В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 63
Текст из файла (страница 63)
å. íå çàâèñèò îò ïëîòíîñòè, à çàâèñèò òîëüêî îò òåìïåðàòóðû è âèäà ãàçà.Äëÿ âîäû, ñæèìàåìîñòü êîòîðîé çíà÷èòåëüíî ìåíüøå, ñêîðîñòü çâóêàñ ≈ 1200 ì/ñ.Äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà p/ρ = RT/μ, ïîýòîìó ñêîðîñòü çâóêà c =304γp ρ =γÈñòå÷åíèå ñæàòîãî ãàçà ÷åðåç ñîïëî. Ðàññìîòðèì îäíó èç âàæíåéøèõ çàäà÷ãàçîäèíàìèêè èñòå÷åíèå ãàçà, ñæàòîãî â ñîñóäå äî äàâëåíèÿ p1 è ïëîòíîñòèρ1, ÷åðåç âûõîäíóþ òðóáêó ñîïëî (ðèñ.
17.14). Ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ v, ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (17.43), ñîñòàâëÿåò( γ−1)2 γ p1 ⎡ ⎛ p ⎞v= v +⎢1 −γ − 1 ρ1 ⎢ ⎜⎝ p1 ⎟⎠⎣21γ⎤⎥.⎥⎦(17.58)Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî h ≈ h1.Ïðè ìàëîì ñå÷åíèè ñîïëà ñêîðîñòüþ v1 äâèæåíèÿ ãàçà âíóòðè ñîñóäà ìîæíîïðåíåáðå÷ü. Íàêîíåö, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñíàðóæè äàâëåíèå p = p1. Òîãäàv = 2γ ( γ − 1)( p1 ρ1 ).(17.59)Ðàñ÷åò, ïðîâåäåííûé ïî ýòîé ôîðìóëå äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âîçäóõ ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ âûòåêàåò â âàêóóì, äàåò çíà÷åíèå ñêîðîñòè v≈ 740 ì/ñ. Ýòàñêîðîñòü áîëåå ÷åì âäâîå ïðåâûøàåò ñêîðîñòü çâóêà è, êàê ïîêàçûâàåò îïûò,ïðè èñïîëüçîâàíèè ñîïëà ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ íå äîñòèãàåòñÿ. Ðåàëüíî ñêîðîñòü ãàçà íå ïðåâûøàåò ñêîðîñòè çâóêà, ïîñêîëüêó ãàç, íàõîäÿùèéñÿ â ñîïëåïîä çàìåòíûì äàâëåíèåì, ÿâëÿåòñÿ ñâîåîáðàçíîé «àýðîäèíàìè÷åñêîé ïðîáêîé» äëÿ ãàçà âíóòðè ñîñóäà ïîòîê êàê áû çàïèðàåò ñîïëî. Ýòîò âûâîä ïîäòâåðæäàåòñÿ è ïðîñòåéøèìè ðàñ÷åòàìè.
Ïóñòü l êîîðäèíàòà, íàïðàâëåííàÿâäîëü îñè ñîïëà ñ ïåðåìåííûì ñå÷åíèåì S = S (l ). Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿóðàâíåíèå Ýéëåðà (17.35) èëè óðàâíåíèå Áåðíóëëè (17.40) ñâÿçûâàþò ïðèðàùåíèÿ ñêîðîñòè è äàâëåíèÿ:vdv = −dp/ρ.(17.60)Èç óñëîâèÿ ïîñòîÿíñòâà ìàññû (17.1) ñëåäóåò, ÷òî â ëþáîì ñå÷åíèè ñîïëàρvS = const, èëèd ρ d v dS++= 0.ρSv(17.61)Íàêîíåö, ñîãëàñíî (17.55), ìîæåì çàïèñàòü:dp = c2dρ,(17.62)ãäå c ñêîðîñòü çâóêà â ñå÷åíèè S, ìåíÿþùàÿñÿ âäîëü ñîïëà.Èç (17.60) è (17.62) èìååì:vd v = −c 2dρ.ρ(17.63)Ïîäñòàâèâ (17.63) â (17.61), íàõîäèì:⎞dS dv ⎛ v 2=− 1⎟ .v ⎜⎝ c 2S⎠(17.64)Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîçâóêîâûõ ñêîðîñòÿõ (v/c < 1) â ñóæàþùåìñÿ ñîïëå(dS < 0), ñêîðîñòü âîçðàñòàåò (dv > 0), à äàâëåíèå [ñîãëàñíî (17.63)] óáûâàåò.Îäíàêî ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê ñêîðîñòè çâóêà ïðèðàùåíèå ñêîðîñòè dv ñòðå305Ðèñ. 17.14Ðèñ.
17.15ìèòñÿ ê íóëþ, à ñàìà ñêîðîñòü äîñòèãàåò íåêîòîðîãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ,áëèçêîãî ê c.  ðàñøèðÿþùåìñÿ ñîïëå (dS > 0) ïðè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè v< cáóäåò èìåòü ìåñòî óìåíüøåíèå ñêîðîñòè ïîòîêà ñ îäíîâðåìåííûì óâåëè÷åíèåì äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè.Ïîëó÷èòü ñâåðõçâóêîâûå ñêîðîñòè ìîæíî ëèøü ïðè èñïîëüçîâàíèè ñîïëà,ôîðìà êîòîðîãî ïîêàçàíà íà ðèñ.
17.15.  ñóæàþùåéñÿ ÷àñòè ñîïëà ïîòîê óñêîðÿåòñÿ. Êîãäà åãî ñêîðîñòü â ñàìîì óçêîì ñå÷åíèè íåçíà÷èòåëüíî ïðåâûñèòñêîðîñòü çâóêà (v Y c), òî, ñîãëàñíî (17.64), ïîñëåäóþùåå óâåëè÷åíèå ñå÷åíèÿ(dS > 0) áóäåò ïðèâîäèòü ê äàëüíåéøåìó óñêîðåíèþ ïîòîêà ïðè îäíîâðåìåííîì ïàäåíèè äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè. Òàêîå ñîïëî, ïîëó÷èâøåå íàçâàíèå ñîïëàËàâàëÿ, ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ñâåðõçâóêîâûå ñêîðîñòè ïîòîêîâ.
Ýòà èäåÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ðàêåòíûõ äâèãàòåëåé. Ýòîò æå ïðèíöèï ëåæèò âîñíîâå êîíñòðóêöèè àýðîäèíàìè÷åñêèõ òðóá, èñïîëüçóåìûõ äëÿ èñïûòàíèÿñâåðõçâóêîâûõ ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ. Íà ïðàêòèêå ñîïëà ïðîôèëèðóþò òàê,÷òîáû â âûõîäíîì ñå÷åíèè ïîëó÷èòü ïîòîê, ñêîðîñòü êîòîðîãî ïî ñå÷åíèþáûëà áû îäíîé è òîé æå.ËÅÊÖÈß 18Ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ.  ïðåäûäóùåé ëåêöèè áûëî ðàññìîòðåíî äâèæåíèåæèäêîñòåé è ãàçîâ áåç ó÷åòà ñèë âÿçêîãî òðåíèÿ. Îäíàêî ýòè ñèëû, äåéñòâóþùèå ìåæäó äâèæóùèìèñÿ ÷àñòèöàìè, ìîãóò êàðäèíàëüíûì îáðàçîì ïîâëèÿòüêàê íà ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé â ïîòîêå, òàê è íà îáòåêàíèå òåë, íàõîäÿùèõñÿ â ýòîì ïîòîêå.Åùå Íüþòîí óñòàíîâèë, ÷òî ïðè ñêîëüæåíèè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà äâóõïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé, ïðîñòðàíñòâî ìåæäó êîòîðûìè çàïîëíåíî æèäêîñòüþ, ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ ïðåïÿòñòâóþò ýòîìó ñêîëüæåíèþ (ðèñ.
18.1). Òàê,ïðè äâèæåíèè ñî ñêîðîñòüþ L âåðõíåé ïëîñêîñòè ïëîùàäüþ S îòíîñèòåëüíîíèæíåé âîçíèêàåò ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ F, íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ äâèæåíèÿ,F = ηS (L h).(18.1)Ýòà ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäè S è èçìåíåíèþ ñêîðîñòè íà åäèíèöóäëèíû L/h â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè (ãðàäèåíòó ñêîðîñòè â íàïðàâëåíèè,ïåðïåíäèêóëÿðíîì äâèæåíèþ) è çàâèñèò òàêæå îò âÿçêîñòè æèäêîñòè η.Ôîðìóëà (18.1) ñïðàâåäëèâà, åñëè ðàññòîÿíèå h ìåæäó ïëàñòèíàìè çíà÷èòåëüíî ìåíüøå èõ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ (h = S ) è ñêîðîñòü L íåâåëèêà.
Âàæíîîòìåòèòü, ÷òî ÷àñòèöû æèäêîñòè, ïðèëåãàþùèå ê âåðõíåé ïëàñòèíå, äâèæóòñÿâìåñòå ñ íåþ ñî ñêîðîñòüþ L (óâëåêàþòñÿ ïëàñòèíîé). Íàïðîòèâ, ÷àñòèöûæèäêîñòè âáëèçè íèæíåé (íåïîäâèæíîé) ïëàñòèíû íàõîäÿòñÿ â ïîêîå (ïðèëèïàþò ê ïëàñòèíå).Ðàçîáüåì æèäêîñòü ìåæäó ïëàñòèíàìè íà ïëîñêèå ïàðàëëåëüíûå ñëîè, äâèæóùèåñÿ ðàâíîìåðíî (ðèñ. 18.2). Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî êàæäûé âûøåëåæàùèéñëîé óâëåêàåò çà ñîáîé íèæíèé ñîñåäíèé ñëîé ñ ñèëîé F.  ñâîþ î÷åðåäü, ýòîòíèæíèé ñëîé òîðìîçèò äâèæåíèå âåðõíåãî ñëîÿ ñ òîé æå ñèëîé F. Íà êàæäûéñëîé äåéñòâóþò ñâåðõó è ñíèçó äâå ðàâíûå, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûåñèëû. Ñêîðîñòü ñëîåâ ëèíåéíî âîçðàñòàåò îò íèæíåãî ñëîÿ ê âåðõíåìó, à ñèëûòðåíèÿ, äåéñòâóþùèå íà êàæäûé èç ñëîåâ, îäèíàêîâû.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè âíóòðåííåå òðåíèå â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ îáóñëîâëåíî õàîòè÷åñêèì òåïëîâûì äâèæåíèåì ìîëåêóë. Ïðè äâèæåíèè æèäêîñòè ìîëåêóëû â öå-Ðèñ. 18.1Ðèñ. 18.2307ëîì ïðèîáðåòàþò íåêîòîðûé èìïóëüñ, ñîîòâåòñòâóþùèé ñêîðîñòè äàííîãî ñëîÿ.Ýòîò èìïóëüñ ëèáî óâåëè÷èâàåòñÿ (ïðèñòîëêíîâåíèÿõ ñ ìîëåêóëàìè èç ñîñåäíåãî, áîëåå «áûñòðîãî» ñëîÿ), ëèáî óìåíüøàåòñÿ (ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ ñ ìîëåêóëàìè èç áîëåå «ìåäëåííîãî» ñëîÿ).
 ðåçóëüòàòå è ïîÿâëÿåòñÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íàÐèñ. 18.3ðàññìàòðèâàåìûé ñëîé ëèáî ïî íàïðàâëåíèþ åãî ñêîðîñòè, ëèáî ïðîòèâîïîëîæíî.  èòîãå óñèëèå F, ïðèëîæåííîå ê âåðõíåé ïëàñòèíå, ïåðåäàåòñÿ íà íèæíþþ.Êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòè æèäêîñòåé è ãàçîâ ìîæíî îïðåäåëèòü ýêñïåðèìåíòàëüíî, íàïðèìåð, ïî ñêîðîñòè èõ ïðîòåêàíèÿ ÷åðåç òðóáêó èçâåñòíûõðàçìåðîâ (ñì. íèæå). Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, ïðè íàãðåâàíèè âÿçêîñòü æèäêîñòåé óìåíüøàåòñÿ, à ãàçîâ óâåëè÷èâàåòñÿ. Îáúÿñíåíèå òàêîé çàâèñèìîñòèáóäåò äàíî â êóðñå «Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà».Òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè. Óðàâíåíèå Íàâüå Ñòîêñà. Äëÿ àíàëèçà òå÷åíèÿâÿçêîé æèäêîñòè â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (17.28) íåîáõîäèìî äîáàâèòü ñèëó âÿçêîãî òðåíèÿ, äåéñòâóþùóþ íà åäèíè÷íûé îáúåì æèäêîñòè. Äëÿïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òå÷åíèÿ æèäêîñòè â íàïðàâëåíèè îñèÎx, ïðè ýòîì åäèíñòâåííàÿ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè Lx áóäåò çàâèñåòü îò ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû y (ðèñ.
18.3). Íà âåðõíþþ ãðàíü dxdz ýëåìåíòà dxdydz (îñü Îzïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà) â íàïðàâëåíèè îñè Îx äåéñòâóåò, â ñîîòdL x, à íà íèæíþþ ãðàíü âåòñòâèè ñ (18.1), óâëåêàþùàÿ ñèëà Fx′ = ηdxdzdy y + dydL xdyäëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ýëåìåíòàòîðìîçÿùàÿ ñèëà Fx′′ = −ηdxdz. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë âÿçêîãî òðåíèÿyF = Fx′+ F x″.(18.2)Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíè÷íûé îáúåì,fx =d 2L xF=η.dxdydzdy 2(18.3)Ïðè ëèíåéíîì èçìåíåíèè ñêîðîñòè îò ñëîÿ ê ñëîþ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.
18.2,f x = 0. Åñëè ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ íåëèíåéíî (ñì. ðèñ. 18.3), òî f x ≠ 0.  îáùåìñëó÷àå ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ èìååò òðè êîìïîíåíòû f = { fx, fy, fz }, ãäå⎛ ∂ 2L x ∂ 2L x ∂ 2L x ⎞++fx = η ⎜⎟ = ηΔL x ;2∂y 2∂z 2 ⎠⎝ ∂x⎛ ∂ 2L y ∂ 2L y ∂ 2L y ⎞+fy = η⎜ 2 +⎟ = ηΔL y ;∂y 2∂z 2 ⎠⎝ ∂x⎛ ∂ 2L z ∂ 2L z ∂ 2L z ⎞++fz = η ⎜⎟ = ηΔL z .2∂y 2∂z 2 ⎠⎝ ∂x308(18.4)∂2∂2∂2++ îïåðàòîð Ëàïëà∂x 2 ∂y 2 ∂z 2ñà, ïðèìåíÿåìûé â ìàòåìàòèêå è ôèçèêå äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè. Åñëè òåïåðüêîìïîíåíòû ñèëû òðåíèÿ (18.4) ïîäñòàâèòü â ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (17.30)äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò ñêîðîñòåé, òî ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèéãèäðîäèíàìèêè âÿçêîé æèäêîñòè.
Ýòè òðè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû ââèäå îäíîãî âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ: (18.4) èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå Δ =∂ρ ⎡⎢ + v grad ⎤⎥ v = f − grad p + ηΔv.⎣ ∂t⎦(18.5)Îíî îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâîãî èç óðàâíåíèé (17.31) íàëè÷èåì ñëàãàåìîãî ηΔvâ ïðàâîé ÷àñòè.Óðàâíåíèå (18.5) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Íàâüå Ñòîêñà è ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ïðè ðàñ÷åòå äâèæåíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè; â îáùåì ñëó÷àåäëÿ åãî ðåøåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû.  ðÿäå ñëó÷àåâ âÿçêîñòü æèäêîñòè (ãàçà) ìîæíî íå ó÷èòûâàòü, ÷òî çíà÷èòåëüíî óïðîùàåò ðåøåíèå çàäà÷.Âûÿñíèì, êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ñèëàìè âÿçêîñòè.×èñëî Ðåéíîëüäñà. Ðàññìîòðèì òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè ïîä äåéñòâèåì ñèëäàâëåíèÿ ìåæäó äâóìÿ íåïîäâèæíûìè ãîðèçîíòàëüíûìè ïëàñòèíàìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî h.
Ïîñêîëüêó ÷àñòèöû æèäêîñòè «ïðèëèïàþò» êïëàñòèíàì, òî ñêîðîñòè ñëîåâ æèäêîñòè áóäóò ðàçëè÷íûìè. Ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé ñëîåâ ïîêàçàíî íà ðèñ. 18.4.Åñëè èçâåñòíà õàðàêòåðíàÿ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ (íàïðèìåð, ñêîðîñòü L íà îñèïîòîêà), òî ëåãêî îöåíèòü ñèëó âÿçêîãî òðåíèÿ, äåéñòâóþùóþ íà åäèíè÷íûéîáúåì æèäêîñòè. Ñîãëàñíî (18.3),fx = ηd 2L xL≈η 2.dy 2h(18.6)Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ óáûâàþò ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè.
 îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïëîòíîñòü ñèëûâÿçêîñòè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó õàðàêòåðíîãî ïîïåðå÷íîãî ðàçìåðàïîòîêà è ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè.Âÿçêîñòüþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, åñëè ïîòåðè ýíåðãèè ïîòîêà, îáóñëîâëåííûå ñèëàìè òðåíèÿ, íåçíà÷èòåëüíû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàáîòà ñèë òðåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà íåêîòîðûé ýëåìåíò æèäêîñòè, çíà÷èòåëüíî ìåíüøå åãî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Îöåíèì ðàáîòó ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà åäèíè÷íûé îáúåì æèäêîñòè, òåêóùåé ïî ãîðèçîíòàëüíîé òðóáå ðàäèóñîì R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
