В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 57
Текст из файла (страница 57)
16.6), òî ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèäU (x, y) = −ρgx − ρay + const.(16.12)Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèé p (x, y) ñ ó÷åòîìíîðìèðîâêè p (0, 0) = p0 ïîëó÷àåì:p (x, y) = p0 + ρgx + ρay.(16.13)Î÷åâèäíî, ÷òî ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî äàâëåíèÿ (âêëþ÷àÿ ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè), ïåðïåíäèêóëÿðíûå âåêòîðó ïîëíîé ñèëû f = ρ g − ρ a, áóäóò íàêëîíåíûê ãîðèçîíòó ïîä óãëîìα = arctga.g(16.14)Ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè ñîñóäà (â óñëîâèÿõ íåâåñîìîñòè) äàâëåíèå âî âñåõòî÷êàõ îáúåìà, êàê ýòî ñëåäóåò èç çàêîíà Ïàñêàëÿ, îäèíàêîâî è ðàâíî âíåøíåìó äàâëåíèþ p0.  íåâåñîìîñòè âñëåäñòâèå äåéñòâèÿ ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ æèäêîñòü ïðèîáðåòàåò øàðîîáðàçíóþ ôîðìó, ïðè êîòîðîé ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñòàíîâèòñÿ ìèíèìàëüíîé.Ïóñòü òåïåðü öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ æèäêîñòüþ ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ñóãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ñèììåòðèè.
Îïûò ïîêàçûâàåò,÷òî ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè èñêðèâèòñÿ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 16.7. Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà îïðåäåëèòü ôîðìó ïîâåðõíîñòåé ðàâíîãî äàâëåíèÿ. Ïîñêîëüêóöåíòðîáåæíàÿ ñèëà èíåðöèè fè = ρω2r ÿâëÿåòñÿ, êàê è ñèëà òÿæåñòè, ïîòåíöèàëüíîé, òî ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ U èìååò âèä:U ( x , r ) = −ρgx −ãäå r ðàññòîÿíèå äî îñè âðàùåíèÿ.2761 2 2ρω r + const,2(16.15)Ðèñ.
16.6Ðèñ. 16.7Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì (16.9) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûìp ( x, r ) = p0 + ρgx +1 2 2ρω r .2(16.16)Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî äàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïàðàáîëîèäàìèâðàùåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, ôîðìà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè, äëÿ êîòîðîé p (x, r) = p0,îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåìx =−1 ω2 2r .2 g(16.17)Åñëè ðàäèóñ ñîñóäà ðàâåí R, òî ðàçíîñòü óðîâíåé íà ïåðèôåðèè è â öåíòðåñîñòàâëÿåòH =ω2 R 2 v 2=,2g2g(16.18)ãäå v ñêîðîñòü âðàùàþùèõñÿ ÷àñòèö æèäêîñòè, ïðèëåãàþùèõ ê ñòåíêåñîñóäà.Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñîñóä âðàùàòü ñ óãëîâûì óñêîðåíèåì, òî ïîÿâèòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèë èíåðöèè, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ðàäèóñó è ðàâdω.
Ýòà ñèëà íå áóäåò ïîòåíöèàëüíîé, ïîñêîëüêó åå ðàáîòà Àè,dtíàïðèìåð, âäîëü îêðóæíîñòè ðàäèóñà r0 îòëè÷íà îò íóëÿ:íàÿ f è′ = ρrAè = f è′ 2πr0 = 2πr02 ρdω≠ 0.dt(16.19)277 ñèëó ýòîãî ðàâíîâåñèå æèäêîñòè íåâîçìîæíî: ïîñëåäíÿÿ áóäåò âðàùàòüñÿîòíîñèòåëüíî öèëèíäðà, ïðè÷åì ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé è äàâëåíèé ìîæíîïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè, â êîòîðûõ äîëæíû áûòüó÷òåíû ñèëû âÿçêîñòè.Çàêîí Àðõèìåäà. Ïëàâàíèå òåë. Èç ïîâñåäíåâíîé ïðàêòèêè èçâåñòíî, ÷òîíà òåëà, ïîãðóæåííûå â æèäêîñòü, äåéñòâóåò âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, íàïðàâëåííàÿ âåðòèêàëüíî ââåðõ.
Ýòà ñèëà ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì äåéñòâèÿ ñèë äàâëåíèÿ fi = −pni (ðèñ. 16.8) è ðàâíàFA =∑ fi ΔSii= −∑ pi ΔSi ni ,(16.20)ãäå ΔSi ïëîùàäü ýëåìåíòà ïîâåðõíîñòè òåëà; ni åäèíè÷íûé âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïîâåðõíîñòè (ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì ýëåìåíòàìïîâåðõíîñòè).Âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà FA, íàçûâàåìàÿ ñèëîé Àðõèìåäà, ìîæåò áûòü ïîäñ÷èòàíà ïðè ó÷åòå ðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ ïî ãëóáèíå (16.11). Îíà îêàçûâàåòñÿðàâíîé âåñó âûòåñíåííîé æèäêîñòè.
Ïðåäîñòàâëÿÿ ÷èòàòåëþ ïðîèçâåñòè òàêîéïîäñ÷åò ñàìîñòîÿòåëüíî, âû÷èñëèì åå, èñõîäÿ èç áîëåå ïðîñòûõ ñîîáðàæåíèé.Èçâëå÷åì èç ñîñóäà òåëî è äîëüåì òó æå æèäêîñòü, âîññòàíîâèâ åå ïðåæíèéóðîâåíü (ðèñ. 16.9). Åñëè çàòåì ìûñëåííî âûäåëèòü ÷àñòü æèäêîñòè, çàìåùàþùóþ èçâëå÷åííîå òåëî, òî íà íåå äåéñòâóþò òå æå ñèëû äàâëåíèÿ, ÷òî è íàïîãðóæåííîå òåëî [ñì. ôîðìóëó (16.20)]. Èõ ñóììà FÀ íå òîëüêî óðàâíîâåøèâàåòñèëó òÿæåñòè (FÀ = −mg, ãäå m ìàññà âûòåñíåííîé æèäêîñòè), íî è èìååòðàâíîäåéñòâóþùóþ, ïðèëîæåííóþ ê öåíòðó ìàññ âûòåñíåííîé æèäêîñòè, èëèê öåíòðó îáúåìà O.Öåíòð ìàññ ïîãðóæåííîãî òåëà O1 ìîæåò íå ñîâïàäàòü ñ öåíòðîì îáúåìà O.Ýòî íåñîâïàäåíèå èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå äëÿ óñòîé÷èâîãî ïëàâàíèÿ òåë,ïîãðóæåííûõ â æèäêîñòü (â êîðàáëåñòðîåíèè èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí îñòîé÷èâîñòü).
Íà ðèñ. 16.10 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíî ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå áàòèñêàôà,Ðèñ. 16.8278Ðèñ. 16.9Ðèñ. 16.10Ðèñ. 16.11Ðèñ. 16.12ïîãðóæåííîãî â âîäó, ïðè ýòîì åãî öåíòð òÿæåñòè, ê êîòîðîìó ïðèëîæåíàñèëà òÿæåñòè m1g (m1 ìàññà áàòèñêàôà), íàõîäèòñÿ íèæå òî÷êè ïðèëîæåíèÿàðõèìåäîâîé ñèëû. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè áîêîâîì íàêëîíå áàòèñêàôà ìîìåíòóêàçàííîé ïàðû ñèë áóäåò âîçâðàùàòü åãî â âåðòèêàëüíîå ïîëîæåíèå.Äëÿ òåë, ïëàâàþùèõ íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè, öåíòð òÿæåñòè ðàñïîëîæåí,êàê ïðàâèëî, âûøå öåíòðà îáúåìà, ïîãðóæåííîãî â æèäêîñòü, è îñòîé÷èâîñòüïëàâàíèÿ (íàïðèìåð, êîðàáëÿ) äîñòèãàåòñÿ âûáîðîì ôîðìû êîðàáëÿ è åãî çàãðóçêè.
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî êàðàíäàø íèêîãäà íå ïëàâàåò íà ïîâåðõíîñòèæèäêîñòè â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè. Ïàðà ñèë, âîçíèêàþùàÿ ïðè íåèçáåæíîì ñëó÷àéíîì îòêëîíåíèè êàðàíäàøà îò âåðòèêàëè, íåìåäëåííî «óêëàäûâàåò» åãî íà ïîâåðõíîñòü (ðèñ. 16.11, à). Óñòîé÷èâî áóäåò ïëàâàòü «ãîðèçîíòàëüíûé» êàðàíäàø. Ïðè ìàëåéøåì åãî íàêëîíå (ñèòóàöèÿ á) îí áóäåò âîçâðàùàòüñÿ â èñõîäíîå ãîðèçîíòàëüíîå ïîëîæåíèå.  ñóäîñòðîåíèè ôîðìó ñóäíà ñ ó÷åòîì åãî çàãðóçêè ðàññ÷èòûâàþò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìåòàöåíòð Ì íàõîäèëñÿâûøå öåíòðà ìàññ ñóäíà (òî÷êà O1). Ýòîò ìåòàöåíòð ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì êðèâèçíû êðèâîé O ″OO ′, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòðû îáúåìîâ ïîãðóæåííûõ ÷àñòåéêîðïóñà êîðàáëÿ, ñìåíÿþùèõ äðóã äðóãà ïðè åãî áîêîâîé êà÷êå (ðèñ. 16.12).Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ìåòàöåíòð íàõîäèòñÿ íà ïåðåñå÷åíèè ïëîñêîñòè ñèììåòðèè ñóäíà ñ ëèíèåé äåéñòâèÿ àðõèìåäîâîé ñèëû.
Ïðè ñòðîèòåëüñòâå ñóäîâäîáèâàþòñÿ òîãî, ÷òîáû ðàññòîÿíèå O1M â íåñêîëüêî ðàç ïðåâûøàëî ðàññòîÿíèå OO1.Ðàññìîòðåíèå ãèäðîñòàòèêè íåñæèìàåìîé æèäêîñòè áûëî áû íåïîëíûì,åñëè áû ìû íå êîñíóëèñü âîïðîñà î ñèëàõ äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà äíî èñòåíêè ñîñóäà ñ æèäêîñòüþ. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, îáðàòèâøèñü íåïîñðåäñòâåííîê ïðèìåðàì.n Ïðèìåð 1. Åñëè â öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ S äî óðîâíÿ H íàëèòà âîäà ìàññîé m (ðèñ.
16.13, à), òî äàâëåíèå æèäêîñòè íà äíî ñîñóäà(áåç ó÷åòà ñèëû àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ) ïðèâåäåò ê âîçíèêíîâåíèþ ñèëûF = pS = ρgHS = mg, ðàâíîé âåñó íàëèòîé æèäêîñòè. Åñëè íà ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè îïóñòèòü ïëàâàþùåå òåëî ìàññîé m1, òî äàâëåíèå íà äíî æèäêîñòèóâåëè÷èòñÿ íà âåëè÷èíó Δp = ρg ΔH, ãäå ΔH âûñîòà ïîäúåìà óðîâíÿ æèäêî279Ðèñ. 16.13Ðèñ. 16.14ñòè (ðèñ.
16.13, á ). Äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà äíî, ΔF = ΔpS = ρg ΔH S.Ïîñêîëüêó îáúåì öèëèíäðè÷åñêîãî ñëîÿ ΔHS ðàâåí îáúåìó ïîãðóæåííîé ÷àñòè òåëà, òî âåëè÷èíà ΔF ðàâíà ñèëå Àðõèìåäà è, åñòåñòâåííî, ΔF = m1g. Ïîêàçàíèÿ âåñîâ, íà êîòîðûå ïîñòàâëåí ñîñóä ñ âîäîé, ïðè ïîìåùåíèè â íåãî ïëàâàþùåãî òåëà âîçðàñòóò íà ýòó âåëè÷èíó.n Ïðèìåð 2. Åñëè äâà ëåãêèõ êîíè÷åñêèõ ñîñóäà îäèíàêîâîé âûñîòû íàïîëíèòü âîäîé è ðàñïîëîæèòü èõ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 16.14, òî â ñèòóàöèè(à) ñèëà äàâëåíèÿ íà äíî ñîñóäà ñ ïëîùàäüþ S2 > S1 áóäåò áîëüøå âåñà æèäêîñòè: F2 = ρgHS2 > mg.  ñèòóàöèè (á ), íàîáîðîò, F1 = ρgHS1 < mg. Ìåæäó òåì ïðèâçâåøèâàíèè ñîñóäîâ âåñû ïîêàæóò îäèíàêîâûé ðåçóëüòàò.
Íà ïåðâûé âçãëÿä,ìû ñòîëêíóëèñü ñ ïàðàäîêñîì. Ïàðàäîêñ, îäíàêî, ðàçðåøàåòñÿ ïðîñòî, åñëèïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî âåñû èçìåðÿþò ñèëó äàâëåíèÿ ñîñóäà íà ÷àøêó âåñîâ, ðàâíóþ òîé ñèëå, ñ êîòîðîé æèäêîñòü äåéñòâóåò íà âåñü ñîñóä, âêëþ÷àÿäåéñòâèå íà åãî íàêëîííûå áîêîâûå ñòåíêè.  îáåèõ ñèòóàöèÿõ ñóììà âñåõ ýòèõýëåìåíòàðíûõ ñèë îäèíàêîâà è ðàâíà âåñó æèäêîñòè mg.Ðàâíîâåñèå ãàçîâ.
 îòëè÷èå îò æèäêîñòåé, ïëîòíîñòü ãàçîâ ïðè èõ ñæàòèè íåîñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.  ñëó÷àå òàê íàçûâàåìîãî áàðîòðîïíîãî ðàñïðåäåëåíèÿìàññû ãàçà åå ïëîòíîñòü ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îäíîãî òîëüêî äàâëåíèÿ: ρ = ρ(p),ïðè÷åì âèä ýòîé ôóíêöèè, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, çàäàåòñÿ óñëîâèÿìè, ïðèêîòîðûõ íàõîäèòñÿ ãàç. Ïîýòîìó â ìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä â ýòèõ ñëó÷àÿõ îïåðèðóþò ñ ïëîòíîñòüþ ñèëû f *, ò. å. ñ ñèëîé, ïðèëîæåííîé ê åäèíèöå ìàññû,êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ ñèëîé f â (16.7) ñîîòíîøåíèåìf = ρf *.(16.21)Òîãäà óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ (16.7) ïðèìåò âèä1grad p = f * .ρ(16.22) ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà âõîäÿò äàâëåíèå è ïëîòíîñòü, ÿâëÿþùèåñÿíåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò, à ïðàâàÿ ÷àñòü îáû÷íî èçâåñòíà. ïîëå ñèëû òÿæåñòè f * = g = const.
 ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòÿìè ðàâíûõ äàâëåíèé è ïëîòíîñòåé áóäóò ãîðèçîíòàëüíûå ïëîñêîñòè, äâå èç êîòîðûõ p (x1) = p1è p (x) = p èçîáðàæåíû íà ðèñ. 16.15. Åñëè ââåñòè âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ280pdp2 (x ) = ∫ ,ρp1(16.23)òî (16.22) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî ââèäå, àíàëîãè÷íîì (16.7):1 dp d 2== f *.ρ dxdx(16.24)Ââîäÿ äàëåå äëÿ åäèíèöû ìàññû ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ U *, ñ êîòîðîéâíåøíÿÿ ñèëà ñâÿçàíà ñîîòíîøåíèåìf * (x ) = −dU *,dx(16.25)Ðèñ. 16.15ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, àíàëîãè÷íîå(16.9):ddx(2 +U * ) = 0,èëè2 +U * = const .(16.26)Çàìåòèì, ÷òî âñïîìîãàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ 2 (x) çàâèñèò îò âåðõíåãî ïðåäåëàp èíòåãðàëà (16.23), âû÷èñëåíèå êîòîðîãî âîçìîæíî ïðè èçâåñòíîé ñâÿçè ìåæäóïëîòíîñòüþ è äàâëåíèåì.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè íàéòè çàâèñèìîñòü 2 (x)[ñ ïîìîùüþ (16.24) èëè (16.26)], òî ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ p (x) â (16.23),÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé.Î÷åâèäíî, ÷òî ïîâåðõíîñòè ðàâíûõ çíà÷åíèé âåëè÷èíû 2 ñîâïàäàþò ñ ïîâåðõíîñòÿìè ðàâíûõ äàâëåíèé.  çàäà÷àõ ñ òðåõìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ2 ( x , y, z ) =p ( x , y ,z )∫p1dp,ρ(16.27)à óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ èìååò âèägrad 2 = f *.(16.28)Ïîñêîëüêó ñèëà f * ñâÿçàíà ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé åäèíèöû ìàññû ñîîòíîøåíèåìf * = −grad U *,(16.29)òî ïîäñòàíîâêà (16.29) â (16.28) äàåò óñëîâèågrad (2 + U * ) = 0, èëè2 + U * = const.(16.30)Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ (16.28) ÿâëÿåòñÿ áîëåå îáùèì,÷åì (16.7), òàê êàê ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé êàê â æèäêîñòÿõ, òàê è â ãàçàõ.Ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè è äàâëåíèÿ â àòìîñôåðå.
Ìíîãî÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ àòìîñôåðû, ïðîâåäåííûå ïðè ïîìîùè àýðîñòàòîâ (ñì. íèæå), ðàêåò è281èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ Çåìëè, ïîêàçûâàþò, ÷òî ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ âûñîòû äàâëåíèå è ïëîòíîñòü ìîíîòîííî óáûâàþò, à òåìïåðàòóðà ìîíîòîííî óáûâàåò ëèøü â íèæíåì 10-êèëîìåòðîâîì ñëîå, à â áîëåå âûñîêèõ ñëîÿõìåíÿåòñÿ íåìîíîòîííî. Ïàðàìåòðûàòìîñôåðû çàâèñÿò êàê îò ãåîãðàôè÷åñêîãî ïîëîæåíèÿ ìåñòà, òàê è îò âðåìåíè ãîäà.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèèê ñêàçàííîìó íà ðèñ. 16.16 ïðåäñòàâëåíû âûñîòíûå çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðîâ ñðåäíåñòàòèñòè÷åñêîé àòìîñôåðûã.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
