В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 20
Текст из файла (страница 20)
5.6).  ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì òÿãîòåíèÿ,F(r ) = −Gm1m2r,r3(5.13)ãäå G ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ.Âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå, äëÿ ðàáîòû ãðàâèòàöèîííîé ñèëû ïîëó÷èì22r ⎞dr ⎛mm ⎞ ⎛mm ⎞⎛A12 = ∫ ⎜−Gm1m2 3 ⎟ d r = −Gm1m2 ∫ 2 = ⎜−G 1 2 ⎟ − ⎜−G 1 2 ⎟ .r ⎠r1 ⎠ ⎝r2 ⎠⎝1⎝1r(5.14)Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî, ïî àíàëîãèè ñ (5.7), rd r = r dr, ãäå dr ïðîåêöèÿ d r íàíàïðàâëåíèå ðàäèóñà-âåêòîðà r (èçìåíåíèå âåëè÷èíû âåêòîðà r). ñëó÷àå ñ òåëîì, ïàäàþùèì íà çåìëþ ñ íåáîëüøîé âûñîòû h (ðèñ. 5.7), â(5.14) ñëåäóåò ïîëîæèòü:r1 = RÇ + h,r 2 = R Ç,m1 = MÇ,m2 = m,ãäå RÇ ðàäèóñ Çåìëè; ÌÇ ìàññà Çåìëè; m ìàññà ðàññìàòðèâàåìîãî òåëà.Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ïðè ýòîì ñèëîé òÿæåñòè, áóäåò ðàâíàMÇ m ⎞ ⎛MÇ m ⎞1 ⎞⎛⎛ 1A12 = ⎜−G⎟ − ⎜−G R ⎟ = −GM Ç m ⎜ R + h − R ⎟ =+RhÇÇ ⎠Ç ⎠⎝⎠ ⎝⎝ Ç= −GM Ç mÐèñ. 5.690RÇ − (RÇ + h)h≈ GM Ç m 2 ,RÇ (RÇ + h)RÇÐèñ.
5.7(5.15)ãäå ó÷òåíî, ÷òî h = RÇ. Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå g = GMÇ /RÇ2 (óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè), ïîëó÷èì:A12 = mgh.(5.16)Ïðè ïîäúåìå òåëà ââåðõ íà âûñîòó h ðàáîòà ñèëû òÿæåñòè, åñòåñòâåííî,áóäåò îòðèöàòåëüíîé.Ïðè èñïîëüçîâàíèè ôîðìóëû (5.16) íåîáõîäèìî ïîìíèòü î åå ïðèáëèæåííîì õàðàêòåðå, ñâÿçàííîì ñ òåì, ÷òî óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ óìåíüøàåòñÿ ñ âûñîòîé h ïî çàêîíóg (h) = GMÇ(RÇ + h) 2(5.17)(ñì. ëåêöèþ 4). Âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àÿõ ýòèì óìåíüøåíèåì ïðåíåáðåãàþò.
Ñíèæåíèþ g íà 1 % ñîîòâåòñòâóåò h ≈ 32 êì íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè.Ðàáîòà êóëîíîâñêîé ñèëû. Ïóñòü ÷àñòèöà ñ çàðÿäîì q2 äâèæåòñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ñîçäàâàåìîì íåïîäâèæíîé ÷àñòèöåé ñ çàðÿäîì q1 (ðèñ. 5.8). Ñèëóêóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿäîâ ïðåäñòàâèì â âèäå:F( r ) =q1q 2 r.4πε 0 r 3(5.18) çàâèñèìîñòè îò çíàêà çàðÿäîâ ýòà ñèëà ìîæåò áûòü êàê ñèëîé îòòàëêèâàíèÿ(ýòîò ñëó÷àé èçîáðàæåí íà ðèñ. 5.8), òàê è ñèëîé ïðèòÿæåíèÿ. Ïî àíàëîãèè ñïðåäûäóùèì, ðàáîòà êóëîíîâñêîé ñèëû ïðè ïåðåìåùåíèè 1 → 2 îêàçûâàåòñÿðàâíîéA12 =2q1q 2 rq1q 22dr∫ 4πε 0 r 3 d r = 4πε 0 ∫ r 211=q1q 2qq− 1 2 .4πε 0r1 4πε 0r2(5.19)Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ ïðè äâèæåíèè ïîä äåéñòâèåì óïðóãîé, ãðàâèòàöèîííîé è êóëîíîâñêîé ñèë ðàáîòà, îïðåäåëÿåìàÿ ïî ôîðìóëàì (5.12), (5.14), (5.16) è (5.19), íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè ïðè ïåðåìåùåíèè ìåæäó ïðîèçâîëüíûìè ôèêñèðîâàííûìè òî÷êàìè 1 è 2.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîâñå ýòè ñèëû äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ êîíñåðâàòèâíûìè.Îòìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèÿ êîíñåðâàòèâíûõñèë:1) ñèëà ÿâëÿåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé, åñëè åå ðàáîòà íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòèïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç îäíîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà â äðóãóþ è îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ïîëîæåíèåì ýòèõòî÷åê;2) ñèëà ÿâëÿåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé, åñëè åå ðàáîòàíà ëþáîì çàìêíóòîì ïóòè ðàâíà íóëþ.Äëÿ òîãî ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ýêâèâàëåíòíîñòè îáîèõ îïðåäåëåíèé, ðàçîáüåì ïðîèçâîëüíûé çàìêíóòûéêîíòóð (ðèñ. 5.9) íà äâå ÷àñòè: I è II. Ðàáîòó íà çàìêíóòîì ïóòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:A = (A12)I + (A21)II.(5.20)Ðèñ.
5.891Î÷åâèäíî, ÷òî(A21)II = −(A12)II,(5.21)ïîñêîëüêó ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ íàïðàâëåíèå ïåðåìåùåíèÿ dr ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðàáîòû À íà çàìêíóòîìïóòè ïîëó÷àåì âûðàæåíèåÐèñ. 5.9A = (A12)I − (A12)II.(5.22)Åñëè (A12)I = (A12)II (ñïðàâåäëèâî ïåðâîå îïðåäåëåíèå êîíñåðâàòèâíîñòè), òî À = 0, ò. å. ñïðàâåäëèâî è âòîðîå îïðåäåëåíèå.È íàîáîðîò, åñëè À = 0 (ñïðàâåäëèâî âòîðîå îïðåäåëåíèå êîíñåðâàòèâíîñòè),òî èç (5.22) ñëåäóåò, ÷òî (A12)I = (A12)II, ò. å. ñïðàâåäëèâî è ïåðâîå.Ç à ì å ÷ à í è å 1. Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó â ìàòåìàòèêåèñïîëüçóåòñÿ ñèìâîë Ñ∫ . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ìîæíî çàïèñàòü:Ñ∫ dA = 0(5.23)(èíòåãðàë îò ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû ïî çàìêíóòîìó ïóòè ðàâåí íóëþ).
Çäåñü ñèìâîë äèôôåðåíöèàëà dA (à íå δA ) èñïîëüçîâàí ïîòîìó, ÷òî ðàáîòà êîíñåðâàòèâíîé ñèëû íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè. Íàïðèìåð, ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå d r = dx i + dy j + dz k ìîæíî îñóùåñòâèòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè, ïðîèçâîëüíî âûáèðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ïåðåìåùåíèé âäîëü êîîðäèíàòíûõ îñåé, íî ïðè âñåõ òàêèõ ñïîñîáàõ ðàáîòà dA êîíñåðâàòèâíîé ñèëû íà ïåðåìåùåíèè d r áóäåò îñòàâàòüñÿ íåèçìåííîé.Ç à ì å ÷ à í è å 2.  ôèçèêå èçâåñòíû ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ìàòåðèàëüíóþòî÷êó â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì åå ñêîðîñòè. Ýòî, âî-ïåðâûõ, ñèëà,äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó â ìàãíèòíîì ïîëå (ìàãíèòíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëûËîðåíöà), è, âî-âòîðûõ, êîðèîëèñîâà ñèëà èíåðöèè, äåéñòâóþùàÿ â íåèíåðöèàëüíûõ âðàùàþùèõñÿ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà (ñì. ëåêöèþ 6).
Ðàáîòà ýòèõ ñèë ïðèïåðåìåùåíèè ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó ðàâíà íóëþ. Âìåñòå ñ òåì, ýòè ñèëû íåÿâëÿþòñÿ êîíñåðâàòèâíûìè, ïîñêîëüêó, â ñèëó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè F è v, èõðàáîòà ðàâíà íóëþ íà ëþáîì ïåðåìåùåíèè, íåçàâèñèìî îò ïîëîæåíèÿ íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê.Ïîëå ñèë. Ýòî îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé íà ïîìåùåííóþòóäà ÷àñòèöó äåéñòâóåò ñèëà.
Âîçâðàùàÿñü ê îáñóæäàâøèìñÿ âûøå ïðèìåðàì,ìîæíî áûëî áû ñêàçàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â ãðàâèòàöèîííîì (÷àñòíûé ñëó÷àé îäíîðîäíîå ïîëå òÿæåñòè) èëè êóëîíîâñêîì ïîëå.Ïðèìåðû ñ ãðàâèòàöèîííîé (ñì. ðèñ. 5.6) è êóëîíîâñêîé (ñì. ðèñ. 5.8) ñèëàìè ìîæíî îáîáùèòü, ââåäÿ ïîíÿòèå öåíòðàëüíûõ ñèë (ñì. ëåêöèþ 4).
 ïîëåöåíòðàëüíûõ ñèë âåëè÷èíà ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó, çàâèñèò òîëüêî îòðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöåé (òî÷êà Ì íà ðèñ. 5.10) è ñèëîâûì öåíòðîì (òî÷êàÎ íà òîì æå ðèñóíêå). Ñèëà íàïðàâëåíà âäîëü ïðÿìîé, íà êîòîðîé ðàñïîëîæåíû ÷àñòèöà è ñèëîâîé öåíòð:rF(r ) = F (r ) .r92(5.24)Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå öåíòðàëüíûå ñèëû, íåçàâèñèìî îò âèäà ôóíêöèè F(r) â (5.24), ÿâëÿþòñÿ êîíñåðâàòèâíûìè. Äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî òàê æå,êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ãðàâèòàöèîííîé è êóëîíîâñêîé ñèë.Îòìåòèì, ÷òî âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðàõ ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî íè âåëè÷èíà, íè íàïðàâëåíèå ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöó â äàííîé òî÷êå ïîëÿ,íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, ò.
å. ïîëå ýòèõ ñèë ñòàöèîíàðíî.Ñòàöèîíàðíîñòü ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèÐèñ. 5.10åì êîíñåðâàòèâíîñòè äåéñòâóþùèõ â íåì ñèë. Ñóùåñòâóþò è íåñòàöèîíàðíûå ïîëÿ, íàïðèìåð, ãðàâèòàöèîííîå ïîëå äâèæóùèõñÿ ïëàíåò èëè ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå êîíäåíñàòîðà, ê îáêëàäêàì êîòîðîãî ïðèëîæåíî ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ðàáîòàñèë ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü îòëè÷íîé îò íóëÿ.Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â ïîëå.
Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ðàáîòà êîíñåðâàòèâíûõ ñèë çàâèñèò òîëüêî îò íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ïîëîæåíèé ÷àñòèöû, ïîçâîëÿåò ââåñòè åùå îäíó î÷åíü âàæíóþ âåëè÷èíó ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ U (x, y, z) ÷àñòèöû â ïîëå, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé åå êîîðäèíàò. Èçìåíåíèå dU ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â ïîëå îïðåäåëÿåòñÿ êàêâçÿòàÿ ñ îáðàòíûì çíàêîì ðàáîòà dA äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöó êîíñåðâàòèâíûõñèë ïðè åå ïåðåìåùåíèè èç îäíîé òî÷êè ýòîãî ïîëÿ â äðóãóþ:dU = −dA,(5.25)ãäå dA ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà êîíñåðâàòèâíûõ ñèë.Ðàáîòó íà êîíå÷íîì ïåðåìåùåíèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå2A12 = ∫ Fd r = −(U 2 − U 1 ) = U 1 − U 2 ,(5.26)1ãäå U1 è U2 çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â òî÷êàõ 1 è 2. Ãîâîðÿò òàê:ðàáîòà ñèë ïîëÿ íà ïóòè 1 → 2 ðàâíà óáûëè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû âäàííîì ïîëå.
Çàìåòèì, ÷òî ÷àñòèöå, íàõîäÿùåéñÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïîëÿ,ìîæíî ïðèïèñàòü ëþáîå íàïåðåä çàäàííîå çíà÷åíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Ýòîñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ðàáîòà ñèë ïîëÿ îïðåäåëÿåò ëèøü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëüíûõýíåðãèé, íî íå èõ àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ÷àñòèöû â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïîëÿ, íåîáõîäèìî çàäàòü çíà÷åíèå U â êàêîé-ëèáî îäíîé òî÷êå. Ýòó ïðîöåäóðó íàçûâàþò íîðìèðîâêîé, èëèêàëèáðîâêîé, ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Ïîñëå òîãî, êàê íîðìèðîâêà áóäåò âûïîëíåíà, çíà÷åíèÿ U (x, y, z) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ðàáîòó ñèë [ôîðìóëà(5.26)] ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç ýòîé òî÷êè â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè x, y, z.Èç ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðîâ [ôîðìóëû (5.11), (5.14), (5.17) è (5.19)]âèäíî, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû èìååò ñëåäóþùèé âèä1) äëÿ óïðóãîé ñèëûU (x ) =kx 22(5.27)[èñïîëüçîâàíà íîðìèðîâêà U (0) = 0];932) â ãðàâèòàöèîííîì ïîëåU (r ) = −Gm1m2r(5.28)[íîðìèðîâêà U (∞) = 0];3) â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòèU(h) = mgh(5.29)[íîðìèðîâêà U (0) = 0];4) â êóëîíîâñêîì ïîëåU (r ) =1 q1q 24πε 0 r(5.30)[íîðìèðîâêà U (∞) = 0].Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî â ñëó÷àÿõ 1 è 3 èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà íóëåâîåçíà÷åíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðèïèñàíî ÷àñòèöå, íàõîäÿùåéñÿ â íà÷àëåîòñ÷åòà, à â ñëó÷àÿõ 2 è 4 íà áåñêîíå÷íîñòè.Åñëè çàäàíà ôóíêöèÿ U(r), òî ìîæíî îïðåäåëèòü è ïîëå ñèë F(r).
Äëÿ ýòîãîâîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì (5.25), ïðåäñòàâèâ åãî â âèäådA = Fd r = −dU.(5.31)Çàïèñûâàÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå Fd r â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ, ïîëó÷èì:(Fõ i + Fy j + Fz k)(dx i + dy j + dzk) = −dU.(5.32)Ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå∂U∂U⎛ ∂U⎞F x dx + F y dy + F z d z = − ⎜dx +dy +dz ⎟.∂y∂z⎝ ∂x⎠(5.33)∂∂∂îçíà÷àþò, ÷òî ôóíêöèÿ U (x, y, z),,∂x ∂y ∂zïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè äîëæíà ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ôóíêöèÿ òîëüêî òîãîàðãóìåíòà, ïî êîòîðîìó ïðîèçâîäèòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, îñòàëüíûå àðãóìåíòû ñ÷èòàþòñÿ ïðè ýòîì ïîñòîÿííûìè.Ñðàâíèâàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ñëàãàåìûå â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ (5.33),èìååìÑèìâîëû ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîéFx = −∂U;∂xFy = −∂U;∂yFz = −∂U.∂z(5.34)Îòñþäà äëÿ âåêòîðà ñèëû ïîëó÷àåì âûðàæåíèå:∂U∂U ⎞⎛ ∂UF = −⎜i+j+k .∂y∂z ⎟⎠⎝ ∂x(5.35)Âåëè÷èíó, ñòîÿùóþ â ñêîáêàõ, íàçûâàþò ãðàäèåíòîì ñêàëÿðíîé ôóíêöèè Uè îáîçíà÷àþò grad U, èëè ∇U, ãäå ∇ («íàáëà») ýòî äèôôåðåíöèàëüíûé âåêòîð94∂∂∂íûé îïåðàòîð, êîòîðûé â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä ∇ = i+j+k .∂x∂y∂zÒàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü:F = −gradU = −∇U.(5.36)Ñìûñë ãðàäèåíòà ñòàíåò ÿñíåå, åñëè ââåñòè ïîíÿòèå ýêâèïîòåíöèàëüíîé ïîâåðõíîñòè ïîâåðõíîñòè, âî âñåõ òî÷êàõ êîòîðîé ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Uèìååò îäíî è òî æå çíà÷åíèå (ðèñ.
5.11).Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, êàñàòåëüíóþ ê ýêâèïîòåíöèàëüíîé ïîâåðõíîñòè, â íåêîòîðîé òî÷êå Î (ñëåä îò òàêîé ïëîñêîñòè èçîáðàæåí íà ðèñ. 5.11 øòðèõîâîéëèíèåé). Ïðè ñìåùåíèè èç òî÷êè Î â ïëîñêîñòè íà âåëè÷èíó d r â ëþáîìíàïðàâëåíèè dU = 0. Ñîãëàñíî (5.31), ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Fd r = 0, ò. å. âåêòîð Fïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè, êàñàòåëüíîé ê ýêâèïîòåíöèàëüíîé ïîâåðõíîñòèâ äàííîé òî÷êå. Âåêòîð grad U íàïðàâëåí ïðîòèâîïîëîæíî âåêòîðó F, â ñòîðîíó«íàèáîëåå áûñòðîãî» âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè U (x, y, z).Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå ñèë.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
