В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 30
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Îïûòû Ìàéêåëüñîíà äàëè îñíîâàíèåïðåäïîëàãàòü, ÷òî â ëþáîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñêîðîñòü ñâåòà ââàêóóìå îäèíàêîâà â ëþáûõ íàïðàâëåíèÿõ, ò.å. èçîòðîïíà. Îäíàêî îñòàâàëñÿåùå âîïðîñ, îäèíàêîâî ëè ÷èñëåííîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè ñâåòà ñ â ðàçëè÷íûõÈÑÎ. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ áûë äàí â 1932 ã. â îïûòàõ P. Êåííåäè è Å. Òîðíäàéêà, êîòîðûå èñïîëüçîâàëè èíòåðôåðîìåòð Ìàéêåëüñîíà ñ ðàçíîñòüþ äëèí ïëå÷l1 − l2 = 16 ñì. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ïîñòîÿíñòâà âñåõ ðàññòîÿíèé èíòåðôåðîìåòðìîíòèðîâàëñÿ íà êâàðöåâîé ïëèòå, òåìïåðàòóðà êîòîðîé ïîääåðæèâàëàñü ïîñòîÿííîé ñ ïîãðåøíîñòüþ 0,001 °Ñ. Äëÿ çåëåíîãî ñâåòà îò ðòóòíîé ëàìïû(äëèíà âîëíû λ = 546 íì) çàïàçäûâàíèå îäíîãî ïó÷êà îòíîñèòåëüíî äðóãîãîñîñòàâëÿëî N ïåðèîäîâ, ãäåN =2(l1 − l2 )= 5,86 ⋅ 105.λ(7.17)Îïûò ïðîäîëæàëñÿ â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ìåñÿöåâ.
Çà ïîëãîäà Çåìëÿ èçìåíÿåò íàïðàâëåíèå ñâîåãî äâèæåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Åñëè â äâóõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ íà÷àëó è êîíöó ýòîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè,èçìåíèëàñü áû ñêîðîñòü ñâåòà ñ, òî ÷èñëî N ñòàëî áû äðóãèì, òàê êàê λ = cT,ãäå Ò ïåðèîä ñâåòîâûõ êîëåáàíèé.  ýòîì ñëó÷àå ïðîèçîøëî áû ñìåùåíèåèíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû: íàïðèìåð, åñëè â îäíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà â öåíòðå êàðòèíû áûëà áû ÿðêàÿ ïîëîñà, òî ïðè èçìåíåíèè çàïàçäûâàíèÿ N íàïîëïåðèîäà â öåíòðå áûëà áû óæå òåìíàÿ ïîëîñà. Êåííåäè è Òîðíäàéê íå îáíàðóæèëè ñìåùåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ñ ïîãðåøíîñòüþ δN = 0,003ïåðèîäà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëåííîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè ñâåòà â ýòèõ äâóõñèñòåìàõ îòñ÷åòà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì ñ ïîãðåøíîñòüþ [ñì. (7.17)]δc =δNc = 2 ì/ñ.N(7.18)Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ ïðîòåêàþòîäèíàêîâî âî âñåõ ÈÑÎ.
Äðóãèå îïûòû ñ ýëåêòðîìàãíèòíûìè âîëíàìè òàêæå140ïîêàçàëè, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå ÿâëåíèÿ, êàê è ìåõàíè÷åñêèå, ïðîòåêàþòîäèíàêîâî âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà, ò. å. ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ýòè ÿâëåíèÿ.À. Ïóàíêàðå â 1904 ã. è À. Ýéíøòåéí â 1905 ã. ðàñïðîñòðàíèëè ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ íà âñå ÿâëåíèÿ ïðèðîäû: âñå çàêîíû ïðèðîäû âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà îäèíàêîâû. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèÿ, âûðàæàþùèå çàêîíû ôèçèêè,âî âñåõ ÈÑÎ äîëæíû èìåòü îäèí è òîò æå âèä.Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, óðàâíåíèÿ Íüþòîíà èíâàðèàíòíû, à óðàâíåíèÿÌàêñâåëëà íå èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ.
ßñíî, ÷òîíåîáõîäèìû äðóãèå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè, îòëè÷íûå îò ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ. È óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, è çàêîíû ìåõàíèêè äîëæíû áûòüèíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ýòèõ íîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Òàêèì îáðàçîì, ôóíäàìåíòàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè äîëæíû áûòü ïåðåñìîòðåíû.Ãèïîòåçà î ñîêðàùåíèè äëèí äâèæóùèõñÿ òåë. Ïåðåñìîòð ïðèâû÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè íà÷àëñÿ íå ñ ïîñëåäîâàòåëüíûõ, ÿñíûõ è÷åòêèõ óòâåðæäåíèé, à ñ ýêñòðàâàãàíòíûõ èäåé, ïðåäëîæåííûõ ñ åäèíñòâåííîé öåëüþ õîòü êàê-òî îáúÿñíèòü ðåçóëüòàòû îïûòîâ Ìàéêåëüñîíà Ìîðëè.Õ. Ëîðåíö è íåçàâèñèìî îò íåãî Äæ. Ôèòöäæåðàëüä ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ðàçìåðû âñåõ òåë â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî ýôèðà èñïûòûâàþò ñîêðàùåíèå â 1 1 − β2 ðàç. Åñëè äëèíà òåëà ðàâíà l0, òî ïðè äâèæåíèè îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî ýôèðà ñî ñêîðîñòüþ V äëèíà l ýòîãî òåëà âíàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ðàâíîél = l 0 1 − β2 .(7.19)Ñîãëàñíî ãèïîòåçå Ëîðåíöà, ñíà÷àëà ïëå÷î l1 èíòåðôåðîìåòðà Ìàéêåëüñîíà, êîòîðîå îðèåíòèðîâàíî âäîëü íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ Çåìëè, èñïûòûâàåòñîêðàùåíèå (7.19), è ðàçíîñòü õîäà (7.11) ñòàíîâèòñÿ ðàâíîéΔ1 =21 − β2(l1 − l2 ) .(7.20)Ïîñëå ïîâîðîòà èíòåðôåðîìåòðà íà 90° ñîêðàòèòñÿ óæå ïëå÷î l2, è ðàçíîñòüõîäà (7.12) ñîñòàâèò âåëè÷èíóΔ2 =21 − β2(l1 − l2 ) .(7.21)Òàêèì îáðàçîì, èç (7.20) è (7.21) âèäíî, ÷òî ñìåùåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû íå áóäåò, òàê êàê äî è ïîñëå ïîâîðîòà èíòåðôåðîìåòðà ðàçíîñòèõîäà Δ1 è Δ2 îäèíàêîâû.V,cíàïðèìåð, â ñëó÷àå äëèòåëüíûõ íàáëþäåíèé, òî èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà áóäåò ñìåùàòüñÿ è áåç ïîâîðîòà èíòåðôåðîìåòðà.
Äåéñòâèòåëüíî, ñêîðîñòüÎäíàêî èç ôîðìóëû (7.20) âèäíî, ÷òî åñëè èçìåíÿåòñÿ âåëè÷èíà β =141èíòåðôåðîìåòðà åñòü ñóììà îðáèòàëüíîé ñêîðîñòè VÇ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà,ñêîðîñòè Vâð, îáóñëîâëåííîé ñóòî÷íûì âðàùåíèåì òî÷êè çåìíîé ïîâåðõíîñòè, â êîòîðîé ðàñïîëîæåí èíòåðôåðîìåòð, ñêîðîñòè VÑ Ñîëíöà è ñêîðîñòèVã ãàëàêòèêè:V = VÇ + Vâð + VÑ + Vã.(7.22)Ñêîðîñòè VÑ è Vã â òå÷åíèå ëàáîðàòîðíîãî ýêñïåðèìåíòà îñòàþòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííûìè. Íàïîìíèì, ÷òî âðåìÿ îáðàùåíèÿ Ñîëíöà âîêðóã öåíòðàãàëàêòèêè ðàâíî ïðèìåðíî 250 ìëí ëåò.
Âîçìîæíûå èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè Vãîïðåäåëÿþòñÿ åùå áëüøèìè âðåìåííìè ìàñøòàáàìè. Ïîýòîìó íåîáõîäèìîó÷èòûâàòü òîëüêî èçìåíåíèÿ ñêîðîñòåé VÇ è Vâð. Èç (7.20) è (7.21) ÿñíî, ÷òî âñëó÷àå l1 = l2 íèêàêîãî ñìåùåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ íå áóäåò äàæå âñëó÷àå äëèòåëüíûõ íàáëþäåíèé. Èíîå äåëî, åñëè l1 è l2 íå ðàâíû äðóã äðóãó. ýòîì ñëó÷àå ïðè äëèòåëüíûõ íàáëþäåíèÿõ äîëæíî áûòü ñìåùåíèå ïîëîñ. Îäíàêî â äëèòåëüíûõ íàáëþäåíèÿõ Êåííåäè è Òîðíäàéêà, èñïîëüçîâàâøèõ èíòåðôåðîìåòð ñ íåðàâíûìè äëèíàìè ïëå÷, íèêàêîãî ñìåùåíèÿ ïîëîñ îáíàðóæåíî íå áûëî. Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ãèïîòåçû Ëîðåíöà íàáëþäàåìóþíåïîäâèæíîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû îáúÿñíèòü íå óäàëîñü. Íóæíû áûëèíîâûå èäåè.Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà.
Ëîðåíö ïîïûòàëñÿ íàéòè òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿêîîðäèíàò è âðåìåíè, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà îñòàâàëèñüáû èíâàðèàíòíûìè ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ. Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿáûëè ïîëó÷åíû èì â 1904 ã. Ëîðåíö óñòàíîâèë, ÷òî ïðè ïåðåõîäå â ñèñòåìóîòñ÷åòà Ê ′, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Ê ñî ñêîðîñòüþ V â íàïðàâëåíèè îñè Îõ (äðóãèå îñè ñîíàïðàâëåíû) (ðèñ. 7.5), êîîðäèíàòû è âðåìÿ êàêîãîëèáî ñîáûòèÿ èçìåíÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:x ′ = γ(x − Vt );y ′ = y;z ′ = z;(7.23)Vt ′ = γ ⎛⎜ t − 2 x ⎞⎟ ,c ⎠⎝Ðèñ. 7.5142ãäå γ = 1 1 − β2 .
Ïîçäíåå â 1905 ã. À. Ïóàíêàðå íàçâàë ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ëîðåíöåâñêèìè è ïîêàçàë èõ ôóíäàìåíòàëüíûéõàðàêòåð. Çàòåì Ýéíøòåéí â 1905 ã. ïîëó÷èë èõ íà îñíîâå ïîñòóëàòà î ïîñòîÿíñòâåñêîðîñòè ñâåòà è ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè.Ïîëó÷èì ïðåîáðàçîâàíèÿ (7.23), èñïîëüçóÿ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè, ïîñòóëàò Ýéíøòåéíà î ïîñòîÿíñòâå ñêîðîñòèñâåòà è ó÷èòûâàÿ îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.Óñòàíîâèì â êàæäîé èç ñèñòåì îòñ÷åòà, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 7.5, äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî îäèíàêîâûõ ñèíõðîíèçîâàííûõ ÷àñîâ ñ òåì, ÷òîáû â êàæäîéòî÷êå ïðîñòðàíñòâà, ãäå ïðîèñõîäèò íåêîòîðîå ñîáûòèå, îêàçàëèñü áû ÷àñû,ñâÿçàííûå ñ K è K ′ è ôèêñèðóþùèå âðåìåíà t è t ′ íàñòóïëåíèÿ ýòîãî ñîáûòèÿ.Îñîáî îòìåòèì, ÷òî âðåìÿ t ′ ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò t.Ïóñòü â íà÷àëå êîîðäèíàò äâóõ ñèñòåì â ìîìåíò âðåìåíè t = t ′ = 0, êîãäà ýòèíà÷àëà ñîâïàäàëè, ïðîèçîøëà âñïûøêà ñâåòà. Èç ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè èïîñòóëàòà î ïîñòîÿíñòâå ñêîðîñòè ñâåòà ñëåäóåò, ÷òî â îáåèõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòàôðîíò ñâåòîâîé âîëíû ñôåðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü.
Óðàâíåíèÿ ýòîé ïîâåðõíîñòè â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå Ê è äâèæóùåéñÿ ñèñòåìå K ′ èìåþò âèäâ ñèñòåìå Êx 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 = 0;(7.24)x′2 + y′2 + z′2 − c2t ′2 = 0.(7.25)â ñèñòåìå Ê ′Èñêîìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äîëæíû ñîîòâåòñòâîâàòü ýòèì óðàâíåíèÿì. Íàïðèìåð, åñëè çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò x ′, y ′, z ′ è âðåìåíè t ′ âûðàçèòü ÷åðåç x, y, z, t èïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå (7.25), òî ïîñëåäíåå äîëæíî ïåðåéòè â (7.24). Îòìåòèì,÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ íå óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó òðåáîâàíèþ.  ñàìîì äåëå,ïîäñòàíîâêà ïðåîáðàçîâàíèé x ′ = x − Vt, y ′ = y, z ′ = z, t ′ = t â (7.25) ïðèâîäèò êñîîòíîøåíèþ:x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 − 2V (xt) + V 2t 2 = 0.(7.26)Äâà ïîñëåäíèõ ñëàãàåìûõ â (7.26) «ëèøíèå».
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ íåîáõîäèìî èçìåíèòü. Ïðè ýòîì ïðèíöèïèàëüíî âàæíî îòêàçàòüñÿ îò ïðåîáðàçîâàíèÿ t ′ = t è ââåñòè çàâèñèìîñòü t ′ íå òîëüêî îò âðåìåíè t,íî è îò êîîðäèíàòû õ. Òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ïîÿâÿòñÿ äîáàâî÷íûå ÷ëåíû, êîòîðûå ñîêðàòÿòñÿ ñ «ëèøíèìè».Âíà÷àëå ðàññìîòðèì âîçìîæíóþ çàâèñèìîñòü êîîðäèíàòû x ′ îò x, y, z, t. ñèëó îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ïðîñòðàíñòâà è îäíîðîäíîñòè âðåìåíè âñàìîì îáùåì ñëó÷àå ýòà çàâèñèìîñòü äîëæíà áûòü ëèíåéíîé:x ′ = a0 + a1x + a2y + a3z + a4t,(7.27)ãäå a0, a1, a2, a3, a4 íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.Äëÿ îñòàëüíûõ êîîðäèíàò è âðåìåíè çàâèñèìîñòè àíàëîãè÷íû, íî, êîíå÷íî, ñ äðóãèìè ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
 ñèëó íà÷àëüíûõ óñëîâèé (ñîâïàäåíèå íà÷àë êîîðäèíàò â ìîìåíò âðåìåíè t = t ′ = 0) ñâîáîäíûé ÷ëåí à0 = 0.Êîýôôèöèåíòû ïðè ïåðåìåííûõ y è z òàêæå äîëæíû áûòü ðàâíû íóëþ: a2 = 0,a3 = 0.  ñàìîì äåëå, ïðè ñäâèãå íà÷àëà êîîðäèíàò ñèñòåìû K â ïëîñêîñòè Oy ′z ′êîîðäèíàòû y è z êàêîãî-ëèáî ñîáûòèÿ èçìåíÿòñÿ, à êîîðäèíàòû x ′ è x îñòàíóòñÿ ïðåæíèìè.
Ïîýòîìó a2 = a3 = 0.  ýòîì ñëó÷àå (7.27) ìîæíî ïðèâåñòè êâèäó, ïîõîæåìó íà ïðåîáðàçîâàíèå Ãàëèëåÿ.Ïóñòü íåêîòîðîå ñîáûòèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà Ê ôðîíò ñâåòîâîé âîëíû çà âðåìÿ t äîñòèã íåêîòîðîé òî÷êè M ñ êîîðäèíàòîé õM (ðèñ. 7.6).  ñèñòåìå îòñ÷åòà Ê ′ êîîðäèíàòà ýòîãî æå ñîáûòèÿ áóäåò ðàâíàõM′ . Î÷åâèäíî, ÷òî â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå K íà÷àëî îòñ÷åòà ñèñòåìû Ê ′ çà143Ðèñ. 7.6Ðèñ. 7.7âðåìÿ t ïåðåìåñòèëîñü íà ðàññòîÿíèå ÎÎ ′ = Vt. Ïîýòîìó â ñèñòåìå K ðàññìàòðèâàåìîå ñîáûòèå ïðîèçîéäåò íà ðàññòîÿíèè (õM − Vt ) îò òî÷êè O ′. Âåëè÷èíû õ ′Mè (õM − Vt ) îòíîñÿòñÿ ê ðàçíûì ñèñòåìàì îòñ÷åòà (Ê ′ è K ñîîòâåòñòâåííî), è èõ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ìîãóò îòëè÷àòüñÿ, ÷òî íå ïðèíèìàëîñü âî âíèìàíèå ïðèâûâîäå ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ.  ñèëó ëèíåéíîñòè (7.27) ñîïîñòàâèòü ýòè âåëè÷èíû ìîæíî åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì, èñïîëüçóÿ íåêîòîðûé ìàñøòàáíûéìíîæèòåëü γ:x ′ = γ(x − Vt ).(7.28)Òàêèì îáðàçîì, â (7.27) îòëè÷íûå îò íóëÿ êîýôôèöèåíòû ðàâíû a1 = γ èa4 = −γV.
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