìåíòà ìàòåðèàëüíîé ñðåäû.Ïîÿñíèì ñìûñë ïîíÿòèÿ äèâåðãåíöèè íà ïðèìåðå âåêòîðíîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé v = v (x, y, z, t ).
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ýëåìåíòàðíûé îáúåì ïðîñòðàíñòâà297Ðèñ. 17.11Ðèñ. 17.12dV = dxdydz (ðèñ. 17.11) è ïîäñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî æèäêîñòè, âòåêàþùåé è âûòåêàþùåé èç ýòîãî îáúåìà çà åäèíèöó âðåìåíè.Ââåäåì ïîíÿòèå ýëåìåíòàðíîãî ïîòîêà âåêòîðà ñêîðîñòè v ÷åðåç ïëîùàäêó dS:dQv = v dS cos α = vdS,(17.25)ãäå dS = ndS âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî íîðìàëè n ê ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå.ßñíî, ÷òî ïîòîê (17.25) ðàâåí îáúåìó æèäêîñòè, ïåðåñåêàþùåé ïëîùàäêódS çà åäèíèöó âðåìåíè (ðèñ.
17.12). Îí äîïóñêàåò òàêæå íàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.  ñàìîì äåëå, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ëèíèéòîêà, äàííûì â íà÷àëå ýòîé ëåêöèè, èõ ãóñòîòà õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü òå÷åíèÿ.Ïîýòîìó âåëè÷èíå ñêîðîñòè âñåãäà ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîëè÷åñòâî ëèíèé òîêà, ïåðåñåêàþùèõ åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþâåêòîðó ñêîðîñòè. Òîãäà ïîòîê dQv â (17.25) áóäåò îïðåäåëÿòü ÷èñëî ëèíèéòîêà, ïåðåñåêàþùèõ ïëîùàäêó ïðè åå ïðîèçâîëüíîé îðèåíòàöèè.Òåïåðü ëåãêî ïîäñ÷èòàòü áàëàíñ ìåæäó âòåêàþùåé è âûòåêàþùåé æèäêîñòüþäëÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà (êóáèêà), èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 17.12.
Äëÿ ýòîãî îöåíèì ïîòîêè æèäêîñòè ÷åðåç ãðàíè êóáèêà. Åñëè íîðìàëü ê ãðàíè âíåøíÿÿ, òîïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå ïîòîêà áóäåò äëÿ âûòåêàþùåé æèäêîñòè, à îòðèöàòåëüíîå äëÿ âòåêàþùåé. Åñëè ñêîðîñòü â öåíòðå êóáèêà v (x, y, z, t ) èçìåíÿåòñÿïðè ïðèáëèæåíèè ê ñîîòâåòñòâóþùåé ãðàíè, òî ïðè âû÷èñëåíèÿõ ýòî íåîáõîäèìî ó÷åñòü. Ðåçóëüòèðóþùèé ïîòîê îïðåäåëèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:() ()dxdx⎡⎤, y , z, t − v x x −, y, z, t ⎥ dyd z +dQ v = ⎢v x x +22⎣⎦⎡ ⎛dydy⎞⎛⎞⎤, z, t ⎟ − v y ⎜ x, y −, z, t ⎟ ⎥ dxd z ++ ⎢v y ⎜ x, y +22⎠⎝⎠⎦⎣ ⎝() ()dzdz⎡⎤+ ⎢v z x, y, z +, t − v z x , y, z −, t ⎥ dxdy.22⎣⎦298(17.26)Ðàçäåëèâ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè (17.26) íà dxdydz, ïîëó÷èìdQvdxdyd z= div v.(17.27)Òàêèì îáðàçîì, äèâåðãåíöèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ÷èñëåííî ðàâíà ïîòîêó æèäêîñòè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà, âíóòðè êîòîðîãî íàõîäèòñÿðàññìàòðèâàåìàÿ òî÷êà, îòíåñåííîìó ê âåëè÷èíå ýòîãî îáúåìà.
Åñëè æèäêîñòüíåñæèìàåìà, òî, åñòåñòâåííî, ýòîò ïîòîê äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âíóòðè îáúåìà íåò èñòîêîâ è ñòîêîâ æèäêîñòè). Ãðàôè÷åñêè ïîñëåäíååèíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ðàâåíñòâî êîëè÷åñòâà âõîäÿùèõ â îáúåì è âûõîäÿùèõ èçíåãî ëèíèé òîêà. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè òî÷êè, ãäådiL v = 0, ëèíèè òîêà íå ïðåðûâàþòñÿ. Ïîýòîìó ðàâåíñòâî diL v = 0 è íàçûâàþòóðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè.Èç øêîëüíîãî êóðñà ôèçèêè èçâåñòíî, ÷òî ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ (àíàëîã ëèíèé òîêà æèäêîñòè) ïðåðûâàþòñÿ òîëüêî íà çàðÿäàõ.Ïîýòîìó äëÿ îáëàñòåé, íå çàíÿòûõ çàðÿäàìè, ìû òàêæå âïðàâå íàïèñàòü∂E x ∂E y ∂E z++= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
