В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 39
Текст из файла (страница 39)
å. âåëè÷èíó. Î÷åâèäíî, ÷òî ëåâóþ ÷àñòü (10.26) ìîæíîdtïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:vd ⎛mvmvdv⎞=+22 dtdt ⎜ 1 − v 2 c 2 ⎟1−v c⎝⎠c2(mv 21 − v 2 c2)3vdv=dt(10.27)v 2 c2 ⎞ dmvdv ⎛mc 2dE=+==1,⎜22 ⎟22 dtdt1 − v c ⎠ dt 1 − v 2 c 2⎝1−v cãäå ó÷òåíî, ÷òî vdv = vdv.Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèþ Å ÷àñòèöû â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ñëåäóåò îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëåE =mc 21 − v 2 c2= γmc 2 .(10.28)Îòñþäà âèäíî, ÷òî äàæå ïðè ñêîðîñòè v = 0 ÷àñòèöà îáëàäàåò ýíåðãèåéE0 = mc2.(10.29)Ýòà ýíåðãèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ìàññå ÷àñòèöû m è íàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé ïîêîÿ.Ñëåäóåò îñîáî îòìåòèòü, ÷òî â ñîîòíîøåíèè (10.29) ïðîÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííîíîâîå ñâîéñòâî ìàññû: ìàññà m òåëà îïðåäåëÿåò çàïàñåííóþ â íåì ýíåðãèþ E0. ìåõàíèêå Íüþòîíà ìàññà òàêèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò.Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ v èç (10.28) ïðèáëèæåííî èìååìE ≈ mc2 + mv2/2.(10.30)Ïðàâàÿ ÷àñòü (10.30) åñòü ñóììà ýíåðãèè ïîêîÿ E0 è îáû÷íîé êèíåòè÷åñêîéýíåðãèè T.
 ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ïðè ïðîèçâîëüíûõ ñêîðîñòÿõ v, ïî àíàëîãèè ñ (10.30), êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ T îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàçíîñòü ðåëÿòèâèñòñêîé ýíåðãèè E è ýíåðãèè ïîêîÿ E0:T = E − E0 = mc2(γ − 1).(10.31)183 óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå (γ ? 1) ýíåðãèÿ E ìíîãî áîëüøå mc 2 è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ T ïðàêòè÷åñêè íå îòëè÷àåòñÿ îò ïîëíîé ýíåðãèè E.Èç (10.12) è (10.28) ìîæíî èñêëþ÷èòü ñêîðîñòü v è ïîëó÷èòü ñëåäóþùååî÷åíü âàæíîå âûðàæåíèå, êîòîðîå ñâÿçûâàåò ýíåðãèþ, èìïóëüñ è ìàññó:E2 − (pc)2 = m2c4.(10.32)Ýòî ñîîòíîøåíèå îäíî èç îñíîâíûõ â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå. Îíî ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ìàññó ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû, êîòîðóþ íåëüçÿ èçìåðèòüíåïîñðåäñòâåííî. Ðåëÿòèâèñòñêèé èìïóëüñ p ìîæíî òàêæå âûðàçèòü ÷åðåç ýíåðãèþ Å è ñêîðîñòü v:p = vE/c2.(10.33)Ôîðìóëà (10.33) òàêæå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ.
Èç íåå, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåòî÷åíü âàæíûé âûâîä î ìàññå ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà. Åñëèv = c, òî, ñîãëàñíî (10.33), p = E/c. Ïîäñòàíîâêà ýòîãî âûðàæåíèÿ äëÿ èìïóëüñàâ (10.32) ïðèâîäèò ê íóëåâîé ìàññå ÷àñòèöû: m = 0. Òàêèì îáðàçîì, ñî ñêîðîñòüþñâåòà ìîãóò äâèãàòüñÿ òîëüêî ÷àñòèöû ñ íóëåâîé ìàññîé, íàïðèìåð, ôîòîíû. ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå èñïîëüçóåòñÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ ýíåðãèè, ðàâíàÿ 1 ýÂ. Òàêóþ ýíåðãèþ ÷àñòèöà ñ çàðÿäîì ýëåêòðîíà å ïðèîáðåòàåò â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ïðè ïåðåìåùåíèè ìåæäó òî÷êàìè ñ ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâΔU = 1 B. Ñîîòíîøåíèå ñî ñòàíäàðòíîé åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ýíåðãèè 1 Äæîïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì, â êîòîðîì çàðÿä ýëåêòðîíà âûðàæåí â åäèíèöàõ ÑÈ:1 ý = 1,6 ⋅ 10−19 Êë ⋅ 1  = 1,6 ⋅ 10−19 Äæ.(10.34)Îáðàòíàÿ ñâÿçü çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì:1 Äæ = 6,24 ⋅ 10−18 ýÂ.(10.35)Êàê ïðàâèëî, â ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö èñïîëüçóþòñÿ ïðèñòàâêè ê ýÂäëÿ îáîçíà÷åíèÿ áîëåå êðóïíûõ åäèíèö ýíåðãèè: Ì ìåãà (106), à ãèãà(109), Ò òåðà (1012), Ï ïåòà (1015) è Ý ýêñà (1018).
Íàïðèìåð, 1 Ïý = 1015ýÂ. Ýòè ýíåðãåòè÷åñêèå åäèíèöû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ìàññ ÷àñòèö (ìàññà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýíåðãèþ ïîêîÿ). Íàïðèìåð, ìàññà ýëåêòðîíà âýòèõ åäèíèöàõ me c 2 = 0,511 ÌýÂ, à ìàññà ïðîòîíà mð c 2 = 0,938 ÃýÂ. Îòêðûòû÷àñòèöû è áîëåå òÿæåëûå. Íàïðèìåð, ìàññà òàê íàçûâàåìîãî Z 0 áîçîíà î÷åíüâåëèêà: mZ 0 c 2 = 91,2 ÃýÂ.
Ìàññà îäíîé èç ñàìûõ òÿæåëûõ îòêðûòûõ ÷àñòèöðàâíà ïðèìåðíî 200 ÃýÂ.  íåêîòîðûõ òåîðèÿõ ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèåãèïîòåòè÷åñêèõ Õ-÷àñòèö ñ ãðàíäèîçíûìè ìàññàìè: mÕ c 2 ≈ 1024÷1028 ýÂ!Ýíåðãèÿ, èìïóëüñ è ìàññà ñèñòåìû ñâîáîäíûõ ÷àñòèö. Ðàññìîòðèì ñèñòåìóñâîáîäíûõ ÷àñòèö.  ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå, êàê è â êëàññè÷åñêîé, ýíåðãèÿè èìïóëüñ àääèòèâíû. Ýíåðãèÿ E ñèñòåìû èç n ÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììàýíåðãèé Ei âñåõ ÷àñòèö:E =n∑ Ei .(10.36)i =1Àíàëîãè÷íî è èìïóëüñ p ýòîé ñèñòåìû ðàâåí ñóììå èìïóëüñîâ pi ÷àñòèö:p=n∑ pi .i =1184(10.37) ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå äëÿ ìàññû m ñèñòåìû ñâîáîäíûõ ÷àñòèö, ïîàíàëîãèè ñ (10.32), ñ ó÷åòîì (10.36) è (10.37) èìååì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:22⎡⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎤ 4224⎡⎤m = E − ( pc )c = ⎢⎜ ∑ Ei ⎟ − ⎜ ∑ cpi ⎟ ⎥ c .⎣⎦⎢⎣⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1⎠ ⎦⎥2(10.38)Îòñþäà âèäíî, ÷òî ìàññà ñèñòåìû ñâîáîäíûõ ÷àñòèö íå ðàâíà ñóììå ìàñññîñòàâëÿþùèõ ÷àñòèö, ò.
å. ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè äëÿ ìàññû íå âûïîëíÿåòñÿ. êà÷åñòâå ïðîñòåéøåãî ïðèìåðà ïðåäñòàâèì ñåáå äâà ïðîòîíà (ìàññà êàæäîãîðàâíà mp), êîòîðûå ëåòÿò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñ ðàâíûìè è ïðîòèâîïîëîæíîíàïðàâëåííûìè èìïóëüñàìè p è îäèíàêîâûìè ýíåðãèÿìè E. Î÷åâèäíî, äëÿêàæäîãî èç ïðîòîíîâ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (10.32). Äëÿ ìàññû ñèñòåìû, âñîîòâåòñòâèè ñ (10.38), íàõîäèìm = 2E/c2,(10.39)÷òî ðàäèêàëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïðîñòîé ñóììû ìàññ ïðîòîíîâ.Èç (10.38) òàêæå ñëåäóåò, ÷òî ìàññà èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû (â êîòîðîén∑ Eii =1= const èn∑ pi= const) ñî âðåìåíåì íå ìåíÿåòñÿ.
Áîëåå òîãî, ïðè ïåðåõî-i =1äå èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ ìàññà íå èçìåíÿåòñÿ, õîòÿ èìïóëüñ p è ýíåðãèÿ Eñèñòåìû ìîãóò èçìåíèòüñÿ.Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö.  ðåëÿòèâèñòñêîéìåõàíèêå, êàê è â êëàññè÷åñêîé, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Ïðèìåðàìè òàêèõ ñèñòåì ìîãóò ñëóæèòü íåêîòîðûå ñîñòàâíûå ÷àñòèöû àäðîíû èç êâàðêîâ è ãëþîíîâ, ÿäðà àòîìîâ èç íåéòðîíîâ èïðîòîíîâ, àòîìû, ìîëåêóëû è ò. ä. Âçàèìîäåéñòâóþùèå ÷àñòèöû âíóòðè ñèñòåìû ìîãóò äâèãàòüñÿ ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòüþ. Îäíàêî íåñìîòðÿ íà ýòî, èççà ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ñîáîé ýòè ÷àñòèöû íå ìîãóò ïîêèíóòü ïðåäåëîâ ñèñòåìû.Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî òàêèõ âçàèìîäåéñòâèé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ââåñòè ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ, è ðàññìîòðèì ïîëíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû÷àñòèö.Îïðåäåëèì ýíåðãèþ Ei îòäåëüíîé ÷àñòèöû ñ íîìåðîì i êàê ñóììó åå êèíåòè÷åñêîé Ti è ïîòåíöèàëüíîé Ui ýíåðãèé:Ei = Ti + Ui.(10.40)Êàê èçâåñòíî, åñëè Ei < 0, òî ÷àñòèöà ìîæåò äâèãàòüñÿ òîëüêî â ïðåäåëàõîãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ýíåðãèè Ei âñåõ ÷àñòèö îòðèöàòåëüíû, òî îáðàçóåòñÿ ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ÷àñòèö: ÷àñòèöû íå ìîãóò îòîéòè äðóã îò äðóãà íà áåñêîíå÷íîå ðàññòîÿíèå.  ñèñòåìå öåíòðàìàññ àíñàìáëü ÷àñòèö ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íîâóþ ñîñòàâíóþ ÷àñòèöó ñíåêîòîðîé ìàññîé m è íóëåâûì èìïóëüñîì p = 0. Ïîñêîëüêó èìïóëüñ, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñêîðîñòü ñîñòàâíîé ÷àñòèöû ðàâíû íóëþ, òî îíà îáëàäàåò òîëüêîýíåðãèåé ïîêîÿ E0:E0 = mc2.(10.41)185Èç óñëîâèÿ áàëàíñà ýíåðãèè âûòåêàåò, ÷òî ýíåðãèÿ E0 ñîñòàâíîé ÷àñòèöûðàâíà ñóììå ýíåðãèé ïîêîÿ E0i è ýíåðãèé Ei ñîñòàâëÿþùèõ åå ÷àñòèö:E0 =n∑ (E0i + Ei ),(10.42)i =1ãäå n ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö â ñèñòåìå.Ýíåðãèè ïîêîÿ E0i ÷àñòèö ñâÿçàíû ñ èõ ìàññàìè mi èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåìE0i = mic2.(10.43)Òàê êàê, ïî óñëîâèþ îáðàçîâàíèÿ ñîñòàâíîé ÷àñòèöû, âñå ýíåðãèè Ei îòðèöàòåëüíû, èç (10.41)(10.43) âèäíî, ÷òî ìàññà ñîñòàâíîé ÷àñòèöû ìåíüøåñóììû ìàññ ñîñòàâëÿþùèõ åå ÷àñòèö:m<n∑ mi .(10.44)i =1Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, êàê è â ñëó÷àå ñâîáîäíûõ (ñì.
âûøå), ìàññà íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè: ìàññà ñîñòàâíîé ÷àñòèöû ìåíüøå ñóììû ìàññ ñîñòàâëÿþùèõ åå ÷àñòèö. Óìåíüøåíèå ìàññûΔm (èíîãäà åãî íàçûâàþò «äåôåêòîì ìàññû») îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìΔm =n∑ mi − m.(10.45)i =1 ñïðàâî÷íèêàõ ïðèâîäÿòñÿ ìàññû ýëåêòðîíà, ïðîòîíà, íåéòðîíà, à òàêæåìàññû ÿäåð, àòîìîâ è ìîëåêóë. Ïîýòîìó ïî ôîðìóëå (10.45) ìîæíî ðàññ÷èòàòüýòî óìåíüøåíèå ìàññû äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîñòàâíûõ ÷àñòèö.Èç (10.42) ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî óìåíüøåíèå ìàññû ñîñòàâíîé ÷àñòèöûîïðåäåëÿåòñÿ ñèëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ÷àñòèöàìè.  ñëó÷àå î÷åíü ñëàáûõ ñèë ìåæìîëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (ñèë Âàí-äåð-Âààëüñà, êîòîðûå çíà÷èòåëüíî ñëàáåå êóëîíîâñêèõ èç-çà ïî÷òè ïîëíîé êîìïåíñàöèèýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé ÿäåð ïîëÿìè îêðóæàþùèõ èõ ýëåêòðîíîâ), èëè äàæå äëÿáîëåå çíà÷èòåëüíûõ êóëîíîâñêèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ ìåæäó ÿäðàìè àòîìîâ èýëåêòðîíàìè, âåëè÷èíà Δm íè÷òîæíî ìàëà è íà ñîâðåìåííîì óðîâíå ýêñïåðèìåíòàëüíîé òåõíèêè èçìåðåíà áûòü íå ìîæåò.
Íàïðèìåð, ìàññà ìîëåêóëû âîäîðîäà H2 íà 2,4 ⋅ 10−9 à. å. ì. ìåíüøå ñóììû ìàññ äâóõ àòîìîâ âîäîðîäà.  ñâîþî÷åðåäü, ìàññà àòîìà âîäîðîäà íà 1,46 ⋅ 10−8 à. å. ì. ìåíüøå ñóììû ìàññ ïðîòîíàè ýëåêòðîíà. Äëÿ ñðàâíåíèÿ óêàæåì, ÷òî ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ìàññ àòîìîâñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó îêîëî (4 ÷ 6) ⋅ 10−8 à. å. ì. Ïîýòîìó ïðèâåäåííûå âûøå îöåíêèäëÿ Δm ïîëó÷åíû íà îñíîâå èçâåñòíîé ýíåðãèè, âûäåëÿåìîé ïðè ñèíòåçå ìîëåêóë âîäîðîäà, è ýíåðãèè èîíèçàöèè àòîìà âîäîðîäà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
