В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Íà ðèñ.15.17 èçîáðàæåíû äåôîðìèðóåìûé âàë è äåôîðìàöèÿ ñäâèãà åãî ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà. Î÷åâèäíî, ÷òî óãîë ñäâèãà α çàâèñèò îò óäàëåíèÿ ýòîãî îáúåìà îò îñèâàëà. Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ στ, îòâåòñòâåííûå çà äåôîðìàöèè ñäâèãà, ñîçäàþò â ðàññìàòðèâàåìîì ñå÷åíèè ìîìåíò óïðóãèõ ñèë, ðàâíûéRM óïð = ∫ rdf τ = ∫ r στdS = ∫ rG γ 2πrdr .(15.49)0Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî ïëîùàäü ýëåìåíòàðíîãî êîëüöà ðàäèóñîì r è øèðèíîé drðàâíà dS = 2π rdr, à στ (r) = γ (r) G.Èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ÷àñòè âàëà, íàõîäÿùåéñÿ, íàïðèìåð, âûøå îò ðàññìàòðèâàåìîãî ñå÷åíèÿ, ñëåäóåò, ÷òîMóïð = M(15.50)è Móïð íå çàâèñèò îò âûáîðà ñå÷åíèÿ âàëà.Ðèñ. 15.16265Ðèñ.
15.17Çàâèñèìîñòü γ (r) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé ðàññòîÿíèÿ r, ò. å.γ (r) = kr,(15.51)ãäå íåèçâåñòíûé êîýôôèöèåíò k ìîæåò áûòü îïðåäåëåí èç (15.49) ñ ó÷åòîì(15.50):RM óïð = M = 2πGk ∫ r 3dr =0πGR 4k.2(15.52)Òàêèì îáðàçîì, ñäâèãîâûå äåôîðìàöèèγ (r ) =2MrπGR 4(15.53)ïðîïîðöèîíàëüíû ìîìåíòó âíåøíèõ ñèë è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ðàäèóñà R. Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ëåãêî ïîäñ÷èòàòü óãîë êðó÷åíèÿ ϕ, íà êîòîðûé ïîâåðíåòñÿ âåðõíåå îñíîâàíèå ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíîíèæíåãî. Èç ðàâåíñòâàl γ (R ) = Rϕñ ó÷åòîì (15.53) íàõîäèìϕ = l γ (R)/R = M/B,(15.54)πGR 4 ìîäóëü êðó÷åíèÿ, çàâèñÿùèé îò ðàçìåðîâ âàëà è ìîäóëÿ ñäâèãà2lìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî âàë èçãîòîâëåí.ãäå B =266àáÐèñ. 15.18Äëÿ ñîçäàíèÿ æåñòêèõ âàëîâ íåîáõîäèìî óâåëè÷èâàòü èõ äèàìåòð è ñîêðàùàòü äëèíó.
 öåëÿõ ýêîíîìèè ìàòåðèàëà âàëû ÷àñòî äåëàþò ïóñòîòåëûìè, îáåñïå÷èâàÿ ïðè ýòîì âûñîêóþ æåñòêîñòü âàëà. ðÿäå ñëó÷àåâ, íàîáîðîò, èñïîëüçóþò âàëû, èçãîòîâëåííûå â âèäå òîíêèõíèòåé, êàê, íàïðèìåð, íèòè ïîäâåñà êðóòèëüíûõ âåñîâ, èñïîëüçîâàâøèõñÿØ. Êóëîíîì â îïûòàõ ïî èññëåäîâàíèþ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ èÏ. Í. Ëåáåäåâûì â îïûòàõ ïî èçìåðåíèþ äàâëåíèÿ ñâåòà.  ýòèõ îïûòàõ òîíêèå êâàðöåâûå íèòè çàêðó÷èâàëèñü íà çàìåòíûå óãëû ïîä äåéñòâèåì íè÷òîæíîìàëûõ ìîìåíòîâ ñèë, ÷òî îáåñïå÷èâàëî âûñîêóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü êðóòèëüíûõâåñîâ.Îòìåòèì, ÷òî âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àÿõ ðàçëè÷íûå ñòðîèòåëüíûå êîíñòðóêöèè (áàëêè, ôåðìû è äð.) äîëæíû îáëàäàòü äîñòàòî÷íîéñîïðîòèâëÿåìîñòüþ ê èçãèáó è êðó÷åíèþ.
Ïðèìåðàìè òàêèõ êîíñòðóêöèé ÿâëÿþòñÿ æåëåçíîäîðîæíûé ðåëüñ, áàëêà äâóòàâðîâîãî ñå÷åíèÿ, øâåëëåð è äð.Ïðè ðàñòÿæåíèè ïðóæèíû îäíîâðåìåííî ìîãóò âîçíèêàòü äåôîðìàöèè êàêðàñòÿæåíèÿ, òàê è ñäâèãà. Ïðóæèíû ñ ìàëûìè óãëàìè íàêëîíà âèòêîâ ê ãîðèçîíòàëè (ðèñ. 15.18, à) ïðè èõ ðàñòÿæåíèè âäîëü îñè, â îòëè÷èå îò ñòåðæíåé,èñïûòûâàþò äåôîðìàöèè ñäâèãà. Ïîä äåéñòâèåì ñèëû F òàêàÿ ïðóæèíà óäëèíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó Δl = F/k1, ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè k1 çàâèñèò îòäèàìåòðà ïðîâîëîêè d, ÷èñëà âèòêîâ n, äèàìåòðà âèòêà D:k1 =Gd 4.8nD 3(15.55à)Ïðè çàêðó÷èâàíèè ïðóæèíû âîêðóã îñè, êîãäà ê åå òîðöåâîìó ñå÷åíèþ ïðèêëàäûâàåòñÿ ìîìåíò âíåøíèõ ñèë M (ðèñ. 15.18, á ), âèòêè ïðóæèíû èñïûòûâàþò äåôîðìàöèè èçãèáà.
 ýòîì ñëó÷àå óãîë çàêðó÷èâàíèÿ ϕ = M/k2, ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòèk2 =Ed 4,32nD(15.55á)êàê è ïðè ðàñòÿæåíèè ïðóæèíû, çàâèñèò îò äèàìåòðà ïðîâîëîêè d, ÷èñëà âèòêîâ n è äèàìåòðà âèòêà D.267Ïîíÿòèå î òåíçîðå íàïðÿæåíèé. Çíàÿóïðóãèå ñâîéñòâà òåë, ìû âñåãäà ìîæåìðàññ÷èòàòü äåôîðìàöèè, âîçíèêàþùèåïîä äåéñòâèåì çàäàííûõ ñèë. Îñíîâíàÿèäåÿ òàêèõ ðàñ÷åòîâ ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó.Ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë â òåëåâîçíèêàþò íàïðÿæåíèÿ. Ýòè íàïðÿæåíèÿ äåéñòâóþò íà ýëåìåíòàðíûé îáúåì÷åðåç îãðàíè÷èâàþùóþ åãî ïîâåðõíîñòü.Íà ðèñ. 15.19 èçîáðàæåíà îäíà íîðìàëüíàÿ f11 è äâå òàíãåíöèàëüíûå ñèëû f12 èf13, äåéñòâóþùèå íà âåðõíþþ ãðàíü êóáèêà.
Ìîäóëè ýòèõ ñèë ðàâíûÐèñ. 15.19f11 = σ11dS1; f12 = σ12dS1;f13 = σ13dS1.(15.56)Çäåñü èíäåêñû óêàçûâàþò íà òî, ÷òî ñèëû ïðèëîæåíû ê ïëîùàäêå, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè Îõ1, è äåéñòâóþò â íàïðàâëåíèè îñè Îõ1 (σ11 íîðìàëüíîåíàïðÿæåíèå) è îñåé Îx2 è Îx3 (σ12, σ13 ñîîòâåòñòâóþùèå òàíãåíöèàëüíûåíàïðÿæåíèÿ).Àíàëîãè÷íî, íî ñ äðóãèìè èíäåêñàìè, çàïèñûâàþòñÿ ìîäóëè ñèë, ïðèëîæåííûõ ê ïëîùàäêàì dS2 è dS3. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïðîèçâîëüíî îðèåíòèðîâàííóþ ïëîùàäêó dS, îïðåäåëÿåòñÿ äåâÿòüþ âåëè÷èíàìè σij, êîòîðûå ñîñòàâëÿþò òåíçîð íàïðÿæåíèé. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî òåíçîðà ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñèëó,äåéñòâóþùóþ íà ýëåìåíòàðíûé îáúåì òâåðäîãî òåëà.  àáñîëþòíî óïðóãèõ òåëàõäåôîðìàöèè ïðîïîðöèîíàëüíû ñîîòâåòñòâóþùèì íàïðÿæåíèÿì.
Òàêèì îáðàçîì, ñëîæíûå äåôîðìàöèè òàêèõ òåë îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñâÿçûâàþùèõ êîìïîíåíòû òåíçîðà äåôîðìàöèé èòåíçîðà íàïðÿæåíèé. Óïðóãèå ñâîéñòâà èçîòðîïíûõ ñðåä ïðåäñòàâëåíû, êàêïðàâèëî, êîýôôèöèåíòîì Ïóàññîíà μ (15.4) è ìîäóëåì âñåñòîðîííåãî ñæàòèÿ K(15.29). Àíàëèç òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîçâîëÿåò íå òîëüêî ðàññ÷èòàòü äåôîðìàöèè òåëà, íî è îòâåòèòü íà âîïðîñ, óñòîé÷èâû ýòè äåôîðìàöèè èëè íåò.Óñòîé÷èâîñòü óïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïîòåðå óñòîé÷èâîñòè ñòåðæíÿ ïðè åãîïðîäîëüíîì ñæàòèè ñèëîé F (ðèñ.
15.20).Åñëè ñèëà ìàëà, òî ñòåðæåíü íàõîäèòñÿâ óñòîé÷èâîì ðàâíîâåñèè, òàê êàê ïðèìàëîì ñëó÷àéíîì îòêëîíåíèè îò âåðòèêàëè îí âîçâðàùàåòñÿ â âåðòèêàëüíîåïîëîæåíèå (ñèòóàöèÿ à). Ïðè F = Fêð íàñòóïàåò ñîñòîÿíèå áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ: ïðÿìîëèíåéíàÿ ôîðìà åùå óñòîé÷èâà, íî óñòîé÷èâûì óæå áóäåò èèçîãíóòîå ñîñòîÿíèå ñòåðæíÿ (øòðèõîâûå ëèíèè íà ðèñ. 15.20, á ). Íàëè÷èåäâóõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ íàçûâàåòÐèñ.
15.20268ñÿ áèôóðêàöèåé. Ïðè F > Fêð óñòîé÷èâûì áóäåò ëèøü èñêðèâëåííîå ïîëîæåíèå ñòåðæíÿ (ñèòóàöèÿ â). Îäíàêî â ýòîìñëó÷àå â íåì âîçíèêàþò áîëüøèå èçãèáû è íàïðÿæåíèÿ.Çàäà÷à îá èçãèáå ñòåðæíÿ ïðè ïðîäîëüíîì ñæàòèè áûëà ðåøåíà â XVIII â.âûäàþùèìñÿ ìàòåìàòèêîì Ë. Ýéëåðîì.Ðàññ÷èòàåì, ñëåäóÿ Ýéëåðó, çíà÷åíèåêðèòè÷åñêîé ñèëû Fêð è ôîðìó èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ, çàêðåïëåííîãî â øàðíèðàõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 15.21, à.Ðèñ. 15.21Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì(15.46), â êîòîðîì âìåñòî ìîìåíòà ïîïåðå÷íîé ñèëû F (l − x) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñå÷åíèÿ x = const ñëåäóåò çàïèñàòüìîìåíò ñäàâëèâàþùåé ñèëû â âèäå M = F u. Òîãäà óðàâíåíèå (15.46) ïðèìåòâèäd 2u Fu=.dx 2 EJ(15.57)Fè îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî óðàâíåíèå (15.57)EJàíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, òî ìîæíî çàïèñàòüÅñëè îáîçíà÷èòü q 2 =u(x) = u0 sin (qx + Φ).(15.58)Èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ u(0) = 0 ñëåäóåò, ÷òî Φ = 0.
Èç äðóãîãî ãðàíè÷íîãîóñëîâèÿ u(l) = 0 ñëåäóåòsin ql = 0, èëè qn =nπ; n = 1, 2, 3¾l(15.59)Êàæäîìó çíà÷åíèþ qn ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ êîíôèãóðàöèÿ èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ñèíóñîèäó, èìåþùóþ n ïîëóâîëí. Ýòè êîíôèãóðàöèè âîçíèêàþò ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿõ ñèë, ðàâíûõFn = n 2π2 EJ.l2(15.60)Ïðè n = 1 (ðèñ. 15.21, á ) ôîðìóëà (15.60) äàåò çíà÷åíèå êðèòè÷åñêîé ñèëûFêð =π2 EJ.l2(15.61)Ýòà ôîðìóëà áûëà ïîëó÷åíà Ýéëåðîì è íîñèò åãî èìÿ.Äðóãèå èñêðèâëåííûå ôîðìû ðàâíîâåñèÿ (n = 2, 3...) ÿâëÿþòñÿ íåóñòîé÷èâûìè, îäíàêî îíè ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû, åñëè ñòåðæåíü äîïîëíèòåëüíî çàêðåïèòü øàðíèðíûìè îïîðàìè â ñå÷åíèÿõ, ãäå u = 0 (ðèñ.
15.21, â).Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò èìååò áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå.  ñèëó íåóñòîé÷èâîñòè ñòåðæíåé ïðè èõ ñæàòèè òîëêàþùèå ðû÷àãè è øòîêè â ìàøèíàõ269äåëàþò ïî âîçìîæíîñòè êîðî÷å è áîëüøîãî ñå÷åíèÿ, â òî âðåìÿ êàê òÿíóùèåøòîêè, èìåþùèå áîëüøîé çàïàñ ïðî÷íîñòè íà ðàçðûâ, ìîãóò áûòü è íå î÷åíüòîëñòûìè. Ïî àíàëîãèè ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ãåðìåòè÷íûå åìêîñòè, èñïûòûâàþùèå íàãðóçêó íà ðàçðûâ (íàïðèìåð, ïàðîâûå êîòëû), äåëàþò áîëåå òîíêîñòåííûìè, ÷åì åìêîñòè, ïîäâåðæåííûå ñæàòèþ (îáîëî÷êè áàòèñêàôîâ, ïîäâîäíûõ ëîäîê è ïð.)Ýíåðãèÿ óïðóãèõ äåôîðìàöèé. Ïðè äåôîðìàöèè âíåøíèå ñèëû ñîâåðøàþòðàáîòó. Ýòà ðàáîòà â îáùåì ñëó÷àå èäåò íà óâåëè÷åíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèèè íà íàãðåâàíèå òåëà.
Òàê, åñëè ìû áóäåì ïûòàòüñÿ ïåðåëîìèòü ïðîâîëîêó, òîìåñòî åå ìíîãîêðàòíîãî èçãèáà ìîæåò ñèëüíî íàãðåòüñÿ, ïðåæäå ÷åì ïðîâîëîêà ïåðåëîìèòñÿ. ðåàëüíûõ òåëàõ âîçíèêàþùèå âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ çàâèñÿò íå òîëüêîîò âåëè÷èíû äåôîðìàöèé, íî è îò èõ ñêîðîñòè.
Ïîýòîìó ðàáîòà ïðîòèâ òàêèõñèë, íàçûâàåìûõ ñèëàìè «âíóòðåííåãî òðåíèÿ», èäåò íà íàãðåâàíèå òåëà. Ñ ýòèìè ñèëàìè è ñâÿçàíû ïëàñòè÷åñêèå äåôîðìàöèè, êîãäà íå âûïîëíÿåòñÿ çàêîíÃóêà è ñóùåñòâóþò îñòàòî÷íûå äåôîðìàöèè ïðè ïðåêðàùåíèè âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ.Âû÷èñëèì ðàáîòó, çàòðà÷èâàåìóþ íà ìàëóþ äåôîðìàöèþ ýëåìåíòà îáúåìàòåëà. Ïðè ðàñòÿæåíèè íà âåëè÷èíó dx óæå äåôîðìèðîâàííîãî êóáèêà (ðèñ.
15.22)ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòàdAε = f dx = σ l 3dε.(15.62)Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî ε = Δl/l, à dε = d (Δl)/l = dx/l. Ïîñêîëüêó σ (ε) íåëèíåéíàÿôóíêöèÿ äåôîðìàöèé (ñì. ðèñ. 15.7), òî ïîëíàÿ ðàáîòà, çàòðà÷èâàåìàÿ íà ïðèâåäåíèå òåëà â äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå, ðàâíàεAε = l 3 ∫ σ (ε ) d ε.(15.63)0Ïî àíàëîãèè, ðàáîòà ïðè ñäâèãå ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíà ïî ôîðìóëå:γAγ = l 3 ∫ στ ( γ ) d γ,(15.64)0ãäå γ äåôîðìàöèÿ ñäâèãà, ñâÿçàííàÿ ñ óãëîì ñäâèãà α ñîîòíîøåíèåì (15.2).Íà ðèñ. 15.23 ðàáîòà Aε ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ïîä êðèâîé σ (ε). Îïûò,îäíàêî, ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè äåôîðìàöèè âûéäóò çà îáëàñòü óïðóãîñòè, òîÐèñ.
15.22270Ðèñ. 15.23ïðè ñíÿòèè âíåøíèõ íàãðóçîê â òåëå áóäóò ñóùåñòâîâàòü îñòàòî÷íûå äåôîðìàöèè εîñò (ðèñ. 15.24).×òîáû èõ óñòðàíèòü, íàäî ïðèëîæèòü ñæèìàþùóþñèëó (σ < 0). Òàêàÿ íåîäíîçíà÷íîñòü äåôîðìàöèé âçàâèñèìîñòè îò ïðèëîæåííûõ íàïðÿæåíèé íîñèòíàçâàíèå óïðóãîãî ãèñòåðåçèñà. Ïðè ïåðèîäè÷åñêèïîâòîðÿþùèõñÿ äåôîðìàöèÿõ äèàãðàììà σ (ε) áóäåò èìåòü âèä çàìêíóòîé êðèâîé, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïåòëåé ãèñòåðåçèñà. Ïëîùàäü ýòîé ïåòëè, âñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ðàâíà êîëè÷åñòâó òåïëîòû, èäóùåé íà íàãðåâàíèå òåëà.Ïðè σ ≤ σó (ñì.
ðèñ. 15.7) ãèñòåðåçèñ îòñóòñòâóåò.Ðèñ. 15.24Íà ïðàêòèêå äåòàëè ìåõàíèçìîâ, èñïûòûâàþùèåìíîãîêðàòíûå, ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèåñÿ äåôîðìàöèè, äåëàþò èç ìàòåðèàëîâ ñ áîëüøèì ïðåäåëîì óïðóãîñòè σó. Òàê, äëÿçàêàëåííîé ïðóæèííîé ñòàëè ýòîò ïðåäåë èìååò î÷åíü áîëüøîå çíà÷åíèå èñîñòàâëÿåò îêîëî 0,8 ÃÏà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå, íàïðèìåð, ïðóæèíû êëàïàíîâäâèãàòåëåé äåëàþò èç çàêàëåííîé ñòàëè.Íà ëèíåéíîì ó÷àñòêå, ãäå σ = E ε, στ = G γ, èíòåãðàëû (15.63) è (15.64) ëåãêîâû÷èñëÿþòñÿ:εAε = l 3 E ∫ εd ε =0γAγ = l 3G ∫ γd γ =01E ε 2l 3 ;2(15.65)1 23Gγ l .2(15.66) ýòîì ñëó÷àå ðàáîòà çàòðà÷èâàåòñÿ òîëüêî íà óâåëè÷åíèå ïîòåíöèàëüíîéýíåðãèè óïðóãîé äåôîðìàöèè.  åäèíèöå îáúåìà äåôîðìèðîâàííîãî òåëà çàïàñàåòñÿ ýíåðãèÿwε =Aε 1= E ε2 ;2l3wγ =Aγl3=1G γ2 .2(15.67)Âåëè÷èíà wε íàçûâàåòñÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ïðè äåôîðìàöèèðàñòÿæåíèÿ, à wγ ïðè äåôîðìàöèè ñäâèãà.ËÅÊÖÈß 16Ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë â æèäêîñòè è ãàçàõ, êàê è â òâåðäûõ òåëàõ,ìîãóò âîçíèêàòü âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
