В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 19
Текст из файла (страница 19)
å. èìåþò îäíî è òî æå ïëå÷î ρîòíîñèòåëüíî ëþáîé òî÷êè O (ðèñ. 4.22).  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì äâîéíàÿ ñóììà â(4.75), ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ñóììàðíûé ìîìåíò âñåõ âíóòðåííèõ ñèë, ðàâíàíóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òîìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åêìîæåò èçìåíèòüñÿ òîëüêî ïîä äåéñòâèåì ìîìåíòà âíåøíèõ ñèë:dL=dtÐèñ. 4.2284n∑ Mi= M.(4.76)i =1Çäåñü Ì ñóììàðíûé ìîìåíò âñåõ âíåøíèõñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöû ñèñòåìû. Åùå ðàçïîä÷åðêíåì, ÷òî è L, è Ì îïðåäåëåíû îòíîñèòåëüíî îäíîé è òîé æå òî÷êè O çàäàííîé ñèñòåìû îòñ÷åòà.Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (4.76) ñïðàâåäëèâî íåòîëüêî â èíåðöèàëüíîé, íî è â íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå â âûðàæåíèå äëÿÌ íåîáõîäèìî âêëþ÷èòü ìîìåíò ñèë èíåðöèè (ñì.ëåêöèþ 6).Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà.
Åñëè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé òî÷êè çàäàííîé ñèñòåìû îòñ÷åÐèñ. 4.23dL=0òà ñóììàðíûé ìîìåíò âíåøíèõ ñèë Ì = 0, òîdtè L = const, ò. å. ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû ÷àñòèö îòíîñèòåëüíî ýòîé òî÷êèñî âðåìåíåì íå ìåíÿåòñÿ. Åñëè ñèñòåìà ÷àñòèö èçîëèðîâàíà, òî åå ñóììàðíûéìîìåíò èìïóëüñà ñîõðàíÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ëþáîé òî÷êè ðàññìàòðèâàåìîéÈÑÎ.Ç à ì å ÷ à í è å 1. Åñëè ñèñòåìà çàìêíóòà, ò. å. âñå âíåøíèå ñèëû óðàâíîâåøåíû, òî ýòî åùå íå çíà÷èò, ÷òî áóäåò L = const, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ìîæåò áûòüÌ ≠ 0 (íàïðèìåð, â ñëó÷àå äåéñòâèÿ ïàðû ñèë, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé,ðèñ.
4.23).Ç à ì å ÷ à í è å 2. ×àñòî âñòðå÷àþòñÿ ñëó÷àè, êîãäà ñèñòåìà ÷àñòèö íå çàìêíóòà (åå èìïóëüñ èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì), è òåì íå ìåíåå ñóùåñòâóþò òî÷êè,îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ Ì = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, L = const. Ïðèìåðîì ìîæåòñëóæèòü ñèñòåìà, íàõîäÿùàÿñÿ â ïîëå öåíòðàëüíûõ ñèë, î êîòîðûõ ãîâîðèëîñüâûøå.  ýòîì ñëó÷àå ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ñèëîâîãî öåíòðà(ïîëþñà) îñòàåòñÿ íåèçìåííûì.Ç à ì å ÷ à í è å 3. Ó íåçàìêíóòûõ ñèñòåì ìîæåò ñîõðàíÿòüñÿ íå ñàì âåêòîð L,à åãî ïðîåêöèÿ íà íåêîòîðóþ íåïîäâèæíóþ îñü Oz.
Òàê áóäåò â òîì ñëó÷àå,êîãäà ïðîåêöèÿ âåêòîðà Ì íà ýòó îñü ðàâíà íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, çàïèñûâàÿóðàâíåíèå (4.76) â ïðîåêöèÿõ íà îñü Oz, ïîëó÷èìd Lz= M z.dt(4.77)Îòñþäà è ñëåäóåò, ÷òî åñëè M z = 0, òî L z = const.n Ïðèìåð 1. Ñèñòåìà, âêëþ÷àþùàÿ â ñåáÿ ïëàíåòû Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû, ÿâëÿåòñÿ íåçàìêíóòîé. Åå èìïóëüñ èçìåíÿåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèë òÿãîòåíèÿ ñî ñòîðîíû Ñîëíöà. Âìåñòå ñ òåì ñóììàðíûé ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû ïëàíåò îòíîñèòåëüíî öåíòðà Ñîëíöà îñòàåòñÿ íåèçìåííûì, òàê êàê ãðàâèòàöèîííîå ïîëå,ñîçäàâàåìîå Ñîëíöåì, öåíòðàëüíîå.
Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî îðáèòû âñåõïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû ëåæàò ïðèáëèçèòåëüíî â îäíîé ïëîñêîñòè, òàê ÷òîèõ îðáèòàëüíûå ìîìåíòû èìïóëüñà ñêëàäûâàþòñÿ àëãåáðàè÷åñêè. Ïðè ýòîì âñå9 ïëàíåò äâèæóòñÿ âîêðóã Ñîëíöà â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè, â ñâÿçè ñ÷åì ñóììàðíûé ìîìåíò èìïóëüñà ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû îòëè÷åí îò íóëÿ.Ìîìåíò èìïóëüñà ñàìîãî Ñîëíöà íàïðàâëåí â òó æå ñòîðîíó, à åãî âåëè÷èíàñîñòàâëÿåò îêîëî 2 % îò ìîìåíòà èìïóëüñà ïëàíåò.n Ïðèìåð 2.
Äâà ìàññèâíûõ øàðà ìàññîé m êàæäûé íàñàæåíû íà ëåãêèé ãîðèçîíòàëüíûé ñòåðæåíü, êîòîðûé ìîæåò âðàùàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè(ðèñ. 4.24). Øàðû ìîãóò ñêîëüçèòü âäîëü ñòåðæíÿ áåç òðåíèÿ. Âíà÷àëå ñòåðæåíüðàñêðó÷èâàþò ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω1, øàðû óäåðæèâàþò âáëèçè îñè ñ ïîìîùüþ íèòåé (ðàññòîÿíèå r1). Çàòåì íèòè ïåðåæèãàþò, è øàðû ðàçëåòàþòñÿ ê85êîíöàì ñòåðæíÿ (ðàññòîÿíèå r2). Óãëîâóþ ñêîðîñòü ω2 ìîæíî íàéòè èç óñëîâèÿ ïîñòîÿíñòâàìîìåíòà èìïóëüñà (ñ÷èòàÿ, ÷òî ìàññà âñåé óñòàíîâêè ñîñðåäîòî÷åíà â øàðàõ):2mr1(ω1r1) = 2mr2(ω2r2);ω2 = ω1r12.r22(4.78)(4.79)Òàê êàê r2 > r1, òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ, î÷åâèäíî, óìåíüøàåòñÿ.
Îòìå÷åííûéýôôåêò èçìåíåíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ïðè èçìåíåíèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññû îòíîñèòåëüíîÐèñ. 4.24îñè âðàùåíèÿ èìååò îáùèé õàðàêòåð è õîðîøî èçâåñòåí; åãî, íàïðèìåð, øèðîêî èñïîëüçóþò â ñâîèõ âûñòóïëåíèÿõ ôèãóðèñòû è ãèìíàñòû.ËÅÊÖÈß 5Äàííàÿ ëåêöèÿ ïîñâÿùåíà çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè.  ñâÿçè ñ ýòèì íàì íåîáõîäèìî ââåñòè è îáñóäèòü âàæíåéøåå â ìåõàíèêå ïîíÿòèåðàáîòû ñèëû.Ðàáîòà ñèëû. Äîïóñòèì, ÷òî ÷àñòèöà ìàññîé m ïîä äåéñòâèåì ñèëû F ñîâåðøàåò ïåðåìåùåíèå ïî íåêîòîðîé òðàåêòîðèè 1 2 (ðèñ. 5.1). Äåéñòâèå ñèëû íàýëåìåíòàðíîì ïåðåìåùåíèè dr õàðàêòåðèçóþò ýëåìåíòàðíîé ðàáîòîé δÀ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñèëû F íà ïåðåìåùåíèå dr:δA = F d r = F dr cos α.(5.1)Ñóììèðóÿ (5.1) ïî âñåì ýëåìåíòàðíûì ó÷àñòêàì ïðè ïåðåìåùåíèè îò òî÷êè 1 ê òî÷êå 2, íàéäåì ðàáîòó ñèëû íà âñåì ïóòè:2A12 = ∫ Fd r.(5.2)1Îòìåòèì, ÷òî ýòà âåëè÷èíà ìîæåò ïðèíèìàòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê èîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ.  îáùåì ñëó÷àå ðàáîòà À12 çàâèñèò íå òîëüêî îò õàðàêòåðèñòèê ñèë, íî è îò âèäà òðàåêòîðèè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ ÷àñòèöà.
Èìåííîïîýòîìó â âûðàæåíèè (5.1) äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû èñïîëüçîâàí ñèìâîë δÀ, à íå äèôôåðåíöèàë dA.Åäèíèöåé ðàáîòû â ÑÈ ÿâëÿåòñÿ äæîóëü. Äæîóëü ðàâåí ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëîé 1 Í íà ïóòè â 1 ì ïðè óñëîâèè, ÷òî íàïðàâëåíèÿ ñèëû è ïåðåìåùåíèÿ ñîâïàäàþò.Î÷åâèäíûì ñâîéñòâîì ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ åå àääèòèâíîñòü. Åñëè F = F1 + F2 + ¾,òî è A = A1 + A2 + ¾, ãäå A1 = ∫ F1d r, A2 = ∫ F2d r, è ò. ä.Ìîùíîñòü.
Äëÿ òîãî ÷òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü «ñêîðîñòü», ñ êîòîðîé ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà, ââîäÿò ïîíÿòèå ìîùíîñòè. Ìîùíîñòü ýòî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ñèëîé çà åäèíèöó âðåìåíè:N =δAdr=F= F v.dtdt(5.3)Îòñþäà âèäíî, ÷òî ìîùíîñòü, êàê è ðàáîòà, âåëè÷èíà ñêàëÿðíàÿ.Çíàÿ ìîùíîñòü íåêîòîðîé ñèëû, ìîæíî íàéòè è ðàáîòó, êîòîðóþ ñîâåðøàåò ýòà ñèëà çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè (t, t + Δt ):A=t +Δt∫Ndt .(5.4)tÅäèíèöåé ìîùíîñòè â ÑÈ ÿâëÿåòñÿ âàòò: 1 Âò = 1 Äæ/ñ.Ðèñ. 5.187Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ è åe èçìåíåíèå. Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå (5.1) äëÿ ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû ñëåäóþùèì îáðàçîì:⎛ mL 2 ⎞dvd (L 2 )=d⎜d r = mvd v = m⎟ . (5.5)2dt⎝ 2 ⎠ ïðåîáðàçîâàíèÿõ (5.5) d v îáîçíà÷àåò ýëåìåíòàðíîå ïðèðàùåíèå âåêòîðà v, êîòîðîå ìîæåò íå ñîâïàäàòü ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì v (ðèñ.
5.2). Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿδA = Fd r = mv d v = | v | ⋅ | d v| cos ϕ = L dL ,Ðèñ. 5.2ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî(5.6)ãäå d L ýëåìåíòàðíîå ïðèðàùåíèå äëèíû âåêòîðà v. Îòñþäàd (L 2 )(5.7).2Òàêîå ñîîòíîøåíèå ñïðàâåäëèâî íå òîëüêî äëÿ âåêòîðà v, íî è äëÿ ëþáîãîäðóãîãî âåêòîðà.Èç (5.5) ñëåäóåò, ÷òî ðàáîòà ñèëû F (ïîä F ìîæíî ïîíèìàòü ðåçóëüòèðóþùóþ âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ðàññìàòðèâàåìóþ ÷àñòèöó) èäåò íà ïðèðàùåíèå íåêîòîðîé âåëè÷èíû, êîòîðóþ íàçûâàþò êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé:vd v =T =mL 2.2(5.8)Ïîëíàÿ ðàáîòà íà ó÷àñòêå 1 2 ðàâíà22⎛ mL 2 ⎞ mL 22 mL12−= T2 − T1.A12 = ∫ Fd r = ∫ d ⎜⎟=2211 ⎝ 2 ⎠(5.9)Èíûìè ñëîâàìè, ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû ïðè íåêîòîðîì ïåðåìåùåíèè ðàâíî ñóììàðíîé ðàáîòå âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà íåå ïðè ýòîì ïåðåìåùåíèè (òåîðåìà îá èçìåíåíèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè).Êîíñåðâàòèâíûå è íåêîíñåðâàòèâíûå ñèëû.
Âñå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöó, ìîæíî êëàññèôèöèðîâàòü ïî ñëåäóþùåìó âàæíåéøåìó ïðèçíàêó: çàâèñèò èëè íå çàâèñèò ðàáîòà ñèëû îò ôîðìû ïóòè, ïî êîòîðîìó äâèæåòñÿ ÷àñòèöàïðè ïåðåìåùåíèè èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2. Åñëè ðàáîòà ñèëû îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêîïîëîæåíèåì ýòèõ òî÷åê è íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè, òî ñèëà íàçûâàåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé, åñëè æå çàâèñèò, òî íåêîíñåðâàòèâíîé.Ïðèìåðàìè íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë ÿâëÿþòñÿ: ñèëà òÿãè ðàêåòû; ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó â âèõðåâîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå; ñèëà òðåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ, êàê èçâåñòíî, ïðîòèâ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè òåëà.
Åñëèñèëà òðåíèÿ íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè (ñóõîå òðåíèå), òî åå ðàáîòà, î÷åâèäíî,ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà äëèíå l òðàåêòîðèè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ ÷àñòèöà:2Aòð = ∫ Fòðd r = −F òðl < 0.188(5.10)àáÐèñ. 5.3Ðèñ. 5.4Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà ñèëû ñóõîãî òðåíèÿ ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èçòî÷êè 1 â òî÷êó 2 (ðèñ. 5.3) ïî ðàçíûì ïóòÿì áóäåò ðàçëè÷íà. Î÷åâèäíî, ÷òî|AòðI| > |AòðII|, òàê êàê lI > lII.Çàìåòèì, ÷òî ñèëó òðåíèÿ íàçûâàþò åùå äèññèïàòèâíîé ñèëîé.  çàâèñèìîñòèîò âûáîðà ñèñòåìû îòñ÷åòà ðàáîòà òàêîé ñèëû ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé,òàê è îòðèöàòåëüíîé.
Îäíàêî ñóììàðíàÿ ðàáîòà âñåõ âíóòðåííèõ äèññèïàòèâíûõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëà ñèñòåìû, âñåãäà îòðèöàòåëüíà: Aä < 0. Ýòî íåðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ äèññèïàòèâíûõ ñèë. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì òåëî 1, êîòîðîå ñêîëüçèò ïî ïîâåðõíîñòèíåïîäâèæíîãî òåëà 2 ñî ñêîðîñòüþ v îòí (ðèñ. 5.4, a).
Ñèëà òðåíèÿ Fòð1 íàïðàâëåíà ïðîòèâ ñêîðîñòè v îòí è, òàêèì îáðàçîì, ñîâåðøàåò îòðèöàòåëüíóþ ðàáîòó. ñèñòåìå îòñ÷åòà K ′, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ V â íàïðàâëåíèè vîòí, òåëî 1áóäåò èìåòü ñêîðîñòü v îòí − V, à òåëî 2 ñêîðîñòü −V (ðèñ. 5.4, á ). Åñëè V >Lîòí,òî ðàáîòà δA1 ñèëû Fòð1 çà âðåìÿ dt â ýòîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îêàæåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé: δA1 = Fòð1(V − Lîòí)dt > 0. Ðàáîòà δA2 ñèëû Fòð2, äåéñòâóþùåé íà òåëî 2,áóäåò îòðèöàòåëüíîé: δA2 = −Fòð2Vdt < 0. Ïîëíàÿ ðàáîòà ñèë òðåíèÿ δA = δA1 + δA2 == −Fòð1Lîòídt, ò. å.
âñåãäà îòðèöàòåëüíà, íåçàâèñèìî îò ñêîðîñòè L âûáðàííîéñèñòåìû îòñ÷åòà.Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðèìåðû êîíñåðâàòèâíûõ ñèë.Ðàáîòà óïðóãîé ñèëû.  ñëó÷àå îáû÷íîé ïðóæèíû ñèëà óïðóãîñòè ïðè íåáîëüøèõ ðàñòÿæåíèÿõ è ñæàòèÿõ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäåF = −kx(5.11)(çàêîí Ãóêà). Çäåñü k êîýôôèöèåíò óïðóãîñòè, x èçìåíåíèå äëèíû ïðóæèíû, à çíàê ìèíóñ îçíà÷àåò, ÷òî ñèëà âñåãäà íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ ñìåùåíèþ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, â êîòîðîì ïðóæèíà íåäåôîðìèðîâàíà.Äîïóñòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå òåëî Ò íàõîäèòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, ïðèêðåïëåíî ê ñâîáîäíîìó êîíöó ïðóæèíû Ï è ìîæåò ñîâåðøàòü äâèæåíèå âäîëü íåêîòîðîé ïðÿìîé (ðèñ.
5.5). Ïîëîæåíèå òåëà áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü ñïîìîùüþ êîîðäèíàòû x, ñîîòâåòñòâóþùåé èçìåíåíèþ äëèíû ïðóæèíû. Ïðè ýòîì89íà÷àëî êîîðäèíàò, òî÷êà x = 0, ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæåíèþ ïðàâîãî êîíöà íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû. Åñëè x1 íà÷àëüíîå, à x2 êîíå÷íîå óäëèíåíèå ïðóæèíû,òî äëÿ ðàáîòû óïðóãîé ñèëû áóäåì èìåòü2A12 = ∫ (− kx )dx =Ðèñ. 5.51kx12 kx 22−.22(5.12)Ýòîò ðåçóëüòàò îñòàíåòñÿ íåèçìåííûì è â òîì ñëó÷àå, åñëè òåëî èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ â êîíå÷íîå áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî ïðîèçâîëüíîé èñêðèâëåííîé òðàåêòîðèè.Ðàáîòà ãðàâèòàöèîííîé ñèëû. Ïóñòü ÷àñòèöà ìàññîé m2 ïåðåìåùàåòñÿ ïîíåêîòîðîé òðàåêòîðèè 1 → 2 â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå, ñîçäàâàåìîì íåïîäâèæíîé ÷àñòèöåé ìàññîé m1 (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
