В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ïîëå ñèë, êîòîðîå ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ôóí∂U∂U∂U, Fy = −, Fz = −, îáû÷íî íàçûâàêöèè U (x, y, z, t ) òàêîé, ÷òî F x = −∂x∂y∂zþò ïîòåíöèàëüíûì. Åñëè ôóíêöèÿ U çàâèñèò îò âðåìåíè, òî ïîëå áóäåò íåñòàöèîíàðíûì ñèëà â êàæäîé òî÷êå áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåíè t.  ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîãî ïîëÿ U = U (x, y, z). ßñíî, ÷òî ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöó âñòàöèîíàðíîì ïîòåíöèàëüíîì ïîëå, ÿâëÿþòñÿ êîíñåðâàòèâíûìè.Åñëè ïîòåíöèàëüíîå ïîëå ñòàöèîíàðíî, òî ïðèðàùåíèå ôóíêöèè U ðàâíîdU =∂U∂U∂Udx +dy +d z.∂x∂y∂z(5.37)Ïîñêîëüêó U ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî êîîðäèíàò, òî dU íå ìîæåò çàâèñåòü îò ôîðìû ïóòè, ïî êîòîðîìó ïðîèñõîäèò ïåðåõîä îò òî÷êè ïðîñòðàíñòâà ñêîîðäèíàòàìè x, y, z ê ñîñåäíåé òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè x + dx, y + dy, z + dz.Òàêîå ïðèðàùåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì, è åãî ìîæíî îòîæäåñòâëÿòü ñ ïðèðàùåíèåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â ñèëîâîì ïîëå.Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû. Ñîãëàñíî (5.7), ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû ðàâíî ðàáîòå âñåõ äåéñòâóþùèõ íà íåå ñèë.
Åñëè ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîì ïîëå êîíñåðâàòèâíûõñèë, òî íà íåå äåéñòâóåò ñèëà F ñî ñòîðîíû ýòîãîïîëÿ. Äðóãèå ñèëû (êîíñåðâàòèâíûå èëè íåêîíñåðâàòèâíûå), íå èìåþùèå îòíîøåíèÿ ê äàííîìó ïîëþ,íàçîâåì ñòîðîííèìè Fñòîð.Äëÿ ïîëíîé ðàáîòû âñåõ ñèë ïîëó÷èìAïîëí = A + Añòîð,(5.38)ãäå A ðàáîòà ñèë ðàññìàòðèâàåìîãî ïîëÿ; Añòîð ðàáîòà âñåõ ñòîðîííèõ ñèë.Ïîñêîëüêó A = U1 − U2, òî äëÿ ïðèðàùåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû áóäåì èìåòüT2 − T1 = U1 − U2 + Añòîð.(5.39)Ðèñ. 5.1195Ïåðåïèøåì (5.39) â âèäå(T2 + U2) − (T1 + U1) = Añòîð.(5.40)Ñóììó êèíåòè÷åñêîé Ò è ïîòåíöèàëüíîé U ýíåðãèé íàçûâàþò ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèåé ÷àñòèöû â ïîëå:E = T + U.(5.41)Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü:E2 − E1 = Añòîð,(5.42)ò.
å. ïðèðàùåíèå ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû ðàâíî ðàáîòå âñåõ ñòîðîííèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöó.Åñëè Añòîð = 0, òîE = T + U = const.(5.43)Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ñòîðîííèå ñèëû íå ñîâåðøàþò ðàáîòû èëè îòñóòñòâóþò, òî ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â ïîëå êîíñåðâàòèâíûõ ñèë îñòàåòñÿ íåèçìåííîé (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû).Äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ñèëîâîì ïîëå.  ëåêöèè 4 óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíûõ ñèë åñòü ïëîñêàÿ êðèâàÿ. Ýòî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíîãî ñèëîâîãî öåíòðà:L = r × p = const.(5.44)Ïîñêîëüêó âåêòîðû L è r âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, ïîñòîÿíñòâî L îçíà÷àåò, ÷òî ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû åå ðàäèóñ-âåêòîð r âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ â îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè.Ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè ÷àñòèöû â öåíòðàëüíîì ïîëå ïðîùåâñåãî ïîëó÷èòü, èñõîäÿ èç çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ìîìåíòà èìïóëüñà,çàïèñàííûõ â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ íà ïëîñêîñòè (ñì.
ëåêöèþ 2):E =m 2(r& + r 2ϕ& 2 ) + U (r ) = const;2(5.45)(5.46)L = mr 2 ϕ& = const ...Âûðàæàÿ ϕ èç (5.46) è ïîäñòàâëÿÿ â (5.45), íàéäåì çíà÷åíèå r :r& =dr=dtL22[E − U (r )] − 2 2 .mm r(5.47)Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå r è t è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èìt =∫drL22[E − U (r )] − 2 2mm r+ const .(5.48)Ôîðìóëà (5.48) â íåÿâíîì âèäå îïðåäåëÿåò çàêîí äâèæåíèÿ çàâèñèìîñòüîò âðåìåíè ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó ñèëîâûì öåíòðîì è äâèæóùåéñÿ ÷àñòèöåé.96Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè r = r (ϕ), çàïèøåì (5.46) ââèäådϕ =Ldt ,mr 2(5.49)ïîäñòàâèì ñþäà dt èç (5.47) è ïðîèíòåãðèðóåì.
 èòîãå áóäåì èìåòüϕ=∫Ldrr2L22m [E − U (r )] − 2r+ const .(5.50) îáùåì âèäå çàäà÷à ðåøåíà.Îòìåòèì íåêîòîðûå îñîáåííîñòè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â öåíòðàëüíîì ñèëîâîì ïîëå..1. Èç (5.46) âèäíî, ÷òî ϕ íèêîãäà íå ìåíÿåò çíàêà, ò. å. óãîë ϕ âñåãäà èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ìîíîòîííî..2. Åñëè ïîëîæèòü r = 0, òî èç ôîðìóë (5.45) è (5.46) ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:E =L2+ U (r ).2mr 2(5.51)Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî r, ìîæíî îïðåäåëèòü òî÷êè (èëè òî÷êó),.â êîòîðûõ ðàäèàëüíàÿ ñêîðîñòü r îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ýòî, îäíàêî, íå îñòàíîâêà.÷àñòèöû, êàê ïðè îäíîìåðíîì äâèæåíèè, ïîñêîëüêó óãëîâàÿ ñêîðîñòü ϕ ïðè.L ≠ 0 â íóëü íå îáðàùàåòñÿ. Ðàâåíñòâî r = 0 ñîîòâåòñòâóåò «òî÷êàì ïîâîðîòà» rmaxè rmin, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò ëèáî ìàêñèìàëüíîãî, ëèáî ìèíèìàëüíîãîçíà÷åíèÿ. Åñëè îáëàñòü äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé r îãðàíè÷åíà óñëîâèåì r U rmin,òî äâèæåíèå ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ èíôèíèòíûì îíà ïðèõîäèò èç áåñêîíå÷íîñòè è ñíîâà óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü.
Åñëè æå rmin T r T rmax, òî äâèæåíèåôèíèòíî è òðàåêòîðèÿ öåëèêîì ëåæèò âíóòðè êîëüöà, îãðàíè÷åííîãî îêðóæíîñòÿìè ñ ðàäèóñàìè rmin è rmax.3. Åñëè äâèæåíèå ôèíèòíî, òî ýòî åùå íå çíà÷èò, ÷òî òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿçàìêíóòîé êðèâîé. Îíà ìîæåò áåñ÷èñëåííîå êîëè÷åñòâî ðàç äîñòèãàòü rmin è rmax, çàïîëíÿÿ âñåïðîñòðàíñòâî ìåæäó äâóìÿ ãðàíè÷íûìè îêðóæíîñòÿìè (ðèñ. 5.12). Ñóùåñòâóåò ëèøü äâà òèïà ïîëåé, â êîòîðûõ âñå òðàåêòîðèè ôèíèòíûõ äâèæåíèé çàìêíóòû. Ýòî ïîëÿ, â êîòîðûõ U (r) ∼ −1/r(íàïðèìåð, ãðàâèòàöèîííîå èëè êóëîíîâñêîåïîëå ïðè âçàèìîäåéñòâèè ðàçíîèìåííûõ çàðÿäîâ)è U ∼ r 2 (íàïðèìåð, öåíòðàëüíîå ïîëå óïðóãèõñèë).4. Åñëè ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöó, ÿâëÿþòñÿ ñèëàìè ïðèòÿæåíèÿ, òî ïðè L ≠ 0 ýòî åùåíå îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà «óïàäåò» íà ñèëîâîéöåíòð.
«Ïàäåíèå» âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå,Ðèñ. 5.1297åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàåò ïðè r → 0. Äåéñòâè.òåëüíî, ïîäñòàâëÿÿ ϕ èç (5.46) â (5.45), ïîëó÷èìE =mr& 2L2++ U (r ).22mr 2(5.52).Ïîñêîëüêó r 2 > 0, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâómr& 2L2=E−− U (r ) > 0,22mr 2(5.53)èëèL2(5.54)< Er 2 .2mÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî r ìîæåò ïðèíèìàòü ñòðåìÿùèåñÿ ê íóëþ çíà÷åíèÿ ëèøüïðè óñëîâèèr 2U (r ) +r 2U (r )r →0<−L2,2m(5.55)L2α1, ëèáî U (r ) : − n ïðè n > 2., ïðè÷åì α >22mrrMmn Ïðèìåð 1. Ïðè äâèæåíèè â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå U (r ) = −G(m ìàññàräâèæóùåéñÿ ÷àñòèöû, Ì ìàññà òåëà, ÿâëÿþùåãîñÿ ïðèòÿãèâàþùèì ñèëîâûì öåíòðîì). Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè èìååò âèäò.
å. äîëæíî áûòü ëèáî U (r ) : −E =mL 2Mm−G= const .r2(5.56)Ïîäñòàíîâêà ôóíêöèè U(r) â (5.52) äàåò:E =mr& 2L2Mm+−G= const .2r22mr(5.57)Ôîðìàëüíî (5.57) ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ïðè îäíîìåðíîì ðàäèàëüíîì äâèæåíèè ÷àñòèöû.Ïðè ýòîì ðîëü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âûïîëíÿåò ôóíêöèÿ (ðèñ. 5.13)V (r ) = −GÐèñ. 5.1398MmL2+.r2mr 2(5.58)Ïðè E < 0 (çíà÷åíèå Å1 íà ðèñ. 5.13)äâèæåíèå ôèíèòíî: r1 T r T r2. Ïðè Å U 0äâèæåíèå èíôèíèòíî; ïðè Å = 0 ÷àñòèöàíà «áåñêîíå÷íîñòè» èìååò íóëåâóþ ñêîðîñòü[ñì.
(5.56)], ïðè E > 0 ñêîðîñòü ÷àñòèöû íàáåñêîíå÷íîñòè êîíå÷íà. Òàê, îáëàäàÿ ïîëíîé ýíåðãèåé Å2, ÷àñòèöà, äâèãàÿñü èç ∞,ïðèáëèæàåòñÿ ê ñèëîâîìó öåíòðó íà ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå r0, ãäå V = E2.mr& 2îáðàùàåòÏðè ýòîì «ðàäèàëüíàÿ» êîìïîíåíòà åå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè22mLäîñòèãàåò ìàêñèñÿ â íóëü, îäíàêî ïîëíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ T =2ìàëüíîãî çíà÷åíèÿ.Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ îáùåé ôîðìóëû (5.50). ÏîäMmñòàâëÿÿ â íåå U (r ) = −Gè ïðîèçâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷èìrLMm 2−GrLϕ = arccos+ const .G 2 M 2m 42mE +L2(5.59)Âûáèðàÿ íà÷àëî îòñ÷åòà óãëà ϕ òàê, ÷òîáû const = 0, è ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿp=L2,GMm 2e = 1+2EL2,G 2 M 2m 3(5.60)áóäåì èìåòüp(5.61)= 1 + e cos ϕ.rÝòî óðàâíåíèå òàê íàçûâàåìîãî êîíè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ ëèíèè, ïîëó÷àåìîé ïðè ñå÷åíèè êîíóñà íåêîòîðîé ïëîñêîñòüþ; p è å ïàðàìåòð è ýêñöåíòðèñèòåò òðàåêòîðèè. Èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî ïðè e < 1 (E < 0)òðàåêòîðèåé áóäåò ýëëèïñ, è äâèæåíèå ôèíèòíî.
Ïðè e = 1 (Å = 0) ÷àñòèöàäâèæåòñÿ ïî ïàðàáîëå. Ïðè e > 1 (E > 0) òðàåêòîðèåé ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëà.Âèä òðàåêòîðèè, êîíå÷íî, îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå. Ïóñòü O ïðèòÿãèâàþùèé ñèëîâîé öåíòð,À íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ÷àñòèöû (ðèñ. 5.14). Áóäåì ñîîáùàòü ÷àñòèöå â òî÷êåÀ ñêîðîñòü L â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê ëèíèè ÀO. Åñëè ïîëíàÿýíåðãèÿ ÷àñòèöû E < 0, òî òðàåêòîðèåé áóäåò ýëëèïñ. Ïðè L = 0 îí âûðîæäàåòñÿâ ïðÿìóþ ÀO, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ñèëîâîé öåíòð. Åñëè L = L0 = GM r0 , òî ÷àñòèöà áóäåò äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì r0 = AO; â ýòîì ñëó÷àå òî÷êè Àè Ñ ðàâíîóäàëåíû îò ïðèòÿãèâàþùåãî öåíòðà. Ïðè L < L0 òî÷êà À (àïîöåíòð) íàõîäèòñÿ íà áëüøåì óäàëåíèè îò ñèëîâîãî öåíòðà, ÷åì òî÷êà  (ïåðèöåíòð).
Ïðè L > L0, íàïðîòèâ, ïåðèöåíòðîì áóäåò òî÷êà À, à àïîöåíòðîì òî÷êà D. Ïðè L = Lï = L0 2 òðàåêòîðèåé áóäåò ïàðàáîëà [çíà÷åíèå Lï ìîæíî ïîëó÷èòü èç (5.56) ïðè óñëîâèè Å = 0].Ïðè L > Lï îíà ïåðåõîäèò â ãèïåðáîëó.Ïðèìåíèòåëüíî ê êîñìè÷åñêèì ïîëåòàìâ ïîëå Çåìëè ñêîðîñòü L 0 = GM RÇ == gRÇ ≈ 8 êì/c íàçûâàåòñÿ ïåðâîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòüþ (RÇ ðàäèóñ Çåìëè). ÏðèÐèñ. 5.1499ýòîì çàïóùåííûé â êîñìîñ àïïàðàò ñòàíîâèòñÿ èñêóññòâåííûì ñïóòíèêîìÇåìëè è äâèæåòñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå íà âûñîòå h (ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî h = RÇ).Ñêîðîñòü L ï = 2gRÇ ≈ 11,2 êì/c íàçûâàåòñÿ âòîðîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòüþ. Ýòîìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ñîîáùèòü òåëó, ÷òîáû îíî íåâåðíóëîñü íà Çåìëþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
