В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 50
Текст из файла (страница 50)
ÏðèJz − Jx1≈.  ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé, îñü âðà300Jxùåíèÿ äâèæåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè êîíóñà âîêðóã îñè ñèììåòðèè Çåìëè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω0, ðàññ÷èòûâàåìîé ïî ôîðìóëå (13.58), ò. å. îíà äîëæíà ñîâåðøàòü îäèí îáîðîò ïðèìåðíî çà 300 äíåé. Íà ñàìîì äåëå â ñèëó, êàê ïðåäïîëàãàåòñÿ, íåàáñîëþòíîé æåñòêîñòè Çåìëè ýòî âðåìÿ îêàçûâàåòñÿ áîëüøå è ñîñòàâëÿåò îêîëî 440 ñóòîê.
Ïðè ýòîì ðàññòîÿíèå îò òî÷êè çåìíîé ïîâåðõíîñòè,÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò îñü âðàùåíèè, äî òî÷êè, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò îñüñèììåòðèè (Ñåâåðíûé ïîëþñ), ðàâíî âñåãî íåñêîëüêèì ìåòðàì. Íóòàöèîííîåäâèæåíèå Çåìëè íå çàòóõàåò ïî-âèäèìîìó, åãî ïîääåðæèâàþò ñåçîííûå èçìåíåíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå íà ïîâåðõíîñòè íàøåé ïëàíåòû.ýòîì Jx = Jy, à239Ïðåöåññèÿ ãèðîñêîïà ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðåöåññèè. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñèòóàöèþ, êîãäà ê îñè ãèðîñêîïà ïðèëîæåíà ñèëà,ëèíèÿ äåéñòâèÿ êîòîðîé íå ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó çàêðåïëåíèÿ. Îïûòû ïîêàçûâàþò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ãèðîñêîï âåäåò ñåáÿ âåñüìà íåîáû÷íûì îáðàçîì.Åñëè ê îñè øàðíèðíî çàêðåïëåííîãî â òî÷êå Î ãèðîñêîïà (ðèñ. 14.3) ïðèêðåïèòü ïðóæèíó è òÿíóòü çà íåå ââåðõ ñ ñèëîé F, òî îñü ãèðîñêîïà áóäåòïåðåìåùàòüñÿ íå â íàïðàâëåíèè ñèëû, à ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé. Ýòî äâèæåíèå íàçûâàþò ïðåöåññèåé ãèðîñêîïà ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû.
Îïûòíûì ïóòåì ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðåöåññèè çàâèñèò íå òîëüêî îòâåëè÷èíû ñèëû F, íî è îò òîãî, ê êàêîé òî÷êå îñè ãèðîñêîïà ýòà ñèëà ïðèëîæåíà: ñ óâåëè÷åíèåì F è åå ïëå÷à l îòíîñèòåëüíî òî÷êè çàêðåïëåíèÿ Î ñêîðîñòü ïðåöåññèè óâåëè÷èâàåòñÿ.
Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ÷åì ñèëüíåå ðàñêðó÷åí ãèðîñêîï, òåì ìåíüøå óãëîâàÿ ñêîðîñòü åãî ïðåöåññèè. êà÷åñòâå ñèëû F, âûçûâàþùåé ïðåöåññèþ, ìîæåò âûñòóïàòü ñèëà òÿæåñòè,åñëè òî÷êà çàêðåïëåíèÿ ãèðîñêîïà íå ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ. Òàê, åñëèñòåðæåíü ñ áûñòðî âðàùàþùèìñÿ äèñêîì ïîäâåñèòü íà íèòêå (ðèñ. 14.4), òî îííå îïóñêàåòñÿ âíèç, êàê ýòî ìîæíî áûëî áû ïðåäïîëîæèòü, à ñîâåðøàåò ïðåöåññèîííîå äâèæåíèå âîêðóã íèòêè.
Íàáëþäåíèå ïðåöåññèè ãèðîñêîïà ïîääåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè â íåêîòîðîì ñìûñëå äàæå óäîáíåå ëèíèÿ äåéñòâèÿñèëû «àâòîìàòè÷åñêè» ñìåùàåòñÿ âìåñòå ñ îñüþ ãèðîñêîïà, ñîõðàíÿÿ ñâîþîðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå.Ìîæíî ïðèâåñòè è äðóãèå ïðèìåðû ïðåöåññèè íàïðèìåð, äâèæåíèå îñèõîðîøî èçâåñòíîé äåòñêîé èãðóøêè þëû ñ çàîñòðåííûì êîíöîì (ðèñ. 14.5).Þëà, ðàñêðó÷åííàÿ âîêðóã ñâîåé îñè è ïîñòàâëåííàÿ íàêëîííî íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü, íà÷èíàåò ïðåöåññèðîâàòü âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ïîääåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè.Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè ãèðîñêîïà â ïîëå âíåøíèõ ñèë âåñüìàñëîæíî.
Îäíàêî âûðàæåíèå äëÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ïðåöåññèè ìîæíî ëåãêî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíîé òåîðèè ãèðîñêîïà.  ðàìêàõ ýòîé òåîðèè äåëàåòñÿ äîïóùåíèå, ÷òî ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ãèðîñêîïà è åãîìîìåíò èìïóëüñà íàïðàâëåíû âäîëü îñè ñèììåòðèè ãèðîñêîïà. Äðóãèìè ñëîâà-Ðèñ. 14.3240Ðèñ. 14.4Ðèñ. 14.5Ðèñ. 14.6ìè, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ãèðîñêîïà âîêðóã ñâîåéîñè çíà÷èòåëüíî áîëüøå óãëîâîé ñêîðîñòè ïðåöåññèè:ω ? Ω,(14.5)òàê ÷òî âêëàäîì â L, îáóñëîâëåííûì ïðåöåññèîííûì äâèæåíèåì ãèðîñêîïà,ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
 ýòîì ïðèáëèæåíèè ìîìåíò èìïóëüñà ãèðîñêîïà, î÷åâèäíî, ðàâåír(14.6)L = Jzω,ãäå Jz ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè.Èòàê, ðàññìîòðèì ìàññèâíûé ñèììåòðè÷íûé ãèðîñêîï, ó êîòîðîãî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà S (òî÷êà îïîðû î ïîäñòàâêó) íå ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ Î(ðèñ. 14.6). Ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè îòíîñèòåëüíî òî÷êè SM = mgl sin θ,(14.7)ãäå θ óãîë ìåæäó âåðòèêàëüþ è îñüþ ñèììåòðèè ãèðîñêîïà.Âåêòîð M íàïðàâëåí ïî íîðìàëè ê ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò îñü ñèììåòðèè ãèðîñêîïà è âåðòèêàëü, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êó S. Ñèëà ðåàêöèè îïîðûïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó S, è åå ìîìåíò îòíîñèòåëüíî ýòîé òî÷êè ðàâåí íóëþ.Èçìåíåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà L îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåìdL = Mdt.(14.8)Ïðè ýòîìr è L, è îñü ãèðîñêîïà ïðåöåññèðóþò âîêðóã âåðòèêàëè ñ óãëîâîéñêîðîñòüþ Ω.
Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì: äåëàåòñÿ äîïóùåíèå, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå(14.5) è ÷òî âåêòîð L ïîñòîÿííî íàïðàâëåí âäîëü îñè ñèììåòðèè ãèðîñêîïà.Èç ðèñ. 14.6 ñëåäóåò, ÷òîdL = L sin θ Ω dt.(14.9)241 âåêòîðíîì âèäårdL = Ω × Ldt.(14.10)Ñðàâíèâàÿ (14.8) è (14.10), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñâÿçü ìåæäór ìîìåíòîìñèëû M, ìîìåíòîì èìïóëüñà L è óãëîâîé ñêîðîñòüþ ïðåöåññèè Ω:rM = Ω × L.(14.11)Ýòî ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå ïðåöåññèè ïðè çàäàííîì íàïðàâëåíèè âðàùåíèÿ ãèðîñêîïà âîêðóã ñâîåé îñè.Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî M îïðåäåëÿåò óãëîâóþ ñêîðîñòü ïðåöåññèè, à íåóãëîâîå óñêîðåíèå, ïîýòîìó ìãíîâåííîå «âûêëþ÷åíèå» M ïðèâîäèò ê ìãíîâåííîìó æå èñ÷åçíîâåíèþ ïðåöåññèè, ò. å.
ïðåöåññèîííîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿáåçûíåðöèîííûì.Ñèëà, âûçûâàþùàÿ ïðåöåññèîííîå äâèæåíèå, ìîæåò èìåòü ëþáóþ ïðèðîäó.Äëÿ ïîääåðæàíèÿ ýòîãî äâèæåíèÿ âàæíî, ÷òîáû âåêòîð ìîìåíòà ñèëû M ïîâîðà÷èâàëñÿ âìåñòå ñ îñüþ ãèðîñêîïà. Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, â ñëó÷àå ñèëûòÿæåñòè ýòî äîñòèãàåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè. Èç (14.11) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå (14.6), ìîæíî ïîëó÷èòü:mgl sin θ = Ω Jz ω sin θ.(14.12)Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðåöåññèè îêàçûâàåòñÿ ðàâíîéΩ=mgl.Jzω(14.13)Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî Ω íå çàâèñèò îò óãëà θ íàêëîíà îñè ãèðîñêîïà èîáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ω, ÷òî õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïûòíûìè äàííûìè.Íóòàöèè. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðåöåññèîííîå äâèæåíèå ãèðîñêîïà ïîääåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë â îáùåì ñëó÷àå ñëîæíåå îïèñàííîãî âûøå â ðàìêàõýëåìåíòàðíîé òåîðèè.
Åñëè ñîîáùèòü ãèðîñêîïó òîë÷îê, èçìåíÿþùèé óãîë θ(ñì. ðèñ. 14.6), òî ïðåöåññèÿ ïåðåñòàíåò áûòü ðàâíîìåðíîé (÷àñòî ãîâîðÿò ðåãóëÿðíîé), à áóäåò ñîïðîâîæäàòüñÿ ìåëêèìè êîëåáàíèÿìè âåðøèíû ãèðîñêîïà íóòàöèÿìè. Äëÿ èõ îïèñàíèÿ íåîáõîäèìî ó÷åñòü íåñîâïàäåíèå âåêòîðàrïîëíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà L, ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ ω è îñèñèììåòðèè ãèðîñêîïà.Òî÷íàÿ òåîðèÿ ãèðîñêîïà âûõîäèò çà ðàìêè êóðñà îáùåé ôèçèêè. Èç ñîîòíîøåíèÿ dL = Mdt ñëåäóåò, ÷òî êîíåö âåêòîðà L äâèæåòñÿ â íàïðàâëåíèè M,ò. å.
ïåðïåíäèêóëÿðíî ê âåðòèêàëè è ê îñè ãèðîñêîïà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðîåêöèèâåêòîðà L íà âåðòèêàëü Lâ è íà îñü ãèðîñêîïà L0 îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Åùåîäíîé ïîñòîÿííîé ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿE = T + mgl cos θ,(14.14)ãäå Ò êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ãèðîñêîïà.Âûðàæàÿ Lâ, L0 è Ò ÷åðåç óãëû Ýéëåðà è èõ ïðîèçâîäíûå, ìîæíî ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ýéëåðà îïèñàòü äâèæåíèå òåëà àíàëèòè÷åñêè. Ðåçóëüòàò òàêîãîîïèñàíèÿ îêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì: âåêòîð ìîìåíòà èìïóëüñà L îïèñûâàåò íåïîäâèæíûé â ïðîñòðàíñòâå êîíóñ ïðåöåññèè, à îñü ñèììåòðèè ãèðîñêîïà äâè242æåòñÿ âîêðóã âåêòîðà L ïî ïîâåðõíîñòè êîíóñà íóòàöèé. Âåðøèíà êîíóñà íóòàöèé, êàê è âåðøèíà êîíóñà ïðåöåññèè, íàõîäèòñÿ â òî÷êå çàêðåïëåíèÿ ãèðîñêîïà, à îñü êîíóñà íóòàöèé ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ L è äâèæåòñÿ âìåñòå ñíèì. Ïðèáëèæåííî ÷èñëî îáîðîòîâ â åäèíèöó âðåìåíè, êîòîðîå ñîâåðøàåò îñüñèììåòðèè ãèðîñêîïà, äâèãàÿñü ïî ïîâåðõíîñòè êîíóñà íóòàöèé, ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëån≈Jzω,2πJ S(14.15)ãäå JS è Jz ìîìåíòû èíåðöèè òåëà ãèðîñêîïà îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè èîòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó îïîðû ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè ñèììåòðèè; ω óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âîêðóã îñè ñèììåòðèè.
Îòìåòèì, ÷òîóãîë ðàñòâîðà êîíóñà íóòàöèé ïðîïîðöèîíàëåí ìîìåíòó ñèëû òÿæåñòè è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëåí ω2.Òðàåêòîðèè àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ âåðøèíû ãèðîñêîïà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëèíèè, ïðèìåðû êîòîðûõ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 14.7. Âèä ýòèõ ëèíèé çàâèñèò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé.  ñëó÷àå, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 14.7, à, ãèðîñêîï áûëðàñêðó÷åí âîêðóã îñè ñèììåòðèè, óñòàíîâëåí íà ïîäñòàâêå ïîä íåêîòîðûìóãëîì ê âåðòèêàëè è îñòîðîæíî îòïóùåí.
 ñëó÷àå ðèñ. 14.7, á åìó, êðîìå òîãî,áûë ñîîáùåí íåêîòîðûé òîë÷îê âïåðåä, à â ñëó÷àå ðèñ. 14.7, â òîë÷îê íàçàäïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ ïðåöåññèè. Êðèâûå íà ðèñ. 14.7 àíàëîãè÷íû öèêëîèäàì, îïèñûâàåìûì òî÷êîé íà îáîäå êîëåñà, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñêîñòè áåçïðîñêàëüçûâàíèÿ èëè ñ ïðîñêàëüçûâàíèåì â òó èëè èíóþ ñòîðîíó.
È ëèøü ñîîáùèâ ãèðîñêîïó íà÷àëüíûé òîë÷îê âïîëíå îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû è íàïðàâëåíèÿ, ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû îñü ãèðîñêîïà ïðåöåññèðîâàëà áåç íóòàöèé.×åì áûñòðåå âðàùàåòñÿ ãèðîñêîï, òåì áîëüøå óãëîâàÿ ñêîðîñòü íóòàöèé è òåììåíüøå èõ àìïëèòóäà. Ïðè î÷åíü áûñòðîì âðàùåíèè íóòàöèè ñòàíîâÿòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåçàìåòíûìè äëÿ ãëàçà.Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñòðàííûì: ïî÷åìó ãèðîñêîï, áóäó÷è ðàñêðó÷åí, óñòàíîâëåí ïîä óãëîì ê âåðòèêàëè è îòïóùåí, íå ïàäàåò ïîä äåéñòâèåì ñèëûòÿæåñòè, à äâèæåòñÿ âáîê? Îòêóäà áåðåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðåöåññèîííîãî äâèæåíèÿ? Îòâåòû íà ýòè âîïðîñû ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî â ðàìêàõòî÷íîé òåîðèè ãèðîñêîïà. Íà ñàìîì äåëå ãèðîñêîï äåéñòâèòåëüíî íà÷èíàåòïàäàòü, à ïðåöåññèîííîå äâèæåíèå ïîÿâëÿåòñÿ êàê ñëåäñòâèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà.
Äåéñòâèòåëüíî, îòêëîíåíèå îñè ãèðîñêîïà âíèç ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ïðîåêöèè ìîìåíòà èìïóëüñà íà âåðòèêàëüíîå íàïðàâëåíèå. Ýòî óìåíüøåíèå äîëæíî áûòü ñêîìïåíñèðîâàíî ìîìåíòîì èìïóëüñà,Ðèñ. 14.7243ñâÿçàííûì ñ ïðåöåññèîííûì äâèæåíèåì îñè ãèðîñêîïà. Ñ ýíåðãåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðåöåññèè ïîÿâëÿåòñÿ âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ãèðîñêîïà.Åñëè çà ñ÷åò òðåíèÿ â îïîðå íóòàöèèãàñÿòñÿ áûñòðåå, ÷åì âðàùåíèå ãèðîñêîïà âîêðóã îñè ñèììåòðèè (êàê ïðàâèëî, òàê è áûâàåò), òî âñêîðå ïîñëå«çàïóñêà» ãèðîñêîïà íóòàöèè èñ÷åçàþòè îñòàåòñÿ òîëüêî ïðåöåññèÿ (ðèñ. 14.8).Ïðè ýòîì óãîë íàêëîíà îñè ãèðîñêîïàê âåðòèêàëè (θ2) îêàçûâàåòñÿ áîëüøå,÷åì îí áûë âíà÷àëå (θ1), ò.
å. ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ãèðîñêîïà óìåíüøàåòñÿ.Òàêèì îáðàçîì, îñü ãèðîñêîïà äîëæíàÐèñ. 14.8íåìíîãî îïóñòèòüñÿ, ÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü ïðåöåññèðîâàòü âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè.Ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèëû. Îáðàòèìñÿ ê ïðîñòîìó îïûòó. Âîçüìåì â ðóêè âàë ÀÂñ íàñàæåííûì íà íåãî êîëåñîì Ñ (ðèñ. 14.9). Ïîêà êîëåñî íå ðàñêðó÷åíî, íåïðåäñòàâëÿåò íèêàêîãî òðóäà ïîâîðà÷èâàòü âàë â ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíûìîáðàçîì. Íî åñëè êîëåñî ðàñêðó÷åíî, òî ïîïûòêè ïîâåðíóòü râàë, íàïðèìåð, âãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñ íåáîëüøîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω ïðèâîäÿò ê èíòåðåñíîìó ýôôåêòó: âàë ñòðåìèòñÿ âûðâàòüñÿ èç ðóê è ïîâåðíóòüñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè; îí äåéñòâóåò íà êèñòè ðóê ñ îïðåäåëåííûìè ñèëàìè Φ èΦ ´ (ðèñ. 14.9). Òðåáóåòñÿ ïðèëîæèòü îùóòèìîå ôèçè÷åñêîå óñèëèå, ÷òîáû óäåðæàòü âàë ñ âðàùàþùèìñÿ êîëåñîì â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè.Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ýôôåêòû, âîçíèêàþùèå ïðè âûíóæäåííîì âðàùåíèè îñè ãèðîñêîïà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
