В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î10-êðàòíîì çàìåäëåíèè òåìïà õîäà ÷àñîâ-ñãóñòêà. Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿìîæíî ïðîâåñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì ñëåäóþùèõ ÷àñîâ-ñãóñòêà, ðàñïîëîæåííûõ â òî÷êå x ′ ≈ −30 ì. Ñðàâíèâàÿ, íàïðèìåð, ñèòóàöèè à è ã, ïðèõîäèì ê156âûâîäó, ÷òî êîãäà ïðîéäåò 100 íñ (ïî ÷àñàì-ñãóñòêó), ïðîìåæóòîê âðåìåíè,èçìåðåííûé ñ ïîìîùüþ ðàçíûõ, íî íàõîäÿùèõñÿ âáëèçè ñãóñòêà ëàáîðàòîðíûõ÷àñîâ, áóäåò ðàâåí 10 − (−990) = 1000 íñ. Ïîëåçíî ñàìîñòîÿòåëüíî èçîáðàçèòüâçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå è ïîêàçàíèÿ ÷àñîâ ñ ïîçèöèè íàáëþäàòåëÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå è ïðîâåñòè àíàëèç çàìåäëåíèÿ òåìïà õîäà ÷àñîâ îáîèõ òèïîâ.Íàêîíåö, óêàæåì òàêæå è íà îòíîñèòåëüíîñòü îäíîâðåìåííîñòè: ñîáûòèÿ,ïðîèñõîäÿùèå îäíîâðåìåííî â îäíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, íå áóäóò îäíîâðåìåííûìè â äðóãîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè t ′ = 20 íñ (ñèòóàöèÿ â)ñãóñòêè ñ êîîðäèíàòàìè x 1′ ≈ −30 ì è x 2′ = 0 ì «ïîâðåäèëè» íàõîäÿùèåñÿ ïîáëèçîñòè ëàáîðàòîðíûå ÷àñû.
Èõ ñòðåëêè «çàìåðëè» íà îòìåòêàõ t1 = −790 íñ èt2 = 200 íñ. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ýêñïåðèìåíòàòîðà, ðàáîòàþùåãî íà óñêîðèòåëå, ïîâðåæäåíèÿ ÷àñîâ ïðîèçîøëè ïîñëåäîâàòåëüíî ñ èíòåðâàëîì âðåìåíè990 íñ.Èíòåðâàëû. Êàê áûëî îïðåäåëåíî âûøå, åñëè ÷òî-ëèáî ïðîèñõîäèò â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà â êàêîé-ëèáî ìîìåíò âðåìåíè, òî ãîâîðÿò, ÷òî èìååò ìåñòî ñîáûòèå. Âîçíèêàåò âîïðîñ: âîçìîæíî ëè óñòàíîâèòü êàêèå-ëèáî ñâÿçèìåæäó ðàçëè÷íûìè ñîáûòèÿìè? Ñàìûå îáùèå ñâÿçè, êîòîðûå ìîãóò áûòü, ýòî ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûå. Îäíî ñîáûòèå ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ïðè÷èíîé äðóãîãî,êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, åñòü ñëåäñòâèå ïåðâîãî.  ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòîíåêîòîðîå âîçäåéñòâèå ñî ñòîðîíû ïåðâîãî ñîáûòèÿ íà âòîðîå.
Ýòî âîçäåéñòâèåðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ, êîòîðàÿ íå ïðåâûøàåò ïðåäåëüíóþ. Ïîýòîìóñîáûòèÿ, ñâÿçàííûå ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûìè îòíîøåíèÿìè, ðàçäåëåíû íåêîòîðûì ïðîìåæóòêîì âðåìåíè, ïðè÷åì ñëåäñòâèå íàñòóïàåò ïîçæå ïðè÷èíû.Òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äîëæíà áûòü îäèíàêîâîé âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Îïðåäåëèòü, ñâÿçàíû ëè äâà ñîáûòèÿ ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûìèîòíîøåíèÿìè, â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå íåëüçÿ. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ òàêèõ îòíîøåíèé íåîáõîäèìà äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ, íàáëþäåíèÿ, ýêñïåðèìåíò.
Îäíàêî íå òðóäíî íàéòè óñëîâèÿ, ïîçâîëÿþùèå îïðåäåëèòü, äîïóñòèìû ëè òàêèåîòíîøåíèÿ èëè îíè â ïðèíöèïå íåâîçìîæíû. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïîíÿòèåèíòåðâàëà. Ïóñòü â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå 1 ñ êîîðäèíàòàìè x1, y1, z1 â ìîìåíòâðåìåíè t1 ïðîèñõîäèò êàêîå-ëèáî ñîáûòèå, à â òî÷êå 2 ñ êîîðäèíàòàìè x2, y2,z2 â ìîìåíò âðåìåíè t2 äðóãîå ñîáûòèå.Ââåäåì ïîíÿòèå èíòåðâàëà ΔS ìåæäó ñîáûòèåì 1 è ñîáûòèåì 2, îïðåäåëèâåãî êâàäðàò ΔS 2 ñëåäóþùèì îáðàçîì:ΔS 2 = c 2Δt 2 − Δx 2 − Δy 2 − Δz 2,(8.32)ãäå èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ Δt = t2 − t1; Δx = x2 − x1; Δy = y2 − y1; Δz = z2 − z1.Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (8.32) íàçûâàåòñÿ âðåìåííé, à ïîñëåäíèåòðè ïðîñòðàíñòâåííîé ÷àñòüþ èíòåðâàëà. Îòìåòèì, ÷òî èíòåðâàë ìåæäó ñîáûòèÿìè ýòî àíàëîã ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè, îïðåäåëåííîãî â ãåîìåòðèèÅâêëèäà.Èíòåðâàëû ìåæäó ñîáûòèÿìè, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþΔS 2 = 0,(8.33)ïîëó÷èëè íàçâàíèå ñâåòîïîäîáíûõ, èëè èçîòðîïíûõ.
Ýòî íàçâàíèå èíòåðâàëàîòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî âñïûøêà ñâåòà, ïðîèçîøåäøàÿ â òî÷êå 1 îäíîâðåìåííî ñ ïåðâûì ñîáûòèåì, äîñòèãàåò òî÷êè 2 îäíîâðåìåííî ñî âòîðûì ñîáûòèåì157(ðèñ. 8.4, ñèòóàöèÿ à). Åñëè âðåìåííÿ ÷àñòü èíòåðâàëà ïðåâûøàåò åãî ïðîñòðàíñòâåííóþ ÷àñòü,òîΔS 2 > 0,(8.34)à èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ âðåìåíèïîäîáíûì.  ýòîìñëó÷àå âñïûøêà ñâåòà äîñòèãàåò òî÷êè 2 ðàíüøå, ÷åì íàñòóïàåò âòîðîå ñîáûòèå (ðèñ. 8.4, ñèòóàöèÿ á ). Ïîñêîëüêó â îáåèõ ýòèõ ñèòóàöèÿõ ñèãíàë óñïåâàåò çà âðåìÿ Δt ïðèéòè èç òî÷êè 1 âòî÷êó 2, òî ÿñíî, ÷òî ñîáûòèÿ 1 è 2 ìîãóò áûòüñâÿçàíû ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûìè îòíîøåíèÿìè.Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñîáûòèå 1 ìîæåòÐèñ.
8.4ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïðè÷èíà, à ñîáûòèå 2 êàêñëåäñòâèå.Åñëè æå âñïûøêà ñâåòà äîñòèãàåò òî÷êè 2 ïîçæå ìîìåíòà íàñòóïëåíèÿ âòîðîãî ñîáûòèÿ, òî ÿñíî, ÷òî ñîáûòèå 1 íå ìîæåò (íå óñïåâàåò) âîçäåéñòâîâàòüíà ñîáûòèå 2, à ñàìè ñîáûòèÿ 1 è 2 íå ìîãóò áûòü ñâÿçàíû ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûìè îòíîøåíèÿìè (ðèñ. 8.4, ñèòóàöèÿ â). Çíà÷åíèå êâàäðàòà èíòåðâàëàäëÿ òàêèõ ñîáûòèé îòðèöàòåëüíî:ΔS 2 < 0.(8.35)Èíòåðâàëû ìåæäó òàêèìè ñîáûòèÿìè íàçûâàþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûìè.Îäíèì èç âàæíåéøèõ ñâîéñòâ èíòåðâàëà ÿâëÿåòñÿ åãî èíâàðèàíòíîñòü.
Äëÿäîêàçàòåëüñòâà èíâàðèàíòíîñòè èíòåðâàëà, ò. å. âûïîëíåíèÿ â ïðîèçâîëüíûõèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà K è K ′ ðàâåíñòâàΔS 2 = ΔS ′ 2,(8.36)âîñïîëüçóåìñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ëîðåíöà. Åñëè â âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòàèíòåðâàëà â ñèñòåìå îòñ÷åòà K ′ ïîäñòàâèòü çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò x′, y′, z′ èâðåìåíè t ′ äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ñîáûòèé 1 è 2, âûðàçèâ èõ ÷åðåç x, y,z è t,òî ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èìΔ S ′2 = c 2 Δ t ′2 − Δ x ′2 − Δ y ′2 − Δ z ′2 =22V= c 2 γ 2 ⎛⎜ Δt − 2 Δx ⎞⎟ − γ 2 ( Δx − V Δt ) − Δy 2 − Δz 2 =c⎝⎠= c 2 Δt 2 − Δx 2 − Δy 2 − Δz 2 = ΔS 2 ,(8.37)÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Èç èíâàðèàíòíîñòè èíòåðâàëà ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä ñëåäñòâèé.  ñëó÷àå âðåìåíèïîäîáíîãî èíòåðâàëà âîçìîæåí âûáîð ñèñòåìû îòñ÷åòà K ′, â êîòîðîé ïðîñòðàíñòâåííàÿ ÷àñòü èíòåðâàëà îáðàùàåòñÿ â íóëü. Îãðàíè÷èìñÿ äëÿ ïðîñòîòûðàññìîòðåíèåì ñîáûòèé, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò â òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ íà îñèOx.
Òîãäà äëÿ ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ â ñèñòåìàõ K è K ′ âðåìåíèïîäîáíûì èíòåðâàëîì, èìååì:c 2(Δt ′)2 = c 2Δt 2 − Δx 2 > 0.158(8.38)Èç óñëîâèÿ îáðàùåíèÿ â íóëü ïðîñòðàíñòâåííîé ÷àñòè èíòåðâàëà â ñèñòåìåîòñ÷åòà K ′ ìîæíî íàéòè ñêîðîñòü ýòîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû K. Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, ïîëó÷àåì:Δx ′ = γ(Δx − VΔt ) = 0.(8.39)Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü V ñèñòåìû îòñ÷åòà K ′ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Kñîñòàâëÿåò:V =Δx.Δt(8.40)Ïðè òàêîé ñêîðîñòè ñèñòåìû K ′ îáà ñîáûòèÿ ïðîèñõîäÿò â îäíîé è òîé æåòî÷êå ïðîñòðàíñòâà.
Ïîýòîìó èíòåðâàë âðåìåíè Δt ′ ìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìèìîæíî èçìåðèòü ïî îäíèì è òåì æå ÷àñàì. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò âðåìåííîéèíòåðâàë åñòü ïðîìåæóòîê ñîáñòâåííîãî âðåìåíè. Èç (8.38) âèäíî, ÷òî êâàäðàò âðåìåíèïîäîáíîãî èíòåðâàëà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ êâàäðàòà ñêîðîñòè ñâåòàc2 íà êâàäðàò ñîáñòâåííîãî âðåìåíè (Δt ′)2. Ïîýòîìó ïðîìåæóòîê ñîáñòâåííîãîâðåìåíè Δt ′ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ýòîò èíòåðâàë ñëåäóþùèì îáðàçîì:Δt ′ = ΔS /c.(8.41)Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðîìåæóòîê ñîáñòâåííîãî âðåìåíè, êàê ñëåäóåò èç(8.41), èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà.
Íàêîíåö, ïîêàæåì, ÷òî ïîðÿäîê ñîáûòèé,ñâÿçàííûõ âðåìåíèïîäîáíûì èíòåðâàëîì, ñîõðàíÿåòñÿ âî âñåõ ÈÑÎ.  ñàìîìäåëå, åñëè â ñèñòåìå K ñîáûòèå 1 ïðîèçîøëî ðàíüøå ñîáûòèÿ 2, òî, ñîãëàñíîïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà, â ñèñòåìå îòñ÷åòà K ′ ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäóïîñëåäíèì è ïåðâûì ñîáûòèÿìè áóäåò ðàâåí:Δt ′ = γ[Δt − (V/c 2) Δx].(8.42)Òàê êàê ïî óñëîâèþ Δt > 0, âðåìåííÿ ÷àñòü èíòåðâàëà cΔt âñåãäà áîëüøåïðîñòðàíñòâåííîé Δx è (V/c) < 1, òî Δt ′ > 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü. ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûõ èíòåðâàëîâ âîçìîæåí âûáîð ñèñòåìûîòñ÷åòà K ′, â êîòîðîé âðåìåííÿ ÷àñòü èíòåðâàëà îáðàùàåòñÿ â íóëü. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â ñèñòåìàõ K è K ′ äâà ñîáûòèÿ ñâÿçàíû ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì èíòåðâàëîì (îãðàíè÷èìñÿ, êàê è âûøå, ðàññìîòðåíèåì ñîáûòèé, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò â òî÷êàõ íà îñè Ox), òî ìîæåì çàïèñàòü:−(Δx′)2 = c2Δt 2 − Δx2 < 0.(8.43)Ñêîðîñòü V òàêîé ñèñòåìû îòñ÷åòà K ′ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâàíóëþ âðåìåííé ÷àñòè èíòåðâàëàVΔt ′ = γ ⎛⎜ Δt − 2 Δx ⎞⎟ = 0(8.44)c⎝⎠è ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîéV = c2Δt.Δx(8.45)Ïîñêîëüêó â ñèñòåìå îòñ÷åòà K ′ îáà ñîáûòèÿ ïðîèñõîäÿò îäíîâðåìåííî âäâóõ òî÷êàõ, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè Δl ′ = Δx ′ åñòü ñîáñòâåííàÿäëèíà, êîòîðóþ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç èíòåðâàë ñëåäóþùèì îáðàçîì:1592Δl ′ = − ( ΔS ′ ) .(8.46)Åñëè æå ñèñòåìà îòñ÷åòà K ′ äâèæåòñÿ ñîΔtñêîðîñòüþ V > c 2, òî, ñîãëàñíî (8.44),ΔxΔt ′ < 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáûòèå 2 íàñòóïàåòðàíüøå ñîáûòèÿ 1.  ýòîì íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî, ïîñêîëüêó ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííàÿ ñâÿçü ìåæäó ñîáûòèÿìè îòñóòñòâóåò.Ïðîñòðàíñòâî Ìèíêîâñêîãî. Ìíîãîîáðàçèå ïåðåìåííûõ x, y, z, ct, ñâÿçàííûõ èíòåðâàëîì (8.32), îáðàçóåò ïðîñòðàíñòâîÌèíêîâñêîãî. Ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûå îòíîøåíèÿ ìåæäó ñîáûòèÿìè â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà ýòè ñîáûòèÿ ïðîèñõîäÿò â ðàçÐèñ. 8.5ëè÷íûõ òî÷êàõ íà îñè Ox, óäîáíî àíàëèçèðîâàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì òàê íàçûâàåìîé ïëîñêîñòè Ìèíêîâñêîãî (ðèñ.
8.5). Äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè íà ýòîé ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûå x è ct. Ëþáîå ñîáûòèå, êîòîðîå ïðîèñõîäèò íà îñè Ox ñèñòåìû îòñ÷åòà K, îòîáðàæàåòñÿêàê òî÷êà íà ïëîñêîñòè Ìèíêîâñêîãî.Åñëè â íà÷àëå êîîðäèíàò â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïðîèçîøëà âñïûøêà ñâåòà,òî êîîðäèíàòû x âîëíîâîãî ôðîíòà îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèåì:x = ± ct.(8.47)Íà ïëîñêîñòè Ìèíêîâñêîãî çàêîí äâèæåíèÿ (8.47) îòîáðàæàåòñÿ äâóìÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ ìåæäó îñÿìè êîîðäèíàò (øòðèõîâûå ëèíèè).  ñëó÷àå äâóõïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò (x è y) âìåñòî ëèíèé ïîëó÷àåòñÿ êîíóñ, íàçûâàåìûé ñâåòîâûì. Äëÿ òðåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò òàêæå ââîäÿò ïîíÿòèå«ñâåòîâîãî êîíóñà», õîòÿ åãî è íåëüçÿ èçîáðàçèòü ãðàôè÷åñêè.
Äëÿ íàáëþäàòåëÿ, ðàñïîëîæåííîãî â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 â íà÷àëå êîîðäèíàò (çàìåòèì, ÷òîçà íà÷àëî êîîðäèíàò ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ òî÷êó îñè Ox), ýòîò ñâåòîâîé êîíóñ äåëèò ïðîñòðàíñòâî Ìèíêîâñêîãî íà òðè ÷àñòè. Îáëàñòü âíóòðè âåðõíåãîêîíóñà èìååò íàçâàíèå «áóäóùåå», à îáëàñòü âíóòðè íèæíåãî «ïðîøëîå».Îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ýòî «íåéòðàëüíàÿ» îáëàñòü. Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáûå ñîáûòèÿ, îòîáðàæàåìûå òî÷êàìè íà ïîâåðõíîñòè ñâåòîâîãî êîíóñà, ñâÿçàíû ñâåòîïîäîáíûìè èíòåðâàëàìè.Ñîáûòèÿ èç îáëàñòè «áóäóùåå» P2 èëè «ïðîøëîå» P1 ñâÿçàíû ñ «íóëåâûì»ñîáûòèåì â òî÷êå Î âðåìåíèïîäîáíûìè èíòåðâàëàìè. Ïðîèçâîëüíîå ñîáûòèåP1 èç îáëàñòè «ïðîøëîå» ïðîèçîøëî ðàíüøå «íóëåâîãî» è ìîæåò áûòü ïðè÷èíîé ïîñëåäíåãî, à ëþáîå ñîáûòèå P2 èç îáëàñòè «áóäóùåå» íàñòóïàåò ïîçæå«íóëåâîãî» è ïîýòîìó ìîæåò áûòü åãî ñëåäñòâèåì.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íàáëþäàòåëÿ â òî÷êå x = 0 âñå ñîáûòèÿ èç íèæíåãî êîíóñà ïðîèçîøëè â «ïðîøëîì»,à èç âåðõíåãî íàñòóïÿò â «áóäóùåì».Ëþáûå ñîáûòèÿ èç «íåéòðàëüíîé» îáëàñòè (òî÷êè D1 è D2 íà ðèñ. 8.5) ñâÿçàíû ñ ñîáûòèåì â òî÷êå Î ïîñòðàíñòâåííîïîäîáíûìè èíòåðâàëàìè. ßñíî, ÷òîìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìè è «íóëåâûì» íåâîçìîæíû ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûåîòíîøåíèÿ.160Êîîðäèíàòíàÿ îñü Ox è âñå âîçìîæíûå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå åé (íàïðèìåð, ëèíèÿ a1a2), ýòî òàê íàçûâàåìûå ëèíèè îäíîâðåìåííîñòè â ñèñòåìåîòñ÷åòà K (ðèñ. 8.6). Ëþáûå äâà ñîáûòèÿ, ïðèíàäëåæàùèå ýòèì ëèíèÿì (íàïðèìåð, ñîáûòèÿ M1 è M2 íà ïðÿìîéa1a2), îäíîâðåìåííû, ò. å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
