В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Ñèëîâûå ëèíèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B âñå∂x∂y∂zãäà çàìêíóòû (íåò ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ), ïîýòîìó diL B = 0.Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè. Ïðè çàäàííûõ âíåøíèõ ñèëàõ èèçâåñòíûõ ñâîéñòâàõ æèäêîñòè ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ åäèíè÷íîãî îáúåìà íåñæèìàåìîé íåâÿçêîé æèäêîñòè:div E =ρdv= f − grad p,dt(17.28)ãäå îïåðàòîð grad (ãðàäèåíò) îïðåäåëÿåòñÿ êàêgrad = i∂∂∂+j+k∂x∂y∂z(17.29)(ñì. ëåêöèþ 5).Óðàâíåíèå (17.28) çàïèñàíî â âåêòîðíîì âèäå è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ (17.3).Ðàñïèñûâàÿ (17.28) äëÿ òðåõ ïðîåêöèé ñêîðîñòè, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íûõ (17.5):∂v∂v∂v ⎞∂p⎛ ∂v;ρ ⎜ x + vx x + v y x + vz x ⎟ = f x −∂∂∂∂∂txyxz⎝⎠∂v y∂v y∂v y ⎞⎛ ∂v y∂pρ⎜+ vx+ vy+ vz⎟ = f y − ∂y ;z∂∂∂∂txy⎝⎠(17.30)∂v∂v∂v ⎞∂p⎛ ∂v.ρ ⎜ z + vx z + v y z + vz z ⎟ = fz −∂∂∂∂∂ztxyz⎝⎠Åñëè ýòè óðàâíåíèÿ äîïîëíèòü óñëîâèåì íåñæèìàåìîñòè∂v x ∂v y ∂v z++= 0,∂x∂y∂z299òî ìû ïîëó÷èì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ÷åòûðüìÿ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò è âðåìåíè (vx, vy, vz è p).
Óðàâíåíèÿ (17.30) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà è ïîçâîëÿþò, â ïðèíöèïå, ðàññ÷èòàòü äèíàìèêó òå÷åíèÿ æèäêîñòè. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé èç-çà∂v x∂v, K, v z z . Ïîýòîìó èíòåãðèðîâàíèå ýòèõ óðàâíåíèé∂x∂zè íàõîæäåíèå èñêîìûõ ôóíêöèé ïðåäñòàâëÿåò ïîä÷àñ âåñüìà ñëîæíóþ çàäà÷óäàæå ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîùíûõ ÝÂÌ. Èç (17.30) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèåíàëè÷èÿ ÷ëåíîâ v x∂v= 0.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì∂tèñïîëüçîâàòü óðàâíåíèÿ (17.30) äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòèè àíàëèçà ñâîéñòâ àêóñòè÷åñêèõ âîëí. çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (17.30) ÷àñòî çàïèñûâàåòñÿ â áîëåå êîìïàêòíîì âèäå ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðà ãðàäèåíòà. Êàæäîå èç òðåõ óðàâíåíèé (17.30) èìååò âèäÁåðíóëëè äëÿ ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ, êîãäàρ( ∂∂t + v ⋅ grad )vx , y,z= f x , y,z − ( grad p )x , y,z . ðåçóëüòàòå ÷åòûðå ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèÿ äëÿ vx, vy, vz è p ìîæíî çàïèñàòüâ âèäå äâóõ âåêòîðíûõ óðàâíåíèé:∂ρ ⎡⎢ + v ⋅ grad ⎤⎥ v = f − grad p,⎣ ∂t⎦diL v = 0.(17.31)Òå÷åíèå ñæèìàåìîé æèäêîñòè.
Ïðè òå÷åíèè ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé (ãàçîâ),îñîáåííî ñ áîëüøèìè ñêîðîñòÿìè, èõ ïëîòíîñòü ìîæåò çíà÷èòåëüíî ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè è â ïðîñòðàíñòâå. ßñíî, ÷òî îáúåì æèäêîñòè, âòåêàþùåé ÷åðåçïîâåðõíîñòü êóáèêà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 17.11, ìîæåò áûòü íå ðàâåí îáúåìó âûòåêàþùåé æèäêîñòè. Åñëè ýòî òàê, òî ìàññà ãàçà âíóòðè êóáèêà (à ñ íåéè ïëîòíîñòü) áóäåò ñî âðåìåíåì ìåíÿòüñÿ, è óðàâíåíèå (17.24) ñòàíåò íåñïðàâåäëèâûì.
 ýòîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè, êîòîðîå âûâîäèòñÿ èç óñëîâèÿ áàëàíñà ìàññû ãàçà. Ïîòîê ìàññû ãàçà ÷åðåç ïëîùàäêó dS áóäåò ðàâåí dQm = ρvdS, à ïîëíûé ïîòîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ýëåìåíòàñ îáúåìîì dxdydz, àíàëîãè÷íî (17.27), ðàâåídQm = dxdydz diL (ρv),(17.32)ãäå ρv íîâîå âåêòîðíîå ïîëå.Åñëè ýòîò ïîòîê ïîëîæèòåëüíûé, òî ìàññà âíóòðè ýëåìåíòà m = ρdxdydzáóäåò óáûâàòü çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ âî âðåìåíè ïëîòíîñòè ρ. Ïîýòîìó, çàïèñûâàÿ óñëîâèå áàëàíñà ìàññû â âèäådxdyd z div (ρv ) = −dxdyd z∂ρ,∂t(17.33)ìû ïîëó÷àåì (ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà dxdydz) îäíî èç ôóíäàìåíòàëüíûõ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ ñæèìàåìîé æèäêîñòè:300∂ρ+ div (ρv ) = 0.(17.34)∂tÑëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ρ = const ýòî óðàâíåíèå ïåðåõîäèò â (17.24). Âýëåêòðîäèíàìèêå àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè çàðÿäà ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì óíèâåðñàëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà è òàêæåÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì.Äèíàìèêà ñæèìàåìîé æèäêîñòè áàçèðóåòñÿ íà II çàêîíå Íüþòîíà, çàïèñàííîì äëÿ åäèíèöû ìàññû æèäêîñòè.
Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë äàâëåíèÿ è âíåøíèõ ñèë ñîçäàåò óñêîðåíèå åäèíèöû ìàññû, ïîýòîìó( ∂∂t + v grad ) v = − 1ρ grad p + f ,*(17.35)ãäå f * âíåøíÿÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó ìàññû.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïÿòè íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí (vx, vy, vz, p è ρ) íåîáõîäèìîäîïîëíèòü (17.35) óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè (17.34) è ìàòåðèàëüíûì óðàâíåíèåì, ñâÿçûâàþùèì ïëîòíîñòü è äàâëåíèå:ρ = ρ(p).(17.36)Ñèñòåìà (17.34) (17.36) íîñèò íàçâàíèå óðàâíåíèé Ýéëåðà äëÿ ñæèìàåìîé æèäêîñòè. Íà îñíîâå ýòèõ óðàâíåíèé ðåøàåòñÿ áîëüøîå ÷èñëî çàäà÷ ãàçîäèíàìèêè.Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (17.35) è ïîëó÷èì óðàâíåíèå Áåðíóëëè. Äëÿ ýòîãîâèäîèçìåíèì ïðàâóþ ÷àñòü (17.35), ââåäÿ âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ 2 (16.27)è ó÷òåì (16.29), ò. å. ââåäåì ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ åäèíèöû ìàññû U *.
Òîãäà(17.35) ïðèìåò âèä( ∂∂t + v grad ) v = − grad (2 +U ).*(17.37)∂v= 0.  íàïðàâëåíèè îñè òðóáêè òîêà (âäîëü∂têðèâîëèíåéíîé êîîðäèíàòû l ) ìîæíî çàïèñàòüÏðè ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèèv d v = − d ( 2 +U * ) .(17.38)dldlÏîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ åäèíèöû ìàññû U *(l ) = U *(h) = gh + const,àp (l )dp, òî, ïî àíàëîãèè ñ (17.13), ïåðåïèøåì (17.38) â âèäå2 (l ) = ∫ρp1 (l1 )p (l )⎛ v2⎞dp(17.39)+ ∫+ gh ⎟ = 0.⎜⎜ 2 p (l ) ρ⎟1 1⎝⎠Èíòåãðèðóÿ (17.39) âäîëü ëèíèè òîêà, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ ñæèìàåìîé æèäêîñòè:ddlv2 +2p (h )dp+ gh = const,ρp (h )1∫(17.40)1ãäå h âûñîòà ñå÷åíèÿ òðóáêè òîêà ñ êîîðäèíàòîé l. Î÷åâèäíî, ÷òî p (l ) = p (h),p1(l1) = p1(h1). Ïîñòîÿííàÿ â (17.40) îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ñêîðîñòè v1 è âûñî301òû h1 äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ñå÷åíèÿ ñ êîîðäèíàòîé l1.
Ñ ó÷åòîì ýòîãî óðàâíåíèå(17.40) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåv2 +2p (h )v2dp+ gh = 1 + gh1 .2ρp1 (h 1)∫(17.41)Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè íåîáõîäèìî çíàòüñâÿçü ìåæäó p è ρ.  ñëó÷àå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (ρ = const) óðàâíåíèå (17.41)ïåðåõîäèò â (17.15).Åñëè ðå÷ü èäåò î ïîòîêå ãàçà (ñæèìàåìîé æèäêîñòè), òî ïðè áûñòðîì ñæàòèè (óâåëè÷åíèè ïëîòíîñòè) îí áóäåò íàãðåâàòüñÿ. Èç-çà ïëîõîé òåïëîïðîâîäíîñòè ãàçà òåïëîòà íå áóäåò óñïåâàòü óõîäèòü èç íàãðåòûõ îáëàñòåé. Ïîýòîìó äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñâÿçè ρ = ρ(p) âîñïîëüçóåìñÿ àäèàáàòè÷åñêèì ïðèáëèæåíèåì:p/p1 = (ρ/ρ1)γ,(17.42)ãäå γ > 1 ïîêàçàòåëü àäèàáàòû.Òàêàÿ ñâÿçü ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî íà÷àëà òåðìîäèíàìèêè è óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà (16.32) ïðè óñëîâèè îòñóòñòâèÿ òåïëîîáìåíà ìåæäóíàãðåòîé îáëàñòüþ è îêðóæàþùåé ñðåäîé.Äàâëåíèå â (17.42) âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì ïëîòíîñòè áûñòðåå, ÷åì ïðèèçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå, òàê êàê γ > 1.
 êóðñå ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè áóäåòïîêàçàíî, ÷òî γ = Cp /CV (Cp è CV óäåëüíûå òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííûõäàâëåíèè è îáúåìå ñîîòâåòñòâåííî). Äëÿ âîçäóõà, ñîñòîÿùåãî ãëàâíûì îáðàçîìèç äâóõàòîìíûõ ãàçîâ, γ = 1,4.Åñëè ïîäñòàâèòü (17.42) â (17.41) è âûïîëíèòü ïðîñòåéøåå èíòåãðèðîâàíèå, òî ìîæíî íàéòè ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ âäîëü òðóáêè òîêà:γ − 1 ρ1 ⎡ 1 2⎧p = p1 ⎨1 −(v − v12 ) + g (h − h1 )⎤⎥⎦ ⎫⎬⎢p2γ⎣⎩⎭1γ ( γ−1).(17.43)Áóäåì ñ÷èòàòü òðóáêó òîêà ãîðèçîíòàëüíîé (h = h1), à ñêîðîñòè òå÷åíèÿ òàêèìè, ÷òîγp1c21 2= 1 ,v − v12 < 1γ − 1 ρ1γ −12(17.44)ãäå c1 = γp1 ρ1 ïàðàìåòð, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè.Êàê ìû óâèäèì íåñêîëüêî ïîçäíåå, ñêîðîñòü çâóêà â ãàçåc = γp ρ.(17.45)Ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ (p = 760 ìì ðò.
ñò., t = 0 °C) ñêîðîñòü çâóêà ââîçäóõå ñ = 330 ì/ñ.Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (17.44) ïðàâóþ ÷àñòü (17.43) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä:⎧⎪ρ ⎛ v 2 − v 12p = p1 ⎨1 − 1 ⎜2p1 ⎝⎪⎩3022⎫⎪⎞ 1 ρ12 ⎛ v 2 − v 12 ⎞++ K⎬ .⎟ 2γ 2 ⎜⎟2p1 ⎝⎠⎠⎪⎭(17.46)Åñëè ñêîðîñòè òå÷åíèÿ ãàçà ñ÷èòàòü ìàëûìè (v, v1 = c1), òî â (17.46) ìîæíîïðåíåáðå÷ü êâàäðàòè÷íûì è áîëåå âûñîêèìè ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ñîîòâåòñòâóåò òå÷åíèþ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñïëîòíîñòüþ ρ1 = const. Êâàäðàòè÷íûé ÷ëåí íà÷èíàåò äàâàòü âêëàä â ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ïðè ñêîðîñòÿõ ïîòîêà, ñîèçìåðèìûõ ñî ñêîðîñòüþ çâóêà ñ1.Ïîäñòàâèâ (17.42) â (17.43), ïîëó÷àåì ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè âäîëü òðóáêè òîêà:1 ( γ− 2 )γ − 1 ρ1 ⎡ 1 2⎧ρ = ρ1 ⎨1 −(v − v12 ) + g (h − h1 )⎤⎦⎥ ⎫⎬⎢pγ2⎣⎩⎭1.(17.47)Äëÿ ãîðèçîíòàëüíîé òðóáêè òîêà è ïðè óñëîâèè (17.44) ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè (17.47) ïîñëå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïðèìåò âèä⎛ v 2 − v12⎞ρ = ρ1 ⎜1 −+ K⎟ .22c⎝⎠1(17.48)Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå ïëîòíîñòè ãàçà íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü òîëüêîïðè ñêîðîñòÿõ òå÷åíèÿ, ñîïîñòàâèìûõ ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñî ñêîðîñòüþ çâóêà, îïðåäåëÿåìîé, êàê ñëåäóåò èç (17.45), äàâëåíèåì è ïëîòíîñòüþ â ýòîìïîòîêå.
Åñëè æå ñêîðîñòü òå÷åíèÿ v= c, òî ñæèìàåìîñòüþ ãàçà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.Ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè. Åñëè â íåïîäâèæíîéæèäêîñòè (èëè ãàçå) áûñòðî ñîçäàòü â íåáîëüøîé îáëàñòè èçáûòî÷íîå äàâëåíèå Δp, à çíà÷èò è èçáûòî÷íóþ ïëîòíîñòü Δρ, òî ýòè âîçìóùåíèÿ áóäóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ, ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèâîäÿ â äâèæåíèå÷àñòèöû ñðåäû, ðàñïîëîæåííûå íà ïóòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ, êàê ïîêàçûâàåò îïûò, íå çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âèäà âîçìóùåíèÿ,åñëè òîëüêî îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ Δp/p = 1 è Δρ/ρ = 1 ( ð è ρ ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè ñðåäû).
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî è ôîðìàòàêèõ ìàëûõ âîçìóùåíèé â ïðîöåññå èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ íå ìåíÿåòñÿ.Ðàññ÷èòàåì ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé, èñïîëüçóÿ ñàìóþ ïðîñòóþ ôèçè÷åñêóþ ñèòóàöèþ. Ïóñòü òðóáà ñ ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ Sçàïîëíåíà æèäêîñòüþ (èëè ãàçîì) ñ ïëîòíîñòüþ ρ ïîä äàâëåíèåì p. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïîðøåíü, çàêðûâàþùèé òðóáó ñ îäíîãîêîíöà, íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v = c. Ïåðåä ïîðøíåìîáðàçóåòñÿ îáëàñòü ïîâûøåííîãî äàâëåíèÿ (ðèñ. 17.13), ãðàíèöà êîòîðîé áóäåòÐèñ.
17.13303äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ c. Èìïóëüñ ñèëû F, äåéñòâóþùåé â òå÷åíèå âðåìåíèΔt, ïåðåäàåòñÿ ÷àñòèöàì ñðåäû â îáúåìå ñ ïîâûøåííîé ïëîòíîñòüþ ρ + Δρ,êîòîðûå íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ v. Ïîýòîìó ìîæåì çàïèñàòü ðàâåíñòâî:F Δt = Δp S Δt = (ρ + Δρ) (c − v)Δt S v,(17.49)Δp = (ρ + Δρ) (c − v) v.(17.50)èëèÈç óñëîâèÿ ïîñòîÿíñòâà (äî è ïîñëå ñæàòèÿ) ìàññû âåùåñòâà ñëåäóåò, ÷òî(17.51)ρ S c Δt = (ρ + Δρ) (c − v) S Δt,èëèρ c = (ρ + Δρ) (c − v).(17.52)Èç óðàâíåíèé (17.50) è (17.52) íàõîäèì ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÷àñòèö êàêôóíêöèþ èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ:v=Δp.ρc(17.53) àêóñòèêå ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûðàæàåò àêóñòè÷åñêèé çàêîí Îìà.
Åñëè ïðîâîäèòü àíàëîãèþ ñ çàêîíîì Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà, òî vÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ñèëû òîêà, Δp ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, à ρñ òàê è íàçûâàåòñÿ àêóñòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû.Ðàâåíñòâî (17.52) ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê áóäåò èìåòü âèä0 = Δρc − ρv − vΔρ.(17.54)Ïîñëåäíèé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè (17.54) ïðåíåáðåæèìî ìàë. Ïîäñòàíîâêà(17.53) â (17.54) ïðèâîäèò ê èñêîìîìó âûðàæåíèþ äëÿ ñêîðîñòè:c=Δp.Δρ(17.55)Ôîðìóëà (17.55) ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ñêîðîñòü çâóêà â ðàçëè÷íûõ æèäêîñòÿõ è ãàçàõ, åñëè èçâåñòíà ñâÿçü ìåæäó äàâëåíèåì è ïëîòíîñòüþ. Äëÿ ãàçîâ ýòàñâÿçü äàåòñÿ óðàâíåíèåì àäèàáàòû (17.42):p = const ⋅ ργ.Ïîñêîëüêó Δp = const ⋅ γργ−1(17.56)Δρ, òîc = const⋅ γρ γ−1 =(17.57)γp ρ(ôîðìóëà Ëàïëàñà). Äëÿ âîçäóõà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ p ≈ 105 Ïà, ρ ≈ 1,3 êã/ì3è ñ ≈ 330 ì/c.RT,μò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
