В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4.15):L = r × p.(4.58)Âåêòîð L ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû r è ð, à åãîíàïðàâëåíèå çàâèñèò îò âçàèìíîé îðèåíòàöèè r è ð è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëóïðàâîãî áóðàâ÷èêà: åñëè âåêòîðû r è ð ïðèâåñòè ê îäíîìó íà÷àëó è ðó÷êóáóðàâ÷èêà ïîâîðà÷èâàòü êðàò÷àéøèì ïóòåì îò r ê ð, òî ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå áóðàâ÷èêà óêàæåò íàïðàâëåíèå âåêòîðà L. Ìîäóëü âåêòîðà L ðàâåíL = rp sin α,(4.59)ãäå α óãîë ìåæäó r è ð.Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ.
Äëÿ òîãî ÷òîáû âûÿñíèòü, êàêàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíàîòâåòñòâåííà çà èçìåíåíèå âåêòîðà L, ïðîäèôôåðåíöèðóåì (4.58) ïî âðåìåíè:dL drdp=×p+r×.dtdtdt(4.60)79Ðèñ. 4.16Ðèñ. 4.15Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (4.60) ðàâíî íóëþ, òàê êàê âåêòîðûdr=dtdp= F,= v = p/m è p ïàðàëëåëüíû. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî, ñîãëàñíî II çàêîíó Íüþòîíà,dtïîëó÷àåìdL= M,dt(4.61)ãäå M = r × F ìîìåíò ñèëû F îòíîñèòåëüíî òî÷êè O (ðèñ. 4.16). Íàïðàâëåíèåè âåëè÷èíà âåêòîðà Ì îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàåòñÿ äëÿâåêòîðà L.Óðàâíåíèå (4.61) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå ìîìåíòîâ: ïðîèçâîäíàÿ ïîâðåìåíè îò ìîìåíòà èìïóëüñà L ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé òî÷êè Oâûáðàííîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ðàâíà ìîìåíòó Ì ñèëû F îòíîñèòåëüíî òîé æåòî÷êè O.Åñëè ñèñòåìà íåèíåðöèàëüíàÿ, òî ìîìåíò Ì, ïîìèìî ìîìåíòà ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ äàííîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ äðóãèìè òåëàìè, äîëæåí âêëþ÷àòü âñåáÿ òàêæå ìîìåíò ñèë èíåðöèè.n Ïðèìåð 1.
Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (4.61) óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïðè èññëåäîâàíèè âðàùàòåëüíûõ äâèæåíèé. Ðàññìîòðèì, ê ïðèìåðó, êàê ñ åãî ïîìîùüþìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (ðèñ. 4.17).Ïîëîæèì, ÷òî ìàÿòíèê âûâåäåí èç âåðòèêàëüíîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èïðåäîñòàâëåí ñàìîìó ñåáå.
Îí áóäåò êà÷àòüñÿ, âðàùàÿñü òî â îäíó, òî â äðóãóþñòîðîíó âîêðóã îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ÷åðòåæà è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O. Ïîëîæåíèå êà÷àþùåãîñÿ ìàÿòíèêà ìîæíî çàäàòü ñ ïîìîùüþ óãëàα, îáðàçîâàííîãî íèòüþ OA ñ âåðòèêàëüþ. Ìîìåíò èìïóëüñà ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî òî÷êè O è ìîìåíòû äåéñòâóþùèõ íà íåãî ñèë íàïðàâëåíû âäîëü îñèêà÷àíèé (îñü Oz).  ïðîåêöèè íà ýòó îñü óðàâíåíèå ìîìåíòîâ áóäåò èìåòü âèädLz= (M mg ) z + (M ò ) z ,dt(4.62)ãäå L z = mL l ïðîåêöèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ìàÿòíèêà (l = OA äëèíà íèòè);(Mmg)z = −mgl sin α ïðîåêöèÿ ìîìåíòà ñèëû òÿæåñòè; (Mò)z = 0.80Ðèñ. 4.18Ðèñ. 4.17.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî L = l α, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:&& +αgsin α = 0.l(4.63)Ïðîèíòåãðèðîâàâ ýòî óðàâíåíèå, ò.
å. îïðåäåëèâ çàâèñèìîñòü óãëà α îò âðåìåíè, ìîæíî íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà.  îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(4.63) ñëîæíî è òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ ñïåöèàëüíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Åñëèêîëåáàíèÿ ìàëû, òî ìîæíî ïîëîæèòü ïðèáëèæåííî sin α ≈ α, è òîãäà (4.63)ïðèíèìàåò âèä&& +αgα = 0.l(4.64)Ýòî èçâåñòíîå óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, äåòàëüíûé àíàëèç êîòîðîãî áóäåò äàí â ïîñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.n Ïðèìåð 2.
Íåáîëüøîå òåëî ìàññîé m, ïîäâåøåííîå íà ëåãêîé íåâåñîìîéíèòè OÀ, âðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè òàê, ÷òî óãîë θ ìåæäó îñüþ èíèòüþ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì (ðèñ. 4.18). Ïðè ýòîì âåêòîð L ìîìåíòà èìïóëüñàòåëà îòíîñèòåëüíî òî÷êè O «äâèæåòñÿ» ïî êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ óãëîìπïîëóðàñòâîðà β = − θ. Èçìåíåíèå âåêòîðà L ïî íàïðàâëåíèþ îáóñëîâëåíî2íàëè÷èåì ìîìåíòà ñèëû òÿæåñòè r × m g îòíîñèòåëüíî òî÷êè O; ìîìåíò ñèëû Òíàòÿæåíèÿ íèòè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O ðàâåí íóëþ.Èíòåãðèðóÿ (4.61), ìîæíî îïðåäåëèòü ïðèðàùåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà ÷àñòèöû çà êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè Δt = t − t0:ΔL = L − L 0 =t∫ Mdt .(4.65)t0Âåëè÷èíó, ñòîÿùóþ â ïðàâîé ÷àñòè, íàçûâàþò èìïóëüñîì ìîìåíòà ñèëû çàïðîìåæóòîê âðåìåíè Δt. Òàêèì îáðàçîì, ïðèðàùåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà ìàòå81ðèàëüíîé òî÷êè çà íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ðàâíî èìïóëüñó ìîìåíòàñèëû çà ýòî æå âðåìÿ.Èç óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ (4.61) ñëåäóåò, ÷òî åñëè Ì = 0, òî L = const.
Òàêèìîáðàçîì, åñëè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé òî÷êè O ìîìåíò âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõíà ÷àñòèöó, ðàâåí íóëþ, òî ìîìåíò èìïóëüñà ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî ýòîé òî÷êèîñòàåòñÿ íåèçìåííûì.n Ïðèìåð 3. Øàéáà À, ñêîëüçÿùàÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè,èñïûòûâàåò àáñîëþòíî óïðóãîå ñîóäàðåíèå ñ ãëàäêîé âåðòèêàëüíîé ñòåíêîé(ðèñ. 4.19, âèä ñâåðõó). Èçìåíåíèå Δp = p2 − p1 èìïóëüñà øàéáû âûçâàíî ñèëîéðåàêöèè R ñî ñòîðîíû ñòåíêè, äåéñòâóþùåé âî âðåìÿ óäàðà. Ìîìåíò ýòîé ñèëûîòíîñèòåëüíî ëþáîé òî÷êè, ëåæàùåé íà ëèíèè OÑ, ðàâåí íóëþ, à çíà÷èòîòíîñèòåëüíî ëþáîé èç ýòèõ òî÷åê ìîìåíò èìïóëüñà øàéáû äî óäàðà áóäåòðàâåí ìîìåíòó èìïóëüñà ïîñëå óäàðà.Îñîáûé èíòåðåñ â ñâÿçè ñ ñîõðàíåíèåì L ïðè Ì = 0 ïðåäñòàâëÿåò äâèæåíèåìàòåðèàëüíîé òî÷êè â öåíòðàëüíîì ñèëîâîì ïîëå.
Öåíòðàëüíûì íàçûâàåòñÿ òàêîå ñèëîâîå ïîëå, â êîòîðîì ëèíèÿ äåéñòâèÿ ñèëû ïðîõîäèò ÷åðåç îäíó è òó æåòî÷êó (ñèëîâîé öåíòð, èëè ïîëþñ), à âåëè÷èíà ñèëû çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòèöû äî ïîëþñà. Õîðîøî èçâåñòíûìè ïðèìåðàìè òàêèõïîëåé ÿâëÿþòñÿ ãðàâèòàöèîííîå ïîëå îäíîðîäíîãî ìàññèâíîãî òåëà øàðîîáðàçíîé ôîðìû è ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Î÷åâèäíî, ÷òî ìîìåíòèìïóëüñà ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â öåíòðàëüíîì ñèëîâîì ïîëå, îñòàåòñÿ íåèçìåííûì îòíîñèòåëüíî ïîëþñà, ïîñêîëüêó ìîìåíò ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó, îòíîñèòåëüíî ïîëþñà ðàâåí íóëþ.
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíûõ ñèë åñòü ïëîñêàÿ êðèâàÿ.Ââåäåì âåêòîðdS =1r × vdt ,2(4.66)íàïðàâëåííûé ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæèò òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû (ðèñ. 4.20). Âåëè÷èíà ýòîãî âåêòîðà, î÷åâèäíî, ðàâíà ïëîùàäè, «çàìåòàåìîé» ðàäèóñîì-âåêòîðîì ÷àñòèöû çà âðåìÿ dt.  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåìL = r × mv = 2mÐèñ. 4.1982dS.dt(4.67)Ðèñ.
4.20dS ñåêòîðíàÿ ñêîðîñòü, î êîòîðîé óæå ãîâîðèëîñü â ëåêöèè 2.dtÎíà îïðåäåëÿåò ïëîùàäü, «çàìåòàåìóþ» ðàäèóñîì-âåêòîðîì ÷àñòèöû â åäèíèdS= const . Ýòîöó âðåìåíè. Åñëè L = const (öåíòðàëüíîå ñèëîâîå ïîëå), òî èdtîçíà÷àåò, ÷òî ðàäèóñ-âåêòîð ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â öåíòðàëüíîì ñèëîâîì ïîëå,çà ðàâíûå âðåìåíà «çàìåòàåò» ðàâíûå ïî âåëè÷èíå ïëîùàäè. Ïðèìåíèòåëüíî êïëàíåòàì, äâèæóùèìñÿ â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå Ñîëíöà, ýòî óòâåðæäåíèå ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå âòîðîãî çàêîíà Êåïëåðà.Ìîìåíò èìïóëüñà è ìîìåíò ñèëû îòíîñèòåëüíî îñè.
Ìîìåíòîì èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî îñè íàçûâàþò ïðîåêöèþ íà ýòó îñü âåêòîðà L, îïðåäåëåííîãî îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé òî÷êè O, ïðèíàäëåæàùåé äàííîé îñè. Àíàëîãè÷íîââîäÿò ïîíÿòèå ìîìåíòà ñèëû îòíîñèòåëüíî îñè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìîìåíòèìïóëüñà è ìîìåíò ñèëû îòíîñèòåëüíî îñè íå çàâèñÿò îò âûáîðà òî÷êè O íàýòîé îñè. Äåéñòâèòåëüíî, ñêîðîñòü v òî÷êè â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíîðàçëîæèòü íà òðè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ñîñòàâëÿþùèå (ðèñ. 4.21, à), îäíàèç êîòîðûõ (Lz k) íàïðàâëåíà âäîëü ðàññìàòðèâàåìîé îñè (â äàííîì ñëó÷àå îñèOz), äðóãàÿ (Ln n) âäîëü ðàäèóñà îêðóæíîñòè, ïëîñêîñòü êîòîðîé ïåðïåíäèrêóëÿðíà îñè Oz, à òðåòüÿ (Lττ) ïî êàñàòåëüíîé ê ýòîé îêðóæíîñòè:rv = Lz k + Ln n + Lττ.(4.68)Âåëè÷èíàÄëÿ ìîìåíòà èìïóëüñà L ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî íà÷àëà Î ïîëó÷èìrL = r × mv = r × m Lz k + r × m Ln n + r × m Lττ.(4.69)Ïåðâàÿ è âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùèå L â âûðàæåíèè (4.69) ïåðïåíäèêóëÿðíû îñèOz, ïîýòîìó ïðîåêöèÿ L íà îñü Oz áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ òîëüêî òðåòüåé ñîñòàâëÿþùåé:r(4.70)Lz = (r × mLττ)z = rm Lτ sin θ = ρmLτ,ãäå ρ = r sin θ êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìàññû m äî îñè Oz.Àíàëîãè÷íî Mz = ρFτ, ãäå Fτ ïðîåêöèÿ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà äàííóþ÷àñòèöó, íà íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíîé ê ðàññìîòðåííîé âûøå îêðóæíîñòè (ðèñ.4.21, á ).
Çàïèñàâ óðàâíåíèå (4.61) â ïðîåêöèÿõ íà îñü Oz, ïîëó÷èìdLz= M z,dtà(4.71)áÐèñ. 4.2183ò. å. ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè ìîìåíòà èìïóëüñà ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî îñè Ozðàâíà ìîìåíòó ñèëû îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè. Åñëè M z = 0, òî Lz = const. Ïðè ýòîìñàì âåêòîð L ìîæåò èçìåíÿòüñÿ. Òàê, â ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 4.18,ïðîåêöèÿ ìîìåíòà ñèëû òÿæåñòè mg íà âåðòèêàëüíóþ îñü ðàâíà íóëþ, ïîýòîìóïðîåêöèÿ âåêòîðà L ÷àñòèöû íà ýòó îñü ñîõðàíÿåòñÿ.Ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìûîïðåäåëÿåòñÿ êàê âåêòîðíàÿ ñóììà ìîìåíòîâ èìïóëüñîâ ñîñòàâëÿþùèõ åå ÷àñòèö:L = L1 + L 2 + K + L n =n∑ Li,(4.72)i =1ãäå âñå Li îïðåäåëåíû îòíîñèòåëüíî îäíîé è òîé æå òî÷êè O çàäàííîé ñèñòåìûîòñ÷åòà.Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ (4.72) ïî âðåìåíè è ó÷òÿ (4.61), ïîëó÷èìdL=dtndLi=i =1 dt∑n∑ Mi ,(4.73)i =1ãäå M i ñóììàðíûé ìîìåíò âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà i-þ ÷àñòèöó, îòíîñèòåëüíî ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè O.Äàëåå, ïî àíàëîãèè ñ âûâîäîì çàêîíà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû ÷àñròèö, ïðåäñòàâèì M i â âèäå ñóììû ìîìåíòîâ âíåøíèõ Mi è âíóòðåííèõ μi ñèë:rrM i = M i + μi = Mi + ∑ μki.(4.74)k ≠irÇäåñü ìîìåíò ∑ μki ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ íà i-þ ÷àñòèöó âñåõ äðóãèõ ÷àñòèö,k ≠iâõîäÿùèõ â äàííóþ ñèñòåìó. Ïîäñòàâëÿÿ (4.74) â (4.73), áóäåì èìåòüdL=dtnnr∑ M i + ∑ ∑ μki .i =1(4.75)i =1 k ≠ iÏî III çàêîíó Íüþòîíà âíóòðåííèå ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìèñèñòåìû ïîïàðíî ðàâíû äðóã äðóãó ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíû âäîëü îäíîé èòîé æå ïðÿìîé â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
