В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òàêèå ïðèíöèïû åñòü ýòî çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Îäíàêî äëÿ èõ ðàññìîòðåíèÿ íàì ïîòðåáóþòñÿ íîâûå ïîíÿòèÿ: êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ (èìïóëüñ) è ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (ìîìåíò èìïóëüñà), ðàáîòà è ýíåðãèÿ. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ìîìåíòà èìïóëüñà è ýíåðãèè îòíîñÿòñÿ ê ÷èñëó ôóíäàìåíòàëüíûõçàêîíîâ ôèçèêè. Îíè âûõîäÿò äàëåêî çà ðàìêè ìåõàíèêè è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óíèâåðñàëüíûå çàêîíû ïðèðîäû, ñâÿçàííûå ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ñâîéñòâàìè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè îäíîðîäíîñòüþ è èçîòðîïíîñòüþ.
 äâóõáëèæàéøèõ ëåêöèÿõ ìû ïîñëåäîâàòåëüíî ðàññìîòðèì âñå òðè óïîìÿíóòûå âûøåçàêîíà ñîõðàíåíèÿ. Ïðè ýòîì áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùåé ñõåìû èçëîæåíèÿ:− ââåäåì íîâîå ïîíÿòèå (èìïóëüñ, ìîìåíò èìïóëüñà, ýíåðãèÿ);− ïîëó÷èì çàêîí èçìåíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíû, îñíîâûâàÿñü íàçàêîíàõ Íüþòîíà;− ñôîðìóëèðóåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ êîíêðåòíûõ ñèñòåì;− ðàññìîòðèì ñëåäñòâèÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ è íåêîòîðûå ïðèìåðû;− îáñóäèì ñâÿçü çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñî ñâîéñòâàìè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.Êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ (èìïóëüñ) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Èìïóëüñ ñèëû. Îïðåäåëèì êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ, èëè èìïóëüñ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè êàê ïðîèçâåäåíèå ìàññû òî÷êè íà åå ñêîðîñòü:p = m v.(4.1)63Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (3.21) òî÷êè â âèäåmdv= F,dt(4.2)âíîñÿ ïîñòîÿííóþ ìàññó m ïîä çíàê ïðîèçâîäíîé è ó÷èòûâàÿ (4.1), ïîëó÷èìóðàâíåíèådp= F,dt(4.3)ò.
å. ïðîèçâîäíàÿ èìïóëüñà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî âðåìåíè ðàâíà äåéñòâóþùåéíà ýòó òî÷êó ñèëå. ìåõàíèêå Íüþòîíà óðàâíåíèÿ (4.2) è (4.3) ðàçëè÷àþòñÿ ÷èñòî ôîðìàëüíî.  ðåëÿòèâèñòñêîé äèíàìèêå èìïóëüñ îïðåäåëÿåòñÿ èíà÷å, ÷åì (4.1) (ñì.ëåêöèþ 10), â êà÷åñòâå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè èñïîëüçóåòñÿ (4.3), à óðàâíåíèå (4.2) ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì.Èíòåãðèðóÿ (4.3), ìîæíî îïðåäåëèòü ïðèðàùåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ òî÷êèçà êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè Δt = t − t0:Δp = p − p 0 =t∫ F(t )dt .(4.4)t0 ñëó÷àå ïîñòîÿííîé ñèëû (4.4) óïðîùàåòñÿΔp = F Δt.(4.5)Âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (4.4) è (4.5), íàçûâàþòñÿ èìïóëüñîìñèëû çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè Δt. Ýòè óðàâíåíèÿ îçíà÷àþò, ÷òî ïðèðàùåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ òåëà çà íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ðàâíî èìïóëüñóðàâíîäåéñòâóþùåé âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ýòî òåëî.Òàêèì îáðàçîì, êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ, ïðèîáðåòàåìîå òåëîì, çàâèñèò íåòîëüêî îò âåëè÷èíû ñèëû, íî è îò ïðîäîëæèòåëüíîñòè åå äåéñòâèÿ.
Ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü áîëüøèì ÷èñëîì ýôôåêòíûõ îïûòîâ: âûäåðãèâàíèåì ïîëîñêè áóìàãè èç-ïîä êîëáû ñ âîäîé, ëîìàíèåì ðåçêèì óäàðîìäåðåâÿííîé ðåéêè, îïèðàþùåéñÿ íà áóìàæíûå êîëüöà, è ò. ï.Îäèí èç òàêèõ îïûòîâ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 4.1. Òÿæåëûé øàð ïîäâåøåí íàíèòè, ñíèçó ê íåìó ïðèêðåïëåíà òàêàÿ æå íèòü. Åñëè ìåäëåííî òÿíóòüçà íèæíþþ íèòü, òî ðâåòñÿ âåðõíÿÿ. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî âðåçóëüòàòå íåçíà÷èòåëüíîãî ñìåùåíèÿ òåëà âíèç äåôîðìàöèÿ âåðõíåéíèòè äîñòèãàåò ïðåäåëüíî äîïóñòèìîãî çíà÷åíèÿ. Ïðè ýòîì íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ðàçðûâîì ðàçíîñòü ñèë íàòÿæåíèÿ T1 − T2 óðàâíîâåøèâàåò âåñ ãðóçà è, òàêèì îáðàçîì, T1 > T2.
Åñëè æå áûñòðî äåðíóòü çàíèæíþþ íèòü, òî ðâåòñÿ èìåííî îíà, à âåðõíÿÿ îñòàåòñÿ öåëîé.  ýòîìñëó÷àå øàð «íå óñïåâàåò» ñêîëüêî-íèáóäü ñäâèíóòüñÿ çà âðåìÿ ðûâêà,âåðõíÿÿ íèòü ïðàêòè÷åñêè íå èñïûòûâàåò äîïîëíèòåëüíîãî ðàñòÿæåíèÿ è ïîýòîìó îñòàåòñÿ öåëîé.Èìïóëüñ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Èçìåíåíèå èìïóëüñà ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë. Èìïóëüñ ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåêòîðíàÿÐèñ. 4.1 ñóììà èìïóëüñîâ ñîñòàâëÿþùèõ åå ÷àñòèö:64P = p1 + p 2 + K + p n =n∑ pi .(4.6)i =1Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ (4.6) ïî âðåìåíè è ó÷èòûâàÿ (4.3), ïîëó÷èìdP=dtnd pi=i =1 dt∑n∑ .i ,(4.7)i =1ãäå .i ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà i-þ ÷àñòèöó.Ñèëû, âõîäÿùèå â .i, ìîãóò áûòü ðàçäåëåíû íà âíåøíèå è âíóòðåííèå. Âíåøíèå ñèëû Fi ýòî ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ âñåõ òåë, íå âõîäÿùèõ â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó, à âíóòðåííèå ñèëû f i = ∑ f ki ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ íà i-þk ≠i÷àñòèöó âñåõ äðóãèõ ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó.
Òàêèì îáðàçîì, (4.7) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäådP=dt∑ (Fi + ∑ f ki ) = ∑ Fi + ∑ ∑ni =1nk ≠ii =1nni =1 k =1(k ≠ i )f ki .(4.8) ñîîòâåòñòâèè ñ III çàêîíîì Íüþòîíà ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè ñèñòåìû ðàâíû ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ: fki = −fik.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äâîéíàÿ ñóììà â ïðàâîé ÷àñòè (4.8), ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ñóììó âñåõ âíóòðåííèõ ñèë, ðàâíà íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âíóòðåííèåñèëû íå ìîãóò èçìåíèòü èìïóëüñ ñèñòåìû.  ðåçóëüòàòå èç (4.8) ïîëó÷àåì çàêîíèçìåíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åêdP=dtn∑ Fi= F,i =1(4.9)ãäå F ðåçóëüòèðóþùàÿ âñåõ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöû ñèñòåìû.Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè èìïóëüñà ñèñòåìû ÷àñòèö ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå âñåõ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöû ñèñòåìû.
Ïî âèäó óðàâíåíèå (4.9) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (4.3) äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Íàäî òîëüêî ïîìíèòü, ÷òî â ñëó÷àå ñèñòåìû ÷àñòèö åå èìïóëüñ ðàñïðåäåëåí ìåæäó âñåìè ÷àñòÿìè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû.Êàê è â ñëó÷àå îäíîé ÷àñòèöû, èç (4.9) ñëåäóåò, ÷òîΔP = P − P0 =t∫ F(t )dt ,(4.10)t0ò.å. ïðèðàùåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè Δt = t − t0 ðàâíîèìïóëüñó ðåçóëüòèðóþùåé âñåõ âíåøíèõ ñèë çà òîò æå ïðîìåæóòîê âðåìåíè.Çàìåòèì, ÷òî èçìåíåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû òî÷åê, îïðåäåëÿåìîå óðàâíåíèåì (4.10), íå çàâèñèò îò òîãî, ê êàêîé êîíêðåòíî ÷àñòèöå ñèñòåìû ïðèëîæåíàâíåøíÿÿ ñèëà.Íèæå áóäåò ïîêàçàíî (ñì. ëåêöèþ 6), ÷òî óðàâíåíèÿìè (4.3), (4.4), (4.9) è(4.10) ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ íå òîëüêî â èíåðöèàëüíûõ, íî è â íåèíåðöèàëüíûõñèñòåìàõ îòñ÷åòà.
 ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ó÷åñòü äåéñòâèå ñèë èíåðöèè.65dP= 0, è P =dt= const. Ñèñòåìà, äëÿ êîòîðîé ñóììà âíåøíèõ ñèë ðàâíà íóëþ, íàçûâàåòñÿçàìêíóòîé. Îòñþäà âûòåêàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê:Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. Åñëè â (4.9) ïîëîæèòü F = 0, òîF=0⇒P=n∑ pi(4.11)= const,i =1ò. å. ñóììàðíûé èìïóëüñ çàìêíóòîé ñèñòåìû ÷àñòèö îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. ×òîêàñàåòñÿ èìïóëüñîâ îòäåëüíûõ ÷àñòèö ñèñòåìû, òî îíè, åñòåñòâåííî, ìîãóòèçìåíÿòüñÿ. Îäíàêî ýòè èçìåíåíèÿ ïðîèñõîäÿò òàê, ÷òî ïðèðàùåíèå èìïóëüñàîäíîé ÷àñòè ñèñòåìû ðàâíî óáûëè èìïóëüñà äðóãîé åå ÷àñòè.Èíîãäà ââîäÿò ïîíÿòèå èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû.
Íåêîòîðûå àâòîðû îòîæäåñòâëÿþò ïîíÿòèÿ çàìêíóòîé è èçîëèðîâàííîé ñèñòåì, à íåêîòîðûå ïðîâîäÿòìåæäó íèìè ñëåäóþùåå ðàçëè÷èå: çàìêíóòàÿ ñèñòåìà ýòî òà, äëÿ êîòîðîéñóììà âíåøíèõ ñèë ðàâíà íóëþ, à èçîëèðîâàííàÿ ýòî òà, íà êîòîðóþ âíåøíèå ñèëû âîîáùå íå äåéñòâóþò. íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñèñòåìà ìîæåò áûòü â öåëîì íåçàìêíóòîé, íî ïðîåêöèÿ ðåçóëüòèðóþùåé âíåøíåé ñèëû íà âûäåëåííîå íàïðàâëåíèå â òå÷åíèåðàññìàòðèâàåìîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíîé íóëþ.  ýòîìñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà çàìêíóòà â äàííîì íàïðàâëåíèè, è ðàññìàòðèâàþò ñîõðàíåíèå ïðîåêöèè èìïóëüñà íà äàííîå íàïðàâëåíèå.
Åñëè, íàïðèìåð,Fx = 0, òî è Px = const. Íàïðèìåð, ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû â îäíîðîäíîì ïîëåòÿæåñòè â îòñóòñòâèå äðóãèõ ñèë ñîõðàíÿåòñÿ ïðîåêöèÿ èìïóëüñà íà ëþáîåãîðèçîíòàëüíîå íàïðàâëåíèå.n Ïðèìåð 1. Ïëàòôîðìà ñ îðóäèåì äâèæåòñÿ áåç òðåíèÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîéïîâåðõíîñòè ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ L1 (ðèñ. 4.2).  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè áûë ïðîèçâåäåí âûñòðåë â ñòîðîíó äâèæåíèÿ ïëàòôîðìû, ïðè÷åì ñêîðîñòü ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî ïëàòôîðìû ðàâíà u (ðèñ.
4.3). Çíàÿ ìàññó mñíàðÿäà è ìàññó Ì ïëàòôîðìû ñ îðóäèåì áåç ñíàðÿäà, ìîæíî îïðåäåëèòü ñêîðîñòü L2 ïëàòôîðìû ïîñëå âûñòðåëà. Äåéñòâèòåëüíî, çàïèñûâàÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ,ïîëó÷èì(M + m)L1 = m(L2 + u) + M L2,(4.12)îòêóäàL 2 = L1 − m u.(4.13)M +m×åì áîëüøå ìàññà ïëàòôîðìû, òåì íà ìåíüøóþ âåëè÷èíó èçìåíÿåòñÿ ååñêîðîñòü â ðåçóëüòàòå âûñòðåëà.Ðèñ. 4.266Ðèñ. 4.3Îòìåòèì, ÷òî òîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü â äðóãîé ÈÑÎ íàïðèìåð, â ñèñòåìå, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ L1 (ñêîðîñòü ïëàòôîðìû äî âûñòðåëà).  ýòîé ñèñòåìå íà÷àëüíûé èìïóëüñ ðàâåí íóëþ, à êîíå÷íûé ñêëàäûâàåòñÿ èç èìïóëüñà m (L2 − L1 + u)ñíàðÿäà è èìïóëüñà M(L2 − L1) ïëàòôîðìû ñ îðóäèåì.
Òàêèì îáðàçîì,à0 = m (L2 − L1 + u) + M (L2 − L1), (4.14)áÐèñ. 4.4îòêóäà äëÿ ñêîðîñòè L2 ïëàòôîðìû ïîëó÷àåòñÿ ðåçóëüòàò (4.13). Äàííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè èìïóëüñ ñîõðàíÿåòñÿ â îäíîé ÈÑÎ, òî îí ñîõðàíÿåòñÿ è â ëþáîé äðóãîé ÈÑÎ. Ýòî óòâåðæäåíèå íàõîäèòñÿ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ.Çàìåòèì, ÷òî â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå çàêîí, îïèñûâàþùèé ñèëóäàâëåíèÿ ïîðîõîâûõ ãàçîâ, è âðåìÿ äåéñòâèÿ ýòîé ñèëû íåèçâåñòíû, ïîýòîìóðåøèòü ýòó çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ çàêîíîâ Íüþòîíà áûëî áû íåëüçÿ.n Ïðèìåð 2. ×àñòèöà ñ èìïóëüñîì p ðàñïàäàåòñÿ íà äâå áîëåå ìåëêèå ÷àñòèöû, ðàçëåòàþùèåñÿ ïîä íåêîòîðûì óãëîì äðóã ê äðóãó (ðèñ. 4.4, à).
Çíàÿ èìïóëüñ p1 îäíîé èç îáðàçîâàâøèõñÿ ÷àñòèö è óãîë ϕ åå îòêëîíåíèÿ îò èñõîäíîãîíàïðàâëåíèÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü èìïóëüñ p2 âòîðîé ÷àñòèöû (ðèñ. 4.4, á ):p2 =p 2 + p12 − 2 pp1 cos ϕ(4.15)p sin ϕ.p2(4.16)è óãîë θ ðàçëåòà ÷àñòèö:sin θ =Ñóùåñòâóåò åùå îäíà ñèòóàöèÿ, ïðè êîòîðîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñàìîæíî, â îïðåäåëåííîì ïðèáëèæåíèè, ïðèìåíÿòü äëÿ íåçàìêíóòîé ñèñòåìû.Ýòî ñëó÷àé, êîãäà íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ îòäåëåíû ìàëûì ïðîìåæóòêîì âðåìåíè (âûñòðåë, âçðûâ, óäàð), à âíóòðåííèå ñèëû çíà÷èòåëüíî áîëüøåâíåøíèõ. Ïðè ýòîì èìïóëüñ âíåøíåé ñèëû (íàïðèìåð, ñèëû òÿæåñòè, ðåàêöèè îïîðû èëè òðåíèÿ) íå ìîæåò çàìåòíî èçìåíèòü èìïóëüñ ñèñòåìû òåë çàðàññìàòðèâàåìûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, è èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Òàêàÿ ñèòóàöèÿ, íàïðèìåð, èìååò ìåñòî â çàäà÷å î ðàçðûâå ëåòÿùåãî ñíàðÿäà, êîãäà ïðèðàâíèâàþòñÿ èìïóëüñ ñíàðÿäà íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ðàçðûâîì è ñóììàðíûéèìïóëüñ îñêîëêîâ ñðàçó æå ïîñëå ðàçðûâà: èìïóëüñ âíåøíèõ ñèë (òÿæåñòè,ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà) íåçíà÷èòåëåí ââèäó ìàëîñòè âðåìåíè ðàçðûâà.Öåíòð ìàññ.
Òåîðåìà î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ. Èìïóëüñ (4.6) ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, êàê ëåãêî ïîêàçàòü, ðàâåí èìïóëüñó îäíîé ìàòåðèàëüíîéòî÷êè ñ ìàññîé, ðàâíîé ñóììàðíîé ìàññå ÷àñòèö è äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþöåíòðà ìàññ ñèñòåìû. Ðàäèóñ-âåêòîð rö, çàäàþùèé ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ,âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ðàäèóñû-âåêòîðû r1, r2, ..., rn ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñëåäóþùèì îáðàçîì:67nrö =m1r1 + m2 r2 + K + mn rn=m1 + m2 + K + mn∑ mi rii =1n∑ mi=1Mn∑ mi ri ,i =1(4.17)i =1ãäå Ì ìàññà ñèñòåìû.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü âûðàæåíèå (4.17) ïî âðåìåíèè óìíîæèòü íà Ì, òî áóäåì èìåòüM r&ö =n∑ mi r&i ,(4.18)i =1ò. å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
