В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Ýòè óñêîðåíèÿ âîçíèêàþò áëàãîäàðÿ ñèëàì äàâëåíèÿ fi = −pi n, ïîêàçàííûì êîðîòêèìè ñòðåëêàìè.Èç ðèñóíêà ÿñíî, ÷òî ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê S2 äàâëåíèå â æèäêîñòè ïàäàåò, à çàòåì âîçðàñòàåò. Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü, åñëè ñðàâíèòü óðîâíè h1 è h2Ðèñ. 17.1289Ðèñ. 17.2æèäêîñòè â ìàíîìåòðè÷åñêèõ ñòåêëÿííûõ òðóáêàõ, âïàÿííûõ â ãîðèçîíòàëüíóþ òðóáêó âáëèçè ñå÷åíèé S1 è S2 (ñì. ðèñ. 17.1). Ïîñêîëüêó p1 = ρgh1, p2 = ρgh2,òî p1 > p2, òàê êàê h1 > h2. Íà ðèñ. 17.3 èçîáðàæåíî ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé èäàâëåíèé âäîëü îñè òðóáêè (îñè Îx).Äëÿ êîëè÷åñòâåííîãî îïèñàíèÿ òå÷åíèÿ æèäêîñòè ðàçîáüåì ïîòîê æèäêîñòè ïî òðóáå íà ýëåìåíòàðíûå òðóáêè òîêà, îáðàçóåìûå ñåìåéñòâîì ëèíèéòîêà.
 ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ýëåìåíòàðíîé òðóáêè òîêà ñêîðîñòè ÷àñòèö ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâû, è ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò àíàëèçòå÷åíèÿ æèäêîñòè.Íàéäåì ñâÿçü ìåæäó ñêîðîñòüþ è äàâëåíèåì, ïðèìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåêîòîðûõ ïîêàçàíî íà ðèñ. 17.3. Ïðè äâèæåíèè ÷àñòèö âîäû âäîëü îñåâîé òðóáêèòîêà ñóììà ñèë, ïðèëîæåííûõ ê åäèíèöå îáúåìà [ñì.
(16.5)], îáåñïå÷èâàåò åãîóñêîðåíèå.  ñîîòâåòñòâèè ñî II çàêîíîì Íüþòîíà ìîæíî çàïèñàòü:ρdv x∂p=−+ fx ,dt∂x(17.3)ãäå fx ïëîòíîñòü ñèëû, Í/ì3.Îòìåòèì, ÷òî â óðàâíåíèå (17.3) íå âõîäÿò ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, çàâèñÿùèåîò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ýëåìåíòà æèäêîñòè. Âïîñëåäñòâèè ìû ó÷òåì èõ âëèÿíèå èâûÿñíèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Èçìåíåíèå ñêîðîñòè÷àñòèöû dvx è ñâÿçàííîå ñ íèì óñêîðåíèå ìîæåò èìåòü ìåñòî êàê ïðè ñòàöèîíàðíîì äâèæåíèè ÷àñòèöû îò øèðîêîãî ñå÷åíèÿ ê óçêîìó (èëè íàîáîðîò), òàê èïðè íåñòàöèîíàðíîì èçìåíåíèè ñêîðîñòè òå÷åíèÿ (íàïðèìåð, ïðè ìåäëåííîìóâåëè÷åíèè èëè îñëàáëåíèè íàïîðà âîäû).
Ïîýòîìó â îáùåì ñëó÷àå ñêîðîñòü÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé íå òîëüêî êîîðäèíàòû x, íî è âðåìåíè t, èdv x =∂v x∂vdt + x dx,∂t∂x(17.4)ãäå dx = vx dt ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ÷àñòèöåé çà âðåìÿ dt.Ïîäñòàâëÿÿ (17.4) â (17.3), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Ýéëåðà:∂v ⎞∂p⎛ ∂vρ ⎜ x + vx x ⎟ = −+ f x , (17.5)∂x ⎠∂x⎝ ∂tÐèñ. 17.3290îïèñûâàþùåå îäíîìåðíîå òå÷åíèåíåñæèìàåìîé íåâÿçêîé æèäêîñòè.Ïðè ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèè æèäêîñòè ïî ãîðèçîíòàëüíîé òðóáåñêîðîñòü íå çàâèñèò îò âðåìåíè⎛ ∂v x⎞= 0 ⎟ , âíåøíèå ñèëû îòñóòñòâóþò (fx = 0).
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå Ýéëåðà⎜⎝ ∂t⎠ïðèíèìàåò ïðîñòîé âèä:ρv xdv xdp.=−dxdx(17.6)∂d.èñïîëüçóåòñÿ ñèìâîë ïîëíîé ïðîèçâîäíîé∂xdx2dv xd ⎛ vx ⎞=⎜ ⎟ , ρ = const, ïåðåïèøåì (17.6) â âèäåÓ÷èòûâàÿ, ÷òî v xdxdx ⎝ 2 ⎠Çäåñü âìåñòî⎞ρv x2d ⎛ ρv x2+ p ⎟ = 0, èëè+ p = const .⎜⎠dx ⎝ 22(17.7)Ðàâåíñòâî (17.7), óñòàíàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó äàâëåíèåì è ñêîðîñòüþ,ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè. Êîíñòàíòà, âõîäÿùàÿ â ýòî óðàâíåíèå, îïðåäåëÿåòñÿ èç çíà÷åíèé äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè â êàêîì-ëèáî ñå÷åíèèòðóáêè òîêà.Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (17.7), îïðåäåëèì ìàññó æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé ÷åðåç ñå÷åíèå òðóáêè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
17.1, â åäèíèöó âðåìåíè (ðàñõîä). ñîîòâåòñòâèè ñ (17.7), äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè â ñå÷åíèÿõ S1 è S2 ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì:p1 +ρv12ρv 2= p2 + 2 .22(17.8)Èñêîìûé ðàñõîä âîäû îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (17.1):m = ρ v1 S 1 = ρ v2 S 2 .(17.9)Äàâëåíèÿ p1 = ρgh1 è p2 = ρgh2 ðàññ÷èòûâàþò ïî ïîêàçàíèÿì h1 è h2 ìàíîìåòðè÷åñêèõ òðóáîê. Èç óðàâíåíèé (17.8) è (17.9) íàõîäèì:m=2ρ ( p1 − p2 ).S 2−2 − S1−2(17.10)Äëÿ èçìåðåíèÿ ðàñõîäà âîäû íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿþò âîäîìåðû, îñíîâóêîòîðûõ ñîñòàâëÿåò òðóáà ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ, îñíàùåííàÿ ìàíîìåòðàìè äëÿèçìåðåíèÿ äàâëåíèé p1 è p2 â ñå÷åíèÿõ S1 è S2.Óðàâíåíèå Áåðíóëëè.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î òå÷åíèè æèäêîñòè âäîëü ïðîèçâîëüíûõ òðóáîê òîêà, êîòîðûå ìîãóò ñîñòàâëÿòü íåêîòîðûé ïåðåìåííûé óãîë ñãîðèçîíòîì. Îäíà èç òàêèõ êðèâîëèíåéíûõ òðóáîê ïîêàçàíà íà ðèñ. 17.4. Åñëèââåñòè êðèâîëèíåéíóþ êîîðäèíàòó l âäîëü îñè òðóáêè òîêà, òî ïðè ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèè ñêîðîñòü è äàâëåíèå æèäêîñòè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ýòîé êîîðäèíàòû. Ïðîåêòèðóÿ ñèëó òÿæåñòè íà îñü l, çàïèøåì óðàâíåíèå Ýéëåðà (17.5) ââèäåρvdpdv=−+ ρg cos α,dldl(17.11)ãäå v ñêîðîñòü ÷àñòèö íà îñè òðóáêè.291Åñëè ýëåìåíò æèäêîñòè ñìåñòèòñÿâíèç íà ðàññòîÿíèå dl, òî îí îïóñòèòñÿdh.dlÏîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå cos α â (17.11)dv 1 d 2=v ,è èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî vdl2 dlíàõîäèì:íà âûñîòó dh < 0, ïðè ýòîì cos α = −ρd ⎛ v 2 ⎞ dpdh++ ρg= 0.
(17.12)dl ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dldlÄëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (ρ = const)ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî òðàíñôîðìèðóåòñÿê âèäó⎞d ⎛ ρv 2+ p + ρgh ⎟ = 0.⎜⎠dl ⎝ 2Ðèñ. 17.4(17.13)Èíòåãðèðóÿ (17.13) âäîëü òðóáêè òîêà, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Áåðíóëëè:ρv 2+ p + ρgh = const .2(17.14)Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò ñòàöèîíàðíîå òå÷åíèå íåâÿçêîé (èäåàëüíîé) íåñæèìàåìîé æèäêîñòè è èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â ãèäðîäèíàìè÷åñêèõèññëåäîâàíèÿõ. Åãî òàêæå íàçûâàþò èíòåãðàëîì Áåðíóëëè, ïîñêîëüêó îíî ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì (17.13).
Åñëè íàì èçâåñòíû äàâëåíèå p1 è ñêîðîñòü v1â íåêîòîðîì ñå÷åíèè òðóáêè òîêà, íàõîäÿùåìñÿ íà âûñîòå h1, òî â ëþáîìäðóãîì ñå÷åíèè íà âûñîòå h âåëè÷èíû p è v ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìp+Ðèñ. 17.5292ρv 2ρv 2+ ρgh = p1 + 1 + ρgh1.(17.15)22Îòìåòèì, ÷òî äàâëåíèå p ýòî ñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå, èçìåðÿåìîå íåïîäâèæíûììàíîìåòðîì (òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.
17.1),ëèáî ìàíîìåòðîì, äâèæóùèìñÿ âìåñòå ñæèäêîñòüþ. Âåëè÷èíó ρv2/ 2 íàçûâàþò äèíàìè÷åñêèì äàâëåíèåì, ñìûñë êîòîðîãî áóäåò ðàñêðûò ïîçäíåå. Çàìåòèì, ÷òî â ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè ðàâåíñòâî (17.15) îïèñûâàåò ãèäðîñòàòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèåäàâëåíèé.Óðàâíåíèå Áåðíóëëè ìîæåò áûòü òàêæåïîëó÷åíî èç óñëîâèÿ áàëàíñà ýíåðãèè.
 îòñóòñòâèå ñèë âÿçêîñòè ïðèðàùåíèå ñóììàðíîé (ïîòåíöèàëüíîé è êèíåòè÷åñêîé)ýíåðãèè ìàññû âîäû, íàõîäÿùåéñÿ â òðóáêå òîêà ìåæäó ñå÷åíèÿìè S1 è S2 (ðèñ. 17.5),ðàâíî ðàáîòå ñèë äàâëåíèÿ. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî çà âðåìÿ dt ýëåìåíò æèäêîñòè ìàññîé dm = ρS1v1dt = ρS2v2dt îïóñòèëñÿ ñ óðîâíÿ h1 íà óðîâåíü h2, à åãîñêîðîñòü óâåëè÷èëàñü îò v1 äî v2.
Ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíî⎛ v2 v2 ⎞ 1dT = dm ⎜ 2 − 1 ⎟ = ρ (S2v23 − S1v13 ) dt .⎝ 22⎠ 2Èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñîñòàâëÿåòdU = dmg (h2 − h1) = ρg (S2v2h2 − S1v1h1)dt.Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ñèëàìè äàâëåíèÿ,dA = p1S1v1dt − p2S2v2dt.Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà â âèäådT + dU = dA,ïîëó÷àåì óðàâíåíèåp1 +ρv 12ρv 2+ ρgh1 = p 2 + 2 + ρgh2 ,22(17.16)êîòîðîå èäåíòè÷íî (17.15).Âûâîä óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè íà îñíîâå ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà äåëàåò áîëååïîíÿòíûì ôèçè÷åñêèé ñìûñë âõîäÿùèõ â íåãî ñëàãàåìûõ. Òàê, ñòàòè÷åñêîåäàâëåíèå p ÷èñëåííî ðàâíî ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëàìè äàâëåíèÿ íàä åäèíè÷íûì îáúåìîì æèäêîñòè; äèíàìè÷åñêîå äàâëåíèå ρv 2/ 2 åñòü êèíåòè÷åñêàÿýíåðãèÿ ýòîãî åäèíè÷íîãî îáúåìà, à âåëè÷èíà ρgh ÿâëÿåòñÿ åãî ïîòåíöèàëüíîéýíåðãèåé â ïîëå ñèëû òÿæåñòè.Ïðèìåíèì óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ðåøåíèÿ ðÿäà çàäà÷.Âûòåêàíèå æèäêîñòè ÷åðåç îòâåðñòèå â ñîñóäå. Ïóñòü æèäêîñòü, çàïîëíÿþùàÿ ñîñóä, âûòåêàåò èç íåãî ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ÷åðåç îòâåðñòèå âáîêîâîé ñòåíêå ñ çàêðóãëåííîé âíóòðåííåé êðîìêîé, ðàñïîëîæåííîå âáëèçèäíà ñîñóäà (ðèñ.
17.6).  îòâåðñòèå âñòàâëåíà ãîðèçîíòàëüíàÿ òðóáêà, íàïðàâëÿþùàÿ âûòåêàþùóþ ñòðóþ âîäû. Çàêðóãëåíèå êðîìêè îáåñïå÷èâàåò ïîëíîå çàïîëíåíèå òðóáêè âûòåêàþùåé æèäêîñòüþ.Ðàçîáüåì òåêóùóþ æèäêîñòü íà òðóáêè òîêà. Îäíà èç òàêèõ òðóáîê èçîáðàæåíà íà ðèñ. 17.6. Õîòÿ ìû è íå çíàåì, êàê âûãëÿäÿò ýòè òðóáêè, îäíàêîâñå îíè íà÷èíàþòñÿ íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè è çàêàí÷èâàþòñÿíà âûõîäíîì òîðöå ñëèâíîé òðóáêè.Åñëè ïëîùàäü îòâåðñòèÿ òðóáêè S çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ïëîùàäè ñâîáîäíîéïîâåðõíîñòè S0, òî ïðè èñòå÷åíèè æèäêîñòè åå ïîâåðõíîñòü áóäåò îñòàâàòüñÿãîðèçîíòàëüíîé è îïóñêàòüñÿ ñ íåêîòîðîé ìàëîé ñêîðîñòüþ v0.
Ýòî îçíà÷àÐèñ. 17.6293åò, ÷òî êîíñòàíòà, âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå Áåðíóëëè (17.14), áóäåò îäèíàêîâîéäëÿ âñåõ òðóáîê òîêà:ρv 2const = 0 + p0 + ρgH ,2ãäå H âûñîòà ñòîëáà æèäêîñòè íàä ñëèâíîé òðóáêîé. ñâÿçè ñ ýòèì ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè v îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿρv 2ρv 2(17.17)+ p0 = 0 + p0 + ρgH ,22ãäå p0 àòìîñôåðíîå äàâëåíèå íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè è ó ñëèâíîé òðóáêè.Ïîñêîëüêó S = S0, òî èç óñëîâèÿ íåñæèìàåìîñòè (17.2) ñëåäóåò, ÷òî v0 =v.Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîév = 2 gH .(17.18)Ýòà ôîðìóëà íîñèò èìÿ Ý.
Òîððè÷åëëè. Ñðàçó áðîñàåòñÿ â ãëàçà, ÷òî ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè èç ñîñóäà òàêàÿ æå, êàê è ïðè åå ñâîáîäíîì ïàäåíèèñ âûñîòû H.  ýòîì íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî, ïîñêîëüêó âÿçêîñòüþ ìû ïðåíåáðåãëè, à ðàáîòà ñèë àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ íàä æèäêîñòüþ â òðóáêå òîêàðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó, êàê è ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè òåë â îòñóòñòâèå ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíî ðàáîòå ñèëû òÿæåñòè:ρv 2= ρgH .2Ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû Òîððè÷åëëè ìîæíî ëåãêî ïðîâåðèòü, åñëè íà âûõîäíóþ òðóáêó íàäåòü êóñîê øëàíãà è âûòåêàþùóþ ñòðóþ íàïðàâèòü ââåðõ ïîäíåáîëüøèì óãëîì ê âåðòèêàëè (ðèñ. 17.7). Ñòðóÿ ïîäíèìåòñÿ ïðàêòè÷åñêè äîóðîâíÿ ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Åñëè æå ñòðóþ íàïðàâèòü âåðòèêàëüíî ââåðõ, òîïàäàþùèå âíèç ÷àñòèöû áóäóò òîðìîçèòü ïîäíèìàþùèåñÿ, è îíà íå ñìîæåòïîäíÿòüñÿ íà âûñîòó H.Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî òðóáêè òîêà æèäêîñòè â ñîñóäå ðàñïîëîæåíû ïðåèìóùåñòâåííî áëèæå ê ñòåíêå ñ îòâåðñòèåì, â òî âðåìÿ êàê ó ïðîòèâîïîëîæíîé (ëåâîé íà ðèñ.
17.8) ñòåíêè ñêîðîñòü æèäêîñòè áëèçêà ê íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà ëåâóþ ñòåíêó äåéñòâóþò ñèëû äàâëåíèÿ, êîòîðûå ëåãêî ïîäñ÷èòàòü,Ðèñ. 17.7294Ðèñ. 17.8Ðèñ. 17.9èñïîëüçóÿ ëèíåéíûé çàêîí íàðàñòàíèÿ ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ ñ ãëóáèíîé. Ðàñ÷åò æå ñèë äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà ïðàâóþ ñòåíêó, òðåáóåò ó÷åòàäâèæåíèÿ æèäêîñòè. Îäíàêî è áåç òàêîãî ðàñ÷åòà ÿñíî, ÷òî â òðóáêå òîêà,ïðèìûêàþùåé ê ïðàâîé ñòåíêå, äàâëåíèå íà êàæäîì óðîâíå áóäåò ìåíüøåñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîé ãëóáèíå ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
