В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 46
Текст из файла (страница 46)
12.14. Ïîëóîñè OA, OB,OÑ ëåæàò íà ãëàâíûõ îñÿõ èíåðöèè äëÿòî÷êè Î, ïðè÷åì ÎÀ = ÎB ëåæàò â ïëîñêîñòè áîêîâîé ãðàíè, à OC ≈ 1,6 OA ïåðïåíäèêóëÿðíà áîêîâîé ãðàíè. Îòìåòèì, ÷òî ýëëèïñîèä èíåðöèè äëÿ öåíòðà êóáà âûðîæäàåòñÿ â ñôåðó ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì ÎÑ.Ðèñ. 12.14215Ââåäåíèå ýëëèïñîèäà èíåðöèè ïîçâîëÿåò ñ ïîìîùüþ äîñòàòî÷íî ïðîñòîãîrãðàôè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω è ìîìåíòîì èìïóëüñà L îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, ïðèíàäëåæàùåé îñè âðàùåíèÿ.
Ðå÷üèäåò î òàê íàçûâàåìîì ïîñòðîåíèè Ïóàíñî: íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü ýëëèïñîèäèíåðöèè ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è ÷åðåç òî÷êó åãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ âðàùåíèÿr(âåêòîðîì óãëîâîé ñêîðîñòè ω) ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, êàñàòåëüíóþ ê ýëëèïñîèäó. Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç öåíòðà ýëëèïñîèäà èíåðöèè íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü, è îïðåäåëèò íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìîìåíòà èìïóëüñà L.
Ïðèìåð ïîäîáíîãî ïîñòðîåíèÿ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 12.14.Âû÷èñëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè. Ïðÿìîé ðàñ÷åò ìîìåíòà èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëàJ = ∫ ρ2dm,(12.44)ãäå ρ ðàññòîÿíèå ýëåìåíòàðíîé ìàññû dm äî îñè âðàùåíèÿ. Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñèììåòðèþ ñèñòåìû.Âû÷èñëèì, íàïðèìåð, ìîìåíò èíåðöèè îäíîðîäíîãî øàðà (â ñôåðè÷åñêèõêîîðäèíàòàõ r, θ, ϕ, ðèñ. 12.15) îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð (â äàííîì ñëó÷àå îòíîñèòåëüíî îñè Oz). Ðàññìîòðèì ýëåìåíòàðíóþ ìàññódm =mmdV = r 2 sin θdrd θd ϕ,VV(12.45)ãäå m ìàññà øàðà; V åãî îáúåì.Ïîñêîëüêóρ = r sin θ,òîdJ = ρ2dm =(12.46)m 4r sin 3 θdrd θd ϕ.V(12.47)Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì:J =Rm 4r drV ∫0=2π∫0πd ϕ∫ sin3 θd θ =054 2mR2π = mR 2 .3 5V 5(12.48)Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî íàøà Çåìëÿ îäíîðîäíûé øàð, òî åå ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñèáóäåò ðàâåíJÇ = 0,4MÇRÇ2 ≈≈ 0,4 ⋅ 6,0 ⋅ 1024 êã (6,4 ⋅ 106 ì)2 ≈Ðèñ.
12.15216≈ 1038 êã ⋅ ì2.Ðèñ. 12.16Ðèñ. 12.17Ôàêòè÷åñêè èç-çà íåîäíîðîäíîñòè è íåñôåðè÷íîñòè Çåìëè îòíîøåíèå J/MR 2ñîñòàâëÿåò íå 0,4, à 0,33. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ äðóãèõ ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìûýòî îòíîøåíèå òàêæå ìåíüøå 0,4 è èçìåíÿåòñÿ îò 0,20 äëÿ Þïèòåðà äî 0,39 äëÿÏëóòîíà. Ëóíà ïðàêòè÷åñêè îäíîðîäíûé øàð, äëÿ íåå J/MR2 ≈ 0,395.Äëÿ ñðàâíåíèÿ ðàññ÷èòàåì ìîìåíò èíåðöèè ìîëåêóëû CO2 îòíîñèòåëüíîîñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç àòîì óãëåðîäà ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèè, âäîëü êîòîðîéðàñïîëîæåíû âñå òðè àòîìà (ðèñ. 12.16). Îñíîâíàÿ ìàññà àòîìîâ ñîñðåäîòî÷åíàâ èõ ÿäðàõ; ðàçìåðû ÿäåð (∼10−15 ì) çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ìåæúÿäåðíîãî ðàññòîÿíèÿ (∼10−10 ì), ïîýòîìó àòîìû êèñëîðîäà ìîæíî ñ÷èòàòü ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè, à ìîìåíòîì èíåðöèè àòîìà óãëåðîäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïðè ýòèõ óñëîμâèÿõ J CO2 = 2 O2 l 2 , ãäå μO2 ìîëÿðíàÿ ìàññà êèñëîðîäà, NA ÷èñëî Àâîãàä2N Aðî, l ìåæúÿäåðíîå ðàññòîÿíèå (ðèñ.
12.16). Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿýòèõ âåëè÷èí, ïîëó÷èìJ CO2 =232 ⋅ 10−3 êã⋅ (1,1 ⋅ 10−10 ì ) ≈ 10 −45 êã ⋅ ì2 .236 ⋅ 10 ñëó÷àå ïëîñêîé ôèãóðû ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñåé, äâå èç êîòîðûõ ëåæàò â ïëîñêîñòè ôèãóðû, îêàçûâàþòñÿñâÿçàííûìè ìåæäó ñîáîé ïðîñòûì ñîîòíîøåíèåì. Èç ðèñ. 12.17 ñëåäóåò, ÷òîdJz = ρ2dm = (x2 + y2)dm = dJy + dJx,(12.49)J z = J x + J y.(12.50)îòêóäàÝòî ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò, íàïðèìåð, ëåãêî âû÷èñëèòü ìîìåíò èíåðöèè òîíêîãî äèñêà ìàññîé m è ðàäèóñîì R îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé÷åðåç öåíòð äèñêà è ëåæàùåé â åãî ïëîñêîñòè (ëþáàÿ òàêàÿ îñü áóäåò ãëàâíîé): J = mR2/4, ïîñêîëüêó ìîìåíò èíåðöèè äèñêà îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé öåíòðàëüíîé îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè äèñêà, J0 = mR2/ 2, à J = J0 / 2.Òåîðåìà Ãþéãåíñà Øòåéíåðà.
Ýòà òåîðåìà ñâÿçûâàåò ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îñåé, îäíà èç êîòîðûõ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòðìàññ òåëà.217Îñü 1 íà ðèñ. 12.18 ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ìàññ Î,îñü 2 ïàðàëëåëüíà åé; ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè ðàâíîra. Âåêòîðû Ri è ρi ïåðïåíäèêóëÿðíû îñÿì 1 è 2. Îíèïðîâåäåíû îò îñåé â òó òî÷êó, ãäå ðàñïîëîæåíà ìàññà Δmi.Ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè 2J =∑ Δmi ρi2 = ∑ Δmi (R ii=i2− a) =∑ Δmi Ri2 + ∑ Δmi a 2 − 2a ∑ Δmi R i .iii(12.51)Ïîñëåäíÿÿ ñóììà ðàâíà íóëþ, ïîñêîëüêó îñü 1 ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ìàññ, èJ = J0 + ma2.(12.52)Åñëè, íàïðèìåð, îñü âðàùåíèÿ êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè øàðà, òî ìîæíî, íå ïðîâîäÿ ãðîìîçäêèõ âû÷èñëåíèé, çàïèñàòü:Ðèñ. 12.18J = J 0 + mR 2 =27mR 2 + mR 2 = mR 2 .55(12.53)Ìîìåíò èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî äâèæóùåãîñÿ öåíòðà ìàññ. Äî ñèõ ïîð, ðàññìàòðèâàÿ ìîìåíò èìïóëüñà òâåðäîãî òåëà, ìû îïðåäåëÿëè åãî îòíîñèòåëüíîíåêîòîðîé íåïîäâèæíîé â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ òî÷êè (íàïðèìåð, òî÷êèçàêðåïëåíèÿ òåëà).
Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ äèíàìèêè òàêîå îïðåäåëåíèå îêàçûâàåòñÿ íåóäîáíûì. Íàïðèìåð, ðåøàÿ çàäà÷ó î äèñêå, ñêàòûâàþùåìñÿ ñ íàêëîííîéïëîñêîñòè, ëîãè÷íî ðàññìàòðèâàòü ìîìåíò èìïóëüñà äèñêà îòíîñèòåëüíî åãîöåíòðà ìàññ, à íå îòíîñèòåëüíî òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé íàêëîííîé ïëîñêîñòè.Ðàññìîòðèì, êàê áóäóò ñâÿçàíû ìîìåíòû èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé òî÷êè Î ′ è îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ òåëà Î, äâèæóùåãîñÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì (ðèñ. 12.19).Ïóñòü r′i è ri ðàäèóñû-âåêòîðû ýëåìåíòàðíîé ìàññû Δmi òåëà îòíîñèòåëüíîòî÷åê O ′ è O, R ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé èç O ′ â O.
Ýòè âåêòîðû ñâÿçàíûìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåìr′i = R + ri .(12.54)Ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî òî÷êè O ′ [ñì. ôîðìóëó (12.1)]LO ′ =∑ ri′ × Δmiidri′=dt⎡⎛ dR∑ ⎢⎣(R + ri ) × Δmi ⎜⎝ dt+idri ⎞ ⎤⎟ .dt ⎠ ⎥⎦(12.55)Âîñïîëüçóåìñÿ î÷åâèäíûìè ðàâåíñòâàìè:∑ Δmi= m,i(12.56)ãäå m ìàññà âñåãî òåëà;Ðèñ.
12.19218∑ Δmi rii=0(12.57)è∑ Δmiidri= 0,dt(12.58)ïîñêîëüêó òî÷êà Î ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ òåëà. Ñ ó÷åòîì (12.56)(12.58) èç(12.55) ïîëó÷èìLO ′ = R × mdrdR+ ∑ ri × Δmi i = R × p + ∑ ri × Δmi v i ,dtdtii(12.59)dR èìïóëüñ ðàññìàòðèâàåìîãî òåëà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ;dtvi ñêîðîñòü i-é ìàññû îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ.Åñëè ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ìàññ («îòíîñèòåëüíûé» ìîìåíò èìïóëüñà) îïðåäåëèòü êàêãäå p = mLO =∑ ri × Δmi vi ,(12.60)iòî èç (12.59) ñëåäóåò èñêîìîå ñîîòíîøåíèåLO′ = LO + R × p.(12.61)Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ìîìåíòà èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ìàññ (âåëè÷èíà LO) ñëåäóåò ó÷èòûâàòü îòíîñèòåëüíûå ñêîðîñòè âñåõ òî÷åê òåëà, ò.
å. ñêîðîñòè òî÷åê òåëà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ, ñ÷èòàÿ åãî êàê áû íåïîäâèæíûì.Çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (12.61) ïîçâîëÿåò òàêæå ñâÿçàòü ìîìåíòû èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îñåé, îäíà èç êîòîðûõ íåïîäâèæíà, àäðóãàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ìàññ äâèæóùåãîñÿ òåëà.Îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðàì.1. Ìîìåíò èìïóëüñà öèëèíäðà, ñêàòûâàþùåãîñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè, îòíîñèòåëüíî åãî îñè ðàâåí J0ω (J0 ìîìåíò èíåðöèèöèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî îñè, ω ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿöèëèíäðà).
Ìîìåíò èìïóëüñà òîãî æå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîé îñèÐèñ. 12.20219âðàùåíèÿ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó êàñàíèÿ öèëèíäðà è ïëîñêîñòè, áóäåò ðàâåí J0ω + RmL0 = J0ω + Rm (ωR) = (J0 + mR2) ω = Jω, ãäå J ìîìåíò èíåðöèèöèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ, R ðàäèóñ öèëèíäðà.2. Åñëè øàðó ìàññîé m ñîîáùèòü ñêîðîñòü L0, îáåñïå÷èâàþùóþ äâèæåíèåïî êðóãîâîé îðáèòå âîêðóã ãðàâèòàöèîííîãî ñèëîâîãî öåíòðà O ′, òî îí áóäåòäâèãàòüñÿ ïîñòóïàòåëüíî (LO = 0), à åãî ìîìåíò èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî O ′LO ′ = mL0R (ðèñ.
12.20, à). Åñëè ïðè ýòîì øàð áóäåò âðàùàòüñÿ âîêðóã ñîáñòâåííîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 12.20, á, òî ïîñòîÿííûéîòíîñèòåëüíî òî÷êè O ′ ìîìåíò èìïóëüñà øàðà áóäåò ðàâåí LO ′ = LO + mL0R == J0 ω + mL0R.Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò èìïóëüñà ëþáîé èç ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû, ñâÿçàííûé ñ åå ñîáñòâåííûì âðàùåíèåì, çíà÷èòåëüíî ìåíüøå îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà. Îðáèòû âñåõ ïëàíåò ëåæàò ïðèáëèçèòåëüíî â îäíîé ïëîñêîñòè, è âñå 9ïëàíåò äâèæóòñÿ âîêðóã Ñîëíöà â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè. Òàêèì îáðàçîì, ñóììàðíûé ìîìåíò èìïóëüñà ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû îòëè÷åí îò íóëÿ.ËÅÊÖÈß 13Óðàâíåíèÿ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà.
 îáùåì ñëó÷àå àáñîëþòíî òâåðäîå òåëîèìååò 6 ñòåïåíåé ñâîáîäû, è äëÿ îïèñàíèÿ åãî äâèæåíèÿ íåîáõîäèìû 6 íåçàâèñèìûõ ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé èëè 2 íåçàâèñèìûõ âåêòîðíûõ óðàâíåíèÿ.Âñïîìíèì, ÷òî òâåðäîå òåëî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è, ñëåäîâàòåëüíî, ê íåìó ïðèìåíèìû òå óðàâíåíèÿ äèíàìèêè, êîòîðûå ñïðàâåäëèâû äëÿ ñèñòåìû òî÷åê â öåëîì. Îáðàòèìñÿ ê îïûòàì.Âîçüìåì ðåçèíîâóþ ïàëêó, óòÿæåëåííóþ íà îäíîì èç êîíöîâ è èìåþùóþëàìïî÷êó â öåíòðå ìàññ (ðèñ.
13.1). Çàææåì ëàìïî÷êó è áðîñèì ïàëêó èç îäíîãîêîíöà àóäèòîðèè â äðóãîé, ñîîáùèâ åé ïðîèçâîëüíîå âðàùåíèå, òðàåêòîðèåé ëàìïî÷êè áóäåò ïàðàáîëà êðèâàÿ, ïî êîòîðîé ïîëåòåëî áû íåáîëüøîåòåëî, áðîøåííîå ïîä óãëîì ê ãîðèçîíòó.Ñòåðæåíü, îïèðàþùèéñÿ îäíèì èç êîíöîâ íà ãëàäêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü (ñì.
ðèñ. 11.16), ïàäàåò òàê, ÷òî åãî öåíòð ìàññ îñòàåòñÿ íà îäíîé è òîé æåâåðòèêàëè, ïîñêîëüêó íåò ñèë, êîòîðûå ñäâèíóëè áû öåíòð ìàññ ñòåðæíÿ âãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè.Îïûò, êîòîðûé áûë ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 12.2, à, â, ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì,÷òî äëÿ èçìåíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà òåëà ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàåò íå ïðîñòî ñèëà, à åå ìîìåíò îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ.Òåëî, ïîäâåøåííîå â òî÷êå, íå ñîâïàäàþùåé ñ åãî öåíòðîì ìàññ (ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê), ñîâåðøàåò êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå (ðèñ.
13.2, à) åñòü ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïîäâåñà, âîçâðàùàþùèé îòêëîíåííûéìàÿòíèê â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Íî òîò æå ìàÿòíèê, ïîäâåøåííûé â öåíòðåìàññ, íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ (ðèñ. 13.2, á ).Ðîëü ìîìåíòà ñèëû íàãëÿäíî ïðîÿâëÿåòñÿ â îïûòàõ ñ «ïîñëóøíîé» è «íåïîñëóøíîé» êàòóøêàìè (ðèñ. 13.3). Ïëîñêîå äâèæåíèå ýòèõ êàòóøåê ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âðàùåíèå âîêðóã ìãíîâåííîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ñîïðèêîñíîâåíèÿ êàòóøêè ñ ïëîñêîñòüþ.  çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ìîìåíòàÐèñ.
13.1221Ðèñ. 13.2Ðèñ. 13.3ñèëû F îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîé îñè êàòóøêà ëèáî îòêàòûâàåòñÿ (ðèñ. 13.3,à), ëèáî íàêàòûâàåòñÿ íà íèòêó (ðèñ. 13.3, á ). Äåðæà íèòü äîñòàòî÷íî áëèçêî êãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ìîæíî ïðèíóäèòü ê ïîñëóøàíèþ ñàìóþ «íåïîñëóøíóþ» êàòóøêó.Âñå ýòè îïûòû âïîëíå ñîãëàñóþòñÿ ñ èçâåñòíûìè çàêîíàìè äèíàìèêè, ñôîðìóëèðîâàííûìè äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê: çàêîíîì äâèæåíèÿ öåíòðàìàññ è çàêîíîì èçìåíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû ïîä äåéñòâèåì ìîìåíòàâíåøíèõ ñèë.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
