В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 44
Текст из файла (страница 44)
 ýòîì,ñàìîì îáùåì ñëó÷àå, îíî èìååò 6 ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ó÷èòûâàÿ òåîðåìó Ýéëåðà(ñì. âûøå), äâèæåíèå ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè äâèæóòñÿ êàêïðîèçâîëüíî âûáðàííûé ïîëþñ (íà÷àëî ñèñòåìû x0y0z0), è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã ìãíîâåííîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòîò ïîëþñ. Ýòîìó ïðåäñòàâëåíèþ ñîîòâåòñòâóþò øåñòü íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò: òðè äåêàðòîâû êîîðäèíàòû X, Y, Z òî÷êè, ïðèíÿòîé çà ïîëþñ, è òðè óãëà Ýéëåðà ϕ, ψ, θ (ñì.
ðèñ. 11.3).Ïîëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé òî÷êè À òåëà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ îïðåäåëÿåòñÿ ðàäèóñîì-âåêòîðîì RA:RA = R0 + r,(11.36)ãäå R0 ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè Î, ïðèíÿòîé çà ïîëþñ; r ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êèÀ îòíîñèòåëüíî ïîëþñà.Ñêîðîñòü òî÷êè ÀrvA = v0 + ω × r,(11.37)rãäå v0 ñêîðîñòü ïîëþñà; ω × r ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿâîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëþñ.Óñêîðåíèå òî÷êè Àrr drdω× r + ω× ,a A = a0 +(11.38)dtdtrdωãäå a0 óñêîðåíèå ïîëþñà;× r óñêîðåíèå, îáóñëîâëåííîå èçìåíåíèåìdtr drrâåêòîðà ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè ω ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ; ω ×dtöåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå [ñì.
ôîðìóëó (11.26)].Ïðèíèìàÿ çà ïîëþñ ðàçëè÷íûå òî÷êè ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà (èëè äàæåòî÷êè âíå åãî), ìîæíî ïîëó÷èòü áåñêîíå÷íî áîëüøîå ÷èñëî ðàçëîæåíèé åãîäâèæåíèÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå. Êàê è â ñëó÷àå ïëîñêîãî äâèæåíèÿ, êèíåìàòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïåðåíîñíîãî ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿv0, a0 áóäóò çàâèñåòü îò âûáîðà ïîëþñà. Êèíåìàòè÷åñêèå æå õàðàêòåðèñòèêè îòrr dωíîñèòåëüíîãî âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ω,îò âûáîðà ïîëþñà íå çàâèñÿò.dtÇàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà íåâîçìîæíî ñâåñòè êâðàùåíèþ âîêðóã ìãíîâåííîé îñè.
Îäíàêî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àåñóùåñòâóåò òàê íàçûâàåìàÿ ìãíîâåííàÿ îñü âèíòîâîãî ïåðåìåùåíèÿ òâåðäîãî òåëà.Ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã íåêîòîðîé îñè èïîñòóïàòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ âäîëü ýòîé æå îñè.
Åñòåñòâåííî, â îáùåì ñëó÷àåñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïîëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âèíòîâîãî ïåðåìåùåíèÿ âïðîñòðàíñòâå è îòíîñèòåëüíî òåëà èçìåíÿåòñÿ.ËÅÊÖÈß 12Äèíàìèêà àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà. Çàäà÷à äèíàìèêè àáñîëþòíî òâåðäîãîòåëà óñòàíîâèòü âçàèìîñâÿçü ìåæäó äâèæåíèåì òåëà è äåéñòâóþùèìè íàíåãî ñèëàìè. Êàê ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî ðàññìîòðåíèÿ, ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ìîæíî ñâåñòè ê ïîñòóïàòåëüíîìó è âðàùàòåëüíîìó.
Ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè òðàåêòîðèè âñåõ òî÷åê òåëà îäèíàêîâû, ïîýòîìó, êàêè â ìåõàíèêå òî÷êè, â ýòîì ñëó÷àå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû òàêèå ïîíÿòèÿ,êàê ìàññà, èìïóëüñ, ñèëà. Îäíàêî ïðè èçó÷åíèè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òåëàýòèõ ïîíÿòèé îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî.Ðàññìîòðèì äâà öèëèíäðà îäèíàêîâîé ìàññû è îäèíàêîâûõ ðàçìåðîâ, ïðè÷åì îäèí öèëèíäð, èçãîòîâëåííûé èç ëåãêîãî ìàòåðèàëà, ïóñòü áóäåò ñïëîøíûì, à äðóãîé, ñäåëàííûé èç òÿæåëîãî ìàòåðèàëà, ïîëûì. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ñîñêàëüçûâàíèè ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè öèëèíäðû íå âðàùàþòñÿ è âåäóò ñåáÿ ñîâåðøåííî îäèíàêîâî (ðèñ. 12.1, à); â÷àñòíîñòè, îíè îäíîâðåìåííî äîñòèãàþò îñíîâàíèÿ ýòîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè.
Èíîå äåëî, åñëè ïëîñêîñòü øåðîõîâàòàÿ è öèëèíäðû ñêàòûâàþòñÿ, âðàùàÿñü âîêðóã ñâîåé îñè (ðèñ. 12.1, á ), â ýòîì ñëó÷àå áûñòðåå ñêàòûâàåòñÿ ñïëîøíîé öèëèíäð. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè ñóùåñòâåííî ðàñïðåäåëåíèå ìàññû îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ.Îá ýòîì æå ñâèäåòåëüñòâóþò è äðóãèå îïûòû: ÷åì äàëüøå îò îñè âðàùåíèÿñîñðåäîòî÷åíà ìàññà òåëà, òåì òðóäíåå åãî ðàñêðóòèòü ïðè âîçäåéñòâèè ïîñòîÿííîé ñèëîé, èìåþùåé îäíî è òî æå ïëå÷î (ðèñ. 12.2, à, á ). Äëÿ ðàñêðó÷èâàíèÿñòåðæíåé ñ ãðóçàìè äî óãëîâîé ñêîðîñòè ω0 â ñëó÷àå, ïîêàçàííîì íà ðèñ.
12.2, á,òðåáóåòñÿ áîëüøåå âðåìÿ Δt12, ÷åì â ñëó÷àå ðèñ. 12.2, à (Δt12 = t0). Ñ ïîìîùüþ ýòèõæå îïûòîâ ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè òåëà îïðåäåëÿþùóþ ðîëü èãðàåò íå ñàìà ñèëà, à åå ìîìåíò: åñëè ïåðåáðîñèòü íèòü íà øêèâáîëüøåãî ðàäèóñà, òî ðàñêðóòèòü ýòè òåëà áóäåò ëåã÷å (Δt12 < t0, ðèñ. 12.2, â).Ïîýòîìó äëÿ îïèñàíèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òåëà íåîáõîäèìî ââåñòè íîâûå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû: ìîìåíò èíåðöèè, ìîìåíò èìïóëüñà, ìîìåíò ñèëû.Ðèñ. 12.1206Ðèñ.
12.2Ìîìåíò èìïóëüñà. Òåíçîð èíåðöèè. Ïîíÿòèå ìîìåíòà èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî òî÷êè îäíî èç âàæíåéøèõ â äèíàìèêå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ýòà âåëè÷èíà îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõòî÷åê:L=∑ ri × Δpi = ∑ Δmi ri × vi ,i(12.1)iãäå Δpi = Δmi vi èìïóëüñ ÷àñòèöû òåëà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ; ri ðàäèóñ-âåêòîð ýòîé ÷àñòèöû, íà÷àëî êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òîé òî÷êå, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ ìîìåíò èìïóëüñà òåëà.Ñ ó÷åòîì ïîñòîÿíñòâà ðàññòîÿíèé ìåæäó òî÷êàìè àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëàrâåêòîð ìîìåíòà èìïóëüñà L ìîæíî ñâÿçàòü ñ âåêòîðîì óãëîâîé ñêîðîñòè ω.Ðàññìîòðèì äâå îäèíàêîâûå òî÷å÷íûå ìàññû m, óêðåïëåííûå íà êîíöàõríåâåñîìîãî ñòåðæíÿ À (ðèñ. 12.3). Ñòåðæåíü âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ωâîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíó ñòåðæíÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî åìó.
 ýòîì ñëó÷àår(12.2)L = mr1 × v1 + mr2 × v2 = 2mr 2ω.Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî r1 = r2 = r, à L1 = L2 = ωr.rÑóùåñòâåííî, ÷òî çäåñü âåêòîð L íàïðàâëåí òàê æå, êàê è âåêòîð ω.Ê ñîæàëåíèþ, òàê áûâàåò íå âñåãäà.  ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ íà ïðèìåðå,ïîêàçàííîì íà ðèñ. 12.4. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü À ñ äâóìÿ ìàññàìè m íà êîíöàõæåñòêî çàêðåïëåí â òî÷êå Î ïîä íåêîòîðûì óãëîì α ê âåðòèêàëüíîé îñè èrðàñïîëîæåí â ïëîñêîñòè Oyz. Ïðè âðàùåíèè ñòåðæíÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ωâåêòîð L, îïðåäåëåííûé â ñîîòâåòñòâèè ñ (12.1), áóäåò ñîñòàâëÿòü c îñüþâðàùåíèÿ óãîë π/2 − α. Ñèñòåìà xyz, ââåäåííàÿ â íà÷àëå ëåêöèè 11, æåñòêîÐèñ. 12.3Ðèñ. 12.4207ñâÿçàíà ñî ñòåðæíåì è ïîâîðà÷èâàåòñÿ âìåñòå ñ íèì.
Ïðè ýòîì âåêòîð L îñòàåòñÿ â ïëîñêîñòè Oyz, à â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå äâèæåòñÿ ïî êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ óãëîì ïîëóðàñòâîðà π/2 − α.Ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ L â ñëó÷àå òâåðäîãî òåëà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû,çàêðåïëåííîãî â íåêîòîðîé òî÷êå Î.rÏóñòü ri ðàäèóñ-âåêòîð ýëåìåíòàðíîé ìàññû Δmi òâåðäîãî òåëà, à ω óãëîâàÿ ñêîðîñòü. ÒîãäàL=rrrri ) = ∑ Δmi [ω (ri ri ) − ri (ri ω)] =∑ Δmi ri × v i = ∑ Δmi rai × (ω×ccc a bbiiabirr= ∑ Δmi [ωri 2 − ri (ri ω)].(12.3)irÂåêòîðû ri, ω è L ìîæíî ïðîåêòèðîâàòü êàê íà îñè ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìûXYZ, òàê è íà îñè ñèñòåìû xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì (ïîñêîëüêóòî÷êà Î íåïîäâèæíà, íà÷àëà îáåèõ ñèñòåì ìîæíî ñîâìåñòèòü).
Ïðåèìóùåñòâîñèñòåìû xyz çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â íåé ïðîåêöèè ri ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìèâåëè÷èíàìè (â ñèñòåìå XYZ îíè çàâèñÿò îò âðåìåíè), è âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò L èìåþò áîëåå ïðîñòîé âèä.Èòàê, â ñèñòåìå xyzrri = {xi, yi, zi}; ω = {ωx, ωy, ωz}.(12.4)Òîãäà, ïðåîáðàçóÿ (12.3), ìîæíî çàïèñàòü:L=r∑ Δmi [ωri2 − ri (xi ωx + yi ωy + zi ωz )].i(12.5)Âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëüñà íà îñè ñèñòåìû xyz çàïèøåì ââèäåLx =∑ Δmi (ri2 − xi2 )ωx + ∑ (−Δmi xi yi )ωy + ∑ (−Δmi xi zi )ωz ;(12.6)Ly =∑ (−Δmi yi xi )ωx + ∑ Δmi (ri2 − yi2 )ωy + ∑ (−Δmi yi zi )ωz ;(12.7)Lz =∑ (−Δmi z i xi )ωx + ∑ (−Δmi z i yi )ω y + ∑ Δmi (ri2 − z i2 )ωz ,(12.8)iiiiiiiiièëèLx = Jxx ωx + Jxy ωy + Jxz ωz;(12.9)Ly = Jyx ωx + Jyy ωy + Jyz ωz;(12.10)Lz = Jzx ωx + Jzy ωy + Jzz ωz,(12.11)ãäå Jkl 9 êîìïîíåíò òåíçîðà èíåðöèè J^ òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î:208⎛ J xx⎜µJ = ⎜ J yx⎜ J zx⎝J xyJ yyJ zyJ xz ⎞⎟J yz ⎟ .J zz ⎟⎠(12.12)Äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû òåíçîðà Jxx, Jyy, Jzz íàçûâàþòñÿ îñåâûìè ìîìåíòàìèèíåðöèè, íåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû Jxy, Jyx, Jxz, Jzx, Jyz, Jzy öåíòðîáåæíûìèìîìåíòàìè èíåðöèè.
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî Jxy = Jyx, Jxz = Jzx, Jyz = Jzy. Òàêîéòåíçîð íàçûâàþò ñèììåòðè÷íûì.Åñëè êîîðäèíàòàì x, y è z ïðèñâîèòü íîìåðà 1, 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî, òî(12.9)(12.11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåLk =3∑ J kl ωl ;k , l = 1, 2,3.(12.13)l =1 ñèìâîëè÷åñêîì âèäå ìîæíî çàïèñàòü òàê:rL = J^ω.(12.14)Äåâÿòü âåëè÷èí Jkl (èç íèõ øåñòü íåçàâèñèìûõ) îïðåäåëÿþò îäíîçíà÷íóþrñâÿçü ìåæäó L è ω, ïðè÷åì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî L â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàåò ïîríàïðàâëåíèþ ñ ω (ðèñ.
12.5).Èòàê, ìû ñòîëêíóëèñü ñ íîâûì òèïîì âåëè÷èí, èìåþùèì âàæíîå çíà÷åíèåâ ôèçèêå, òåíçîðîì. Åñëè äëÿ çàäàíèÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû íåîáõîäèìî îäíî÷èñëî (çíà÷åíèå ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû), âåêòîðíîé òðè ÷èñëà (òðè ïðîåêöèèâåêòîðà íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò), òî äëÿ çàäàíèÿ òåíçîðà íåîáõîäèìû â îáùåì ñëó÷àå 9 ÷èñåë. Íà ÿçûêå ìàòåìàòèêè òåíçîð ýòî ìíîãîêîìïîíåíòíàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿñÿ îïðåäåëåííûì ïîâåäåíèåì ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñèñòåìû êîîðäèíàò (â äàííîì ñëó÷àå êîìïîíåíòû òåíçîðà èíåðöèè ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò).Íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ òåíçîðíûõ âåëè÷èí îáóñëîâëåíà ðàçëè÷íîãî ðîäààíèçîòðîïèåé ñâîéñòâ ôèçè÷åñêèõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ îáúåêòîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
