В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Îòêëîíåíèå ê âîñòîêó îáóñëîâëåíî ñèëîéÐèñ. 6.15Êîðèîëèñà, ñâÿçàííîé ñ íàëè÷èåì âåðòèêàëüíîéñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè. Ýòî îòêëîíåíèå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì:r(6.47)maãîð = 2mvâåðò × ω.Ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Lâåðò = gt. Òîãäààãîð = 2gωt.(6.48)Óðàâíåíèå (6.48) íåòðóäíî ïðîèíòåãðèðîâàòü. Ïåðâûé èíòåãðàë ýòî ãîðèçîíòàëüíàÿ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè:tL ãîð = ∫ aãîðdt = g ωt 2 ,0(6.49)à âòîðîé èíòåãðàë îïðåäåëÿåò èñêîìîå îòêëîíåíèå ê âîñòîêó:τl0 = ∫ L ãîðdt =01g ωτ3 .3(6.50)Åñëè â (6.50) ïîäñòàâèòü âðåìÿ ïàäåíèÿ τ, âûðàæåííîå ÷åðåç âûñîòó h, òîîêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì32l0 =⎛ 2h ⎞1gω⎜ ⎟3⎝ g ⎠=22hωh.g3(6.51)×èñëåííàÿ îöåíêà äëÿ h = 100 ì äàåò l0 ≈ 2,2 ñì.
Ìàëîå çíà÷åíèå l0 îïðàâäûâàåòïðèìåíåíèå ïðèáëèæåííîãî ìåòîäà.Ýòó æå çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü â ÈÑÎ, ñâÿçàííîé ñ íåïîäâèæíûìè çâåçäàìè. ñâîå âðåìÿ Íüþòîí ïðåäëîæèë Ãóêó íàéòè îòêëîíåíèå ïàäàþùèõ òåë ê âîñòîêó èç îïûòà è òåì ñàìûì ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðäèòü âðàùåíèå Çåìëè.Îí èñõîäèë èç ïðîñòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ îá èçáûòêå ëèíåéíîé ñêîðîñòè Lêàìíÿ, íàõîäÿùåãîñÿ íà âûñîòå h, ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ L0 òî÷êè çåìíîé ïîâåðõíîñòè.
Äëÿ ïàäåíèÿ íà ýêâàòîðå ìîæíî çàïèñàòü (ðèñ. 6.16):ΔL = L − L0 = ω(RÇ + h) − ωRÇ = ωh,122(6.52)Ðèñ. 6.16Ðèñ. 6.17ãäå RÇ ðàäèóñ Çåìëè. Òàê êàê âðåìÿ ïàäåíèÿ êàìíÿ ñ âûñîòû h ðàâíî τ = 2h g ,òî äëÿ îòêëîíåíèÿ ê âîñòîêó Íüþòîí ïîëó÷èël = ΔL ⋅ τ = ωh 2h g .(6.53) îòâåò íà ïðåäëîæåíèå Íüþòîíà Ãóê ïðîâåë ñîîòâåòñòâóþùèå îïûòû. Îíáðîñàë êàìíè ñ âûñîòû 9 ì è èçìåðÿë èõ îòêëîíåíèå îò âåðòèêàëè, îäíàêîìàëàÿ âûñîòà ïàäåíèÿ è íåâûñîêàÿ òî÷íîñòü ýêñïåðèìåíòà íå ïîçâîëèëè åìóñäåëàòü ïðàâèëüíûé âûâîä.  ñâîåì îòâåòå Íüþòîíó Ãóê çàìåòèë, ÷òî êàìåíüäîëæåí îòêëîíÿòüñÿ ê âîñòîêó â ìåíüøåé ñòåïåíè, ïîñêîëüêó âî âðåìÿ ïàäåíèÿ ïîÿâëÿåòñÿ ñîñòàâëÿþùàÿ àÇ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ íà çàïàä (ðèñ.
6.17). Íà ýòîì ðèñóíêå øòðèõîâîé ëèíèåé ïîêàçàíà òðàåêòîðèÿ òåëà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàññóæäåíèÿì Íüþòîíà. Åñëè ïðåíåáðå÷ü íåçíà÷èòåëüíûì èçìåíåíèåì g ñ âûñîòîé, òî ýòà òðàåêòîðèÿ îáû÷íàÿ ïàðàáîëà.Èñòèííàÿ òðàåêòîðèÿ òåëà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàññóæäåíèÿì Ãóêà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü ýëëèïñà, â îäíîì èç ôîêóñîâ êîòîðîãî íàõîäèòñÿ öåíòð Çåìëè.Ýòà òðàåêòîðèÿ èçîáðàæåíà ñïëîøíîé ëèíèåé.Îïðåäåëèì óìåíüøåíèå Δl îòêëîíåíèÿ òåëà ê âîñòîêó, ó÷èòûâàÿ èçìåíåíèåg ïî íàïðàâëåíèþ è ïî-ïðåæíåìó ïðåíåáðåãàÿ åãî èçìåíåíèåì ïî âåëè÷èíå.
Íàýêâàòîðå ïðè ïåðåìåùåíèè âåðòèêàëè èç ïîëîæåíèÿ ÎÌ â Î ′Ì ′ (ðèñ. 6.17, à)ñîñòàâëÿþùàÿ àÇ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ íà çàïàä, ðàâíàaÇ ≈ gα ≈ gωt(6.54)(ðèñ. 6.17, á ). Çäåñü ω óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Çåìëè. Ýòà ïðîåêöèÿ, êàêóêàçûâàë Ãóê, ïîÿâëÿåòñÿ âñëåäñòâèå íåñîâïàäåíèÿ íàïðàâëåíèé ê öåíòðó Çåìëèâ òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè (ëèíèÿ Î ′Ì ′) è íà÷àëüíûé ìîìåíò (ëèíèÿ ÎÌ).Ñ óñêîðåíèåì (6.54) ñâÿçàíû ñêîðîñòütt00LÇ (t ) = ∫ aÇdt = ∫ g ωtdt = 1 g ωt 22(6.55)123è óìåíüøåíèå îòêëîíåíèÿ íà âîñòîê, ðàâíîåττ11g ωt 2dt = g ωτ3 .260Δl = ∫ LÇdt = ∫0Åñëè äëÿ âðåìåíè ïàäåíèÿ êàìíÿ èñïîëüçîâàòü îöåíêó τ =ëè÷èíû Δl ïîëó÷èìΔl =12hωh.g3(6.56)2h, òî äëÿ âåg(6.57)Åñëè èç îöåíêè Íüþòîíà (6.53) âû÷åñòü ïîïðàâêó (6.57), òî ïîëó÷èì îòâåòl 0 = l − Δl =22hωh.g3(6.58)Ïîíÿòèå âåðòèêàëè.
Îáû÷íî ïîä âåðòèêàëüþ ïîíèìàþò íàïðàâëåíèå íèòèîòâåñà.  ìîäåëè ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé Çåìëè íà øèðîòå ϕ íà òåëî îòâåñàâ òî÷êå Ð, êðîìå ñèëû òÿæåñòè mg, áóäåò äåéñòâîâàòü öåíòðîáåæíàÿ ñèëà èíåðöèè Föá = mω2R Ç cos ϕ, íàïðàâëåííàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè âðàùåíèÿ Çåìëè(ðèñ. 6.18). Çäåñü ω óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ, à RÇ ðàäèóñ Çåìëè. Ðåçóëüòèðóþùàÿ ýòèõ äâóõ ñèë mgϕ íåñêîëüêî ìåíüøå ñèëû mg è ñîñòàâëÿåò ñ íåéíåáîëüøîé óãîë δ. Òàêèì îáðàçîì, âðàùåíèå Çåìëè ïðèâîäèò ê íåáîëüøîìóóìåíüøåíèþ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ è íîâîìó ïîëîæåíèþ âåðòèêàëè. ðåçóëüòàòå ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå âåñà òåëà íà îòíîñèòåëüíóþ âåëè÷èíóΔ=g − gϕ.g(6.59)Ìàêñèìàëüíîå óìåíüøåíèå âåñà íàáëþäàåòñÿ íà ýêâàòîðå, ãäå îòíîñèòåëüíàÿ âåëè÷èíà ýòîãî óìåíüøåíèÿ äîñòèãàåò çíà÷åíèÿΔ=ω2 RÇ≈ 3, 4 ⋅ 10 −3 ,g(6.60)ò. å.
îêîëî 0,3 %.Îòêëîíåíèå íèòè îòâåñà îò íàïðàâëåíèÿ ê öåíòðó Çåìëè îïðåäåëÿåòñÿ óãëîì δ, ïðè ýòîìtg δ =Fþ.mg − FOP(6.61)Çäåñü FÎÐ âåðòèêàëüíàÿ, à Fþ ãîðèçîíòàëüíàÿ (íàïðàâëåííàÿ íà þã)ñîñòàâëÿþùèå öåíòðîáåæíîé ñèëû èíåðöèè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî FÎÐ = mg è Fþ =mg, ìîæíî çàïèñàòüδ≈Fþω2 RÇ sin 2ϕ=.mg2g(6.62)Èç (6.62) ñëåäóåò, ÷òî íà ïîëþñàõ è ýêâàòîðå δ = 0. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèåóãëà δ äîñòèãàåòñÿ íà øèðîòå ϕ = 45°.  ýòîì ñëó÷àå δmax ≈ 5,8′.124Ðèñ. 6.18Ðèñ. 6.19Íà ñàìîì äåëå îïðåäåëåíèå âåðòèêàëè íåñêîëüêî ñëîæíåå, ïîñêîëüêó ôàêòè÷åñêè ôèãóðà Çåìëè ãåîèä, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî õîðîøî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ.
 Ðîññèè â êà÷åñòâå ôèãóðû Çåìëèïðèíÿò ýëëèïñîèä Ô. Í. Êðàñîâñêîãî, ó êîòîðîãî ïîëÿðíûé ðàäèóñ íà 21,4 êììåíüøå ýêâàòîðèàëüíîãî.  ýòîì ñëó÷àå âîçìîæíû òðè îïðåäåëåíèÿ âåðòèêàëè(ðèñ. 6.19).Âî-ïåðâûõ, çà âåðòèêàëü ìîæíî ïðèíÿòü íàïðàâëåíèå ÎÐ ê öåíòðó ýëëèïñîèäà. Âî-âòîðûõ, âåðòèêàëüþ ìîæíî ñ÷èòàòü íîðìàëü Î2Ð ê ïîâåðõíîñòè ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ. Íàêîíåö, èñòèííîé âåðòèêàëüþ íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåíèåëèíèè îòâåñà Î3Ð. Îòêëîíåíèå Î2Ð îò Î3Ð ïîðÿäêà 3′′ è, êàê ïðàâèëî, âîâíèìàíèå íå ïðèíèìàåòñÿ.
Íà ïîëþñàõ è ýêâàòîðå âñå ýòè òðè íàïðàâëåíèÿñîâïàäàþò. Íà ñðåäíèõ øèðîòàõ ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå óãëà ÎÐÎ3 äîñòèãàåòïðèáëèçèòåëüíî 12′, ÷òî ïðèìåðíî â äâà ðàçà áîëüøå óãëà δ, îïðåäåëåííîãîâûøå äëÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé Çåìëè. Óâåëè÷åíèå îòêëîíåíèÿ ìîæíîîáúÿñíèòü òåì, ÷òî áëèæàéøèé ê òî÷êå Ð ñëîé Çåìëè, âûäåëåííûé íà ðèñ. 6.19òåìíûì öâåòîì, ïðèòÿãèâàåò òåëà â ýòîé òî÷êå çíà÷èòåëüíî ñèëüíåå, ÷åì îòäàëåííûé.Îöåíêà íåñôåðè÷íîñòè Çåìëè.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåùåñòâî Çåìëè íàõîäèòñÿ â ãèäðîñòàòè÷åñêîì ðàâíîâåñèè ïîä äåéñòâèåì ñèë ïðèòÿæåíèÿ è öåíòðîáåæíûõ ñèë èíåðöèè.  ýòîì ñëó÷àå äàâëåíèÿ îò ïîëÿðíîãî è ýêâàòîðèàëüíîãîñòîëáîâ âåùåñòâà â öåíòðå Çåìëè äîëæíû áûòü ðàâíû (ðèñ. 6.20):ðï = ðý.(6.63)Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàññ÷èòàòü ðï, íåîáõîäèìî ó÷åñòüèçìåíåíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ a(r)â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ r äî öåíòðà Çåìëè:a(r ) = gr,RÇ(6.64)ãäå g = 4 πρ0 RÇG óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïà3äåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Çäåñü ρ0 è RÇ ñðåäíèå ïëîòíîñòü è ðàäèóñ Çåìëè, G ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ.Ðèñ. 6.20125Äàâëåíèå â îñíîâàíèè ñòîëáà çåìíîé ïîðîäû, îðèåíòèðîâàííîãî íà ïîëþñ, ðàâíîpï =Rï∫ρ0a(r )dr =Rï0r∫ ρ0 g RÇ dr=0R21ρ0 g ï .2RÇ(6.65)Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ â îñíîâàíèè ñòîëáà, îðèåíòèðîâàííîãî íà ýêâàòîð, íåîáõîäèìî ó÷åñòü åùå è öåíòðîáåæíûå ñèëû èíåðöèè:pý =Rý∫ ⎡⎣ρ0a(r ) − ρ0 ω2r ⎤⎦ dr0=⎞1 ⎛ gρ0 ⎜− ω2 ⎟ Rý2 .2 ⎝ RÇ⎠(6.66)Ó÷èòûâàÿ (6.63), ïîëó÷èìR⎛⎞Rï2 = ⎜1 − Ç ω2 ⎟ Rý2 ,g⎝⎠(6.67)RïR3 ω2= 1 − Ç ω2 = 1 −.4 πG ρ0Rýg(6.68)îòêóäàÏðåäñòàâëÿÿ Rï êàê Rý − ΔR è ó÷èòûâàÿ, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå ïîä êîðíåììàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé, äëÿ ΔR áóäåì èìåòü3 ω2R ≈ 11 êì,(6.69)8 πG ρ0 ýãäå äëÿ ñðåäíåé ïëîòíîñòè ïðèíÿòî çíà÷åíèå ρ0 = 5,5 ⋅ 103 êã/ì3.Îöåíêà (6.69) ïðèìåðíî â äâà ðàçà ìåíüøå ôàêòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ΔR.
Ðàçëè÷èå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè ðàñ÷åòàõ íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü ìîäåëü îäíîðîäíîéÇåìëè. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íàèáîëüøèé âêëàä â äàâëåíèå âíîñÿò âíåøíèåñëîè, ïëîòíîñòü êîòîðûõ ïðèìåðíî â äâà ðàçà ìåíüøå ñðåäíåé. Åñëè èñïîëüçîâàòü â ôîðìóëå (6.69) ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíûõ ñëîåâ Çåìëè, ρ ≈ 0,5ρ0, òîïîëó÷èì ΔR ≈ 20 êì, ÷òî óæå õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñî çíà÷åíèåì ΔR äëÿ ýëëèïñîèäà Êðàñîâñêîãî. Äëÿ áîëåå òî÷íîãî ðàñ÷åòà íåîáõîäèìî ó÷åñòü ôàêòè÷åñêîåèçìåíåíèå ïëîòíîñòè ρ ñ ãëóáèíîé.Âèäèìîå ñóòî÷íîå äâèæåíèå Ñîëíöà.
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (6.46),ìîæíî îïèñàòü è âèäèìîå ñóòî÷íîå äâèæåíèå Ñîëíöà, óïîìÿíóòîå â íà÷àëåëåêöèè. Ïóòåì ïðÿìûõ âû÷èñëåíèé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñèëà òÿãîòåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà Ñîëíöåñî ñòîðîíû Çåìëè, íà ìíîãî ïîðÿäêîâ ìåíüøåäåéñòâóþùåé íà íåãî öåíòðîáåæíîé Föá è êîðèîëèñîâîé Fêîð ñèë èíåðöèè.  ñâÿçè ñ ýòèì ñèëóòÿãîòåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå ìîæíî âî âíèìàíèåíå ïðèíèìàòü (ðèñ. 6.21).
Îòíîñèòåëüíàÿ (âèäèìàÿ)ñêîðîñòü Ñîëíöà ðàâíàrvîòí = − ω × R,(6.70)rãäå ω âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè Çåìëè; R ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ñîëíöà.Ðèñ. 6.21ΔR = Rý − Rï ≈126Ñèëà èíåðöèè Êîðèîëèñà íàïðàâëåíà ê Çåìëå è ðàâíàFêîð = 2MLîòíω,(6.71)à öåíòðîáåæíàÿ ñèëà èíåðöèè íàïðàâëåíà îò Çåìëè è ðàâíàFöá = Mω2R,(6.72)ãäå Ì ìàññà Ñîëíöà.Ðåçóëüòèðóþùàÿ ýòèõ äâóõ ñèë èíåðöèè, öåíòðîáåæíîé è Êîðèîëèñà, íàïðàâëåíà ê Çåìëå è ðàâíàF = Mω2R.(6.73) ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé, åå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê öåíòðîñòðåìèòåëüíóþ ñèëó, îáåñïå÷èâàþùóþ âèäèìîå ñóòî÷íîå äâèæåíèå Ñîëíöàïî âîîáðàæàåìîé îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì R. Î÷åâèäíî, òå æå ñàìûå ðàññóæäåíèÿ ïðèìåíèìû è ê âèäèìîìó ñóòî÷íîìó äâèæåíèþ çâåçä.Íåêîòîðûé ôîðìàëèçì òàêîãî ïîäõîäà ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, åñëè îöåíèòü îòíîñèòåëüíûå ñêîðîñòè Lîòí. Åñëè äëÿ Ñîëíöà Lîòí ≈ (1/30)c, ãäå ñ ñêîðîñòü ñâåòà, òî â ñëó÷àå çâåçä Lîòí > ñ.
Íàïðèìåð, äëÿ çâåçäû Âåãà, êàê áûëîîòìå÷åíî ðàíåå, Lîòí ∼ 6 ⋅ 104c ! ßñíî, ÷òî ðåàëüíûå äâèæåíèÿ òåë ñî ñâåðõñâåòîâûìè ñêîðîñòÿìè íåâîçìîæíû.  ÍÈÑÎ ýòè äâèæåíèÿ ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïðîèñõîäÿùèå ïîä äåéñòâèåì ðàâíîäåéñòâóþùèõ ñèë èíåðöèè, êîðèîëèñîâîé è öåíòðîáåæíîé. Ôèêòèâíîñòü, óñëîâíîñòü ñèë èíåðöèè â äàííîì ñëó÷àåîñîáåííî íàãëÿäíà. Âìåñòå ñ òåì î÷åâèäíà íåîáõîäèìîñòü ïðèâëå÷åíèÿ ýòèõñèë äëÿ îáúÿñíåíèÿ âèäèìîãî ñóòî÷íîãî äâèæåíèÿ íåáåñíûõ òåë â ñèñòåìåîòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ âðàùàþùåéñÿ Çåìëåé.Äâèæåíèÿ ìàññ âîçäóõà â àòìîñôåðå è îêåàíñêèå òå÷åíèÿ. Ñëåäóåò îòìåòèòü,÷òî íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè ñóùåñòâóþò öåëûå ðàéîíû, äëÿ êîòîðûõ â ïðèçåìíîì ñëîå àòìîñôåðû õàðàêòåðíû òå èëè èíûå ãîñïîäñòâóþùèå íàïðàâëåíèÿâåòðîâ.
Íàïðèìåð, â Ñåâåðíîì ïîëóøàðèè â îáëàñòè ñðåäíèõ øèðîò 30° 60°ìàññû âîçäóõà äâèæóòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî íà ñåâåð. Ñèëû èíåðöèè Êîðèîëèñàîòêëîíÿþò ýòè ìàññû ê âîñòîêó, ïîýòîìó â ýòîé îáëàñòè ãîñïîäñòâóþò çàïàäíûå âåòðû (ðèñ. 6.22). Ïîòîêè âîçäóõà îò øèðîò ϕ ≈ 30° â íàïðàâëåíèè íà þãîòêëîíÿþòñÿ ñèëîé èíåðöèè Êîðèîëèñà ê çàïàäó, ïîýòîìó â îáëàñòè þæíûõ øèðîò Ñåâåðíîãî ïîëóøàðèÿ ïðåîáëàäàþò òàê íàçûâàåìûå ñåâåðî-âîñòî÷íûå ïàññàòû.  ñàìûõ âûñîêèõ øèðîòàõ ïðåîáëàäàþò âîñòî÷íûå âåòðû.Ñîîòâåòñòâóþùèå ïîòîêè âîçäóõà èìåþòñÿ è â Þæíîì ïîëóøàðèè (ðèñ. 6.22). áîëåå âûñîêèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû ãîñïîäñòâóþò âåòðû äðóãèõ íàïðàâëåíèé.Ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ïîãîäóîêàçûâàþò öèêëîíû è àíòèöèêëîíû. ñëó÷àå öèêëîíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ âîçäóõ èç îáëàñòè âûñîêîãî äàâëåíèÿ âòåêàåò â îáëàñòü ïîíèæåííîãî äàâëåíèÿ.Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
